Corrigé Bac L Mathématiques spécialité 2014

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Exercice 1 (5 points)
1) D'après l'arbre ci-contre : p A( B)=0 ,7 .
Donc réponse : c).
2) p ( B)=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=0 , 26 .
Donc réponse : c).
3) F est la primitive de f ses variations dépendent
donc du signe de f . Comme f est négative sur
[ 4;12] , F est décroissante sur le même intervalle. Donc réponse : c).
4) Sur ]0 ;+∞[ : ln ( x)+ln ( x+3)=3 ln (2) ⇔ ln ( x×( x+3))=ln (23 ) ⇔
ln ( x2+3 x )=ln (8) ⇔ x2+3 x=8 .
Donc réponse d).
5) L'aire, en unités d'aire est égale à ∫2
6 5
x
d x=[5 ln ( x)]2
6 =5 ln (6)−5ln (2) .
Donc réponse : a).
Publié le : mercredi 18 novembre 2015
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BACCALAURÉAT

Séries :
ES/L

Épreuve :Mathématiques
(obligatoire)

Session 2014

Durée de l’épreuve : 3 heures
Coefficient : 5

PROPOSITION DE CORRIGÉ

1

Exercice 1(5 points)

1

2

3

)

)

)

4

)

5

)

D'après l'arbre ci-contre :pAB=0 ,7.
( )

Donc réponse :c).

p B=0 , 6×0 , 3+0, 4×0 , 2=.0 , 26
( )

Donc réponse :c).

Fest la primitive defsesvariationsdépendent
donc dusignedef. Commefestnégativesur
4; 12,Festdécroissantesur le même intervalle. Donc réponse :c).
[ ]

3
Sur]0 ;+∞[: lnx+lnx+3=3 ln2⇔ lnx×x+3=ln 2 ⇔
( )( )( )(( ))( )

2 2
lnx+3x=ln 8⇔ x+3x=8 .
( )( )

Donc réponsed).

56
6

L'aire, en unités d'aire est é[5 lnx]=( )−5ln 2 .
( )( )
gale àdx=25 ln6
2
x

Donc réponse :a).

Exercice 2(5 points)

1

2

3

)

)

)

20
u=u−u+50=1250.
1 00
100

20 20
u+=u−u+50=u1− +50=0 , 8u+50.
( )
n1n nn n
100 100

−250=0 ,8u+50−250=0 , 8u−200=0 ,−250=0 , 8v
+1n n8(un)n.
a)vn+=u
1n

vq=0 , 8
Par suite,(n)et de premier termeest une suite géométrique de raison

v=u−250=1500−250=1250 .
0 0

n nn
b) Par formule,vn=v0q=1250×0 ,8. Par suite,un=vn+250=250+1250×0 ,8.

4
c)u4=250+1250×0 , 8=762 . Donc la surface de terrain engazonné au bout de 4

2
années est de762m.

2

n<500

60+20 80
E X= ==40 . En moyenne, son entraînement dure donc 40 minutes.
( )
2 2

)

6

b)

Exercice 3(5 points)

lim=
un250.
n→+∞

DoncClaude a raison, la surface de terrain engazonné ne pourra être inférieure à
2
250m.

0,8u+50
n
n+1

0 ,8<1
Comme ,la suite(vn)est décroissante.

n n
De plus,−1<0 ,8<1,, 8lim 0=0donclim 1250×0 ,8=0et par suite
( )( )
n→+∞n→+∞

3

n nn250
4) a)250+1250×0, 8<500 ⇔ 1250×0, 8<500−250 ⇔,8 0< ⇔
1250

Interprétation: au bout de 8 années, la surface de terrain engazonné sera inférieure à
2
500m.

ln 0, 2
( )
n 0,8 n0, 2⇔ n>(avec, 8ln 0<0).
nl( )<l( )( )
ln 0,8
( )

n
250+1250×0, 8<500 .

ln 0,2
( )
Avec≈7 , 2126, on obtientn=8comme plus petite valeur dentelle que
0
ln 0,8
( )

2

)

60−30 30 3
p X>30=p(X∈[30 ; 60])= ==.
( )
60−20 40 4

)

1

Partie A

Partie B

1

2

3

)

)

)

Comme 57 mm correspond à l'espérance de la loi normale :p1=p D<57=0, 5.
( )

(On peut retrouver ce résultat à la calculatrice.)

p=p56 , 75<D<57 , 25≈0 ,977d'après la calculatrice.
( )
2

p=1−p≈.0 , 023
3 2

Partie C

1

2

)

)

66
f= =0 , 825.
80

1 1
Par formule :I=f−;f+ =[0 , 713; 0, 937].
[ ]
√n√n

Exercice 4

Partie A

1

)

2

)

Par lecture graphique : la concentration à l'instant initial (0 heure) est de2 g/L.

Par lecture graphique, la concentration est supérieure ou égale à 0,4 g/L entre 0 et 6
heures.

Partie B

1

)

−0 ,5x−0 ,5x−0 ,5x
f' x=1×e+x+2−0 , 5 e=e 1−0 , 5x+2
( )( )( )(( ))

−0 , 5x−0 ,5x
=e 1−0 , 5x−1=−0, 5xe.
( )

D'où le tableau de variations def:
x
signe de -0,5x
−0 , 5x
Signe dee

Signe def '

Variations def

0

2

+

1

5

f(15)

−0 ,5×0−0 ,5×15−3
oùf0=2 e=2×1=2etf15=17 e≈9 , 4×10.
( )( )

f0 ; 15est donc strictement décroissante sur.
[ ]

4

)

2

−0, 5x
D'après les résultats affichés,f' 'x=0 , 25x−e0 , 5.
( )( )

2

x
signe de
0 , 25x−0 , 5

4

)

3

)

◦puisf9 , 4)≈0 , 104>0 , 1etf9 ,5≈0 , 099<0 ,1doncα∈9 , 4 ; 9 , 5.
( ()] [

)

2

Partie C

1

)

0

actif à partir deαheures. Il est donc actif entre 0 etαheures.
Plus concrètement,le médicament est actif pendant un peu moins de 9,5 heures.

La baisse de concentration ralentie lorsque la courbe change de concavité, c'est à dire
lorsquex=2d'après la partie B, on obtient donc : la baisse de concentration ralentie

−0 , 5x
signe dee

Sur l'intervalle0 ; 15, la fonctionfest continue et strictement décroissante avec
[ ]

5

1

signe de'f '(x)

+

f0=2>0 ,1etf15≈0 , 009<0 , 1. Donc d'après la propriété des valeurs
( )( )

+

5

intermédiaires dans le cas d'une fonction strictement monotone, l'équationf(x)=0 ,1

D'après la partie B,fα =0 , 1avecα∈donc le médicament n'est plus9 , 4 ; 9 , 5
[ ]
( )

admet bien une unique solution sur0 ; 15.
[ ]

f '' xchange de signe en 2 doncfadmet un point d'inflexion d'abscisse 2.
( )

Pour étudier la convexité defil nous faut donc étudier le signe def '':

0

+

Ainsif0 ; 2(est concave surf ''<0 ) et convexe sur2 ; 15(f ''>0 ).
[ ][ ]

+

0

au bout de 2 heures.

D'après la calculatrice :
◦f9≈0 , 12>et0 , 1f10≈0 , 08<0 , 1doncα∈9 ; 10[.
( )( )]

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