Applications mathématiques `a la physique

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Applicationsmath´ematiques`alaphysique
Serge Robert c´egepSaint-Jean-sur-Richelieu
´ ´ RESUME Jevaispr´esenterquelquesproble`mesquisonttraite´sdanslecoursInte´grationdesapprentissages enSciencesdelanature,voletmath´ematique-physique.Laplupartdesproble`mesclassiquesde lam´ecaniquepeuventetrere´solusgrˆace`alasecondeloideNewtonsoussaformevectorielle: ˆ n X F i = m.~a .Onenextraitalorslese´quationsdie´rentiellesquonre´soutselonlestechniquesvues ~ i =1 dansnoscoursdemathe´matique.Onpeutd´emontercertainesformulesclassiquescommelavitesse d’impact d’un corps en chute libre, v I = p 2 gh ,oulaformuledelintensit´edelaforcecentripe`te, F c = mw 2 r ;onpeutmˆemed´emonterlestroisloisdeKepler. Dautresprobl`emesrelie´sa`loptiqueserontpr´esent´esainsiquedeuxapplications`alacosmologie. Avecunepetited´emonstrationmath´ematiquebiensimpleonverraquelaloideHubbleestpro-bablementfausse.Deplus,ungraphiqueenquatredimensionsdelhyper-sph`erenousdonneraune explication possible de l’expansion de l’Univers. Lesexemplesdeproble`mesquonverrasontextraitsducours Inte´grationdesapprentissages ; c’est uncoursdetroisp´eriodesparsemaine,obligatoirepourtousles´el`evesduprogrammeSciencesde lanature,soitdanslevoletbiologie-chimie,soitdanslevoletmath´ematique-physique. Lesproble`mestraite´ssonttousdesprobl`emesdephysiquemaisvusselonlepointdevuedun mathe´maticien;letraitementmath´ematiqueauraalorsuneplusgrandeimportancequedansles coursdephysiqueet,contrairementa`lacoutumeenphysique,nousferonslade´monstrationdes formules. Lesnotionsutilis´eessontcellesvuesdanslestroiscoursobligatoiresduprogramme:d´eriv´ees, vecteurs,inte´gralesete´quationsdie´rentiellesdordreuna`variabless´epar´ees.Lesproble`mestrait´es seront les suivants : obl`emesdem´ecaniqueclassique; pr proble`mesrelie´sa`loptique; probl`emesreli´esa`lacosmologie.
c Associationmathe´matiqueduQu´ebec
Bulletin AMQ , Vol. XLVII, n o 3, octobre 2007 – 82 Actes du 50 e co ` ngres
` ´ PROBLEMES DE MECANIQUE CLASSIQUE ´ LA SECONDE LOI DE NEWTON REVISITEE LasecondeloideNewton,laplusconnuedestrois,se´crit F = ma , mais comme une force a une intensit´eetunedirection,cestunvecteur.Ilfaudraitdonc´ecrire F avecunee`che.Etilenestde memepourlacc´ele´ration.Deplus,ilsagitdelasommevectorielledesforcesquisappliquentsur ˆ lobjet.Nousenarrivonsdonca`le´quationsuivante: n X F~ i = m ~a. i =1 Maisquestlevecteuracc´el´eration?
Figure 1 ~ ~ P ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) ~j ~ v~ ( t ) = ddPt = x 0 ( t ) ~i + y 0 ( t ) j~ ~ ~ ~ ~a ( t ) = ddvt = x 00 ( t ) i + y 00 ( t ) j. La seconde loi de Newton devient donc : n X F~ i = mx 00 ( t ) ~i + my 00 ( t ) j. ~ i =1 Proble`meno.1 :Lachutelibre(sansre´sistancedelair)
Figure 2
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Laseuleforceenpre´sence,sionn´egligelar´esistancedelairestlepoidsdelobjet: ~ ~ W = mg j. En appliquant la seconde loi de Newton, on aura : n X F i = m a ~ ~ i =1 ~ mg j = mx 00 ( t ) ~i + my 00 ( t ) j~. Onobtientdoncdeux´equationsdie´rentiellesdordre2: (1) m x 00 ( t ) = 0 (2) m y 00 ( t ) = m g. Onvoitquelemouvementnede´pendpasdelamassedelobjet: (1) x 00 ( t ) = 0 (2) y 00 ( t ) = g. Int´egronsdeuxfoisparrapportautemps: Z x 00 ( t ) dt = Z 0 dt x 0 ( t ) = k 1 Z x 0 ( t ) dt = Z k 1 dt x ( t ) = k 1 t + k 2 . Faisonslameˆmechoseavec y : Z y 00 ( t ) dt = Z g dt y 0 ( t ) = g t + k 3 Z y 0 ( t ) dt = Z ( g t + k 3 ) dt t 2 y ( t ) = g 2 + k 3 t + k 4 . Nousavonsdoncle´quationdumouvement: x ( t ) = k 1 t + k 2 et y ( t ) = 21 g t 2 + k 3 t + k 4 . Lesconditionsinitialesduprobl`emevontd´eterminerlavaleurdesconstantes. 1) La position initiale de l’objet est le point (0; h ) : x (0) = 0 k 2 = 0 y (0) = h k 4 = h.
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2)Supposonsquelavitesseinitialedelobjetsoitdirig´eeverslebas: ~v (0) = ~j. v 0 ` A tout instant t , la vitesse de l’objet est : v~ ( t ) = x 0 ( t ) ~i + y 0 ( t ) j~ ~ ( t ) = k 1 ~i + ( g t + k 3 ) j~ v ~ ~ ~ v 0 j = k 1 i + k 3 j k 1 = 0 et k 3 = v 0 . L´equationdumouvementestdonc: x ( t ) = 0 et y ( t ) = 21 g t 2 v 0 t + h. Onpeutalorsd´emontrerlaformuledelavitessedimpactausol: y ( t ) = 0 21 g t 2 v 0 t + h = 0 b ±b 2 4 ac t = 2 a t = v 0 ± p v 2 o + 2 gh g t = p v 20 + 2 gh v 0 , g car la valeur de t doit ˆtre positive. e En mettant cette valeur de t dans l’expression de la vitesse, nous obtenons : v~ ( ) = y 0 ( t ) ~j = ( g t v 0 ) ~ t j v~ ( t ) = ( g t + v 0 ) j~ ~v ( t ) = q v 20 ~ + 2 gh j. La vitesse d’impact est donc : v I = q v 20 + 2 gh. En particulier, si la vitesse initiale est nulle, cela donne : v I = p 2 gh. Lavitessedimpactvarieselonlaracinecarre´edelahauteur.
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Probl`emeno.2 : Le projectile ( ´ istance de l’air) sans res
Figure 3 On lance dans les airs un projectile avec une vitesse initiale ~ ~ ~v 0 = v 0 cos θ i + v 0 sin θ j. Comme dans le cas de la chute libre, la seule force qui s’exerce sur la masse dans les airs est son poids, ~ ~ W = mg j. Nousobtenonsdonclesmeˆmes´equations: (1) m x 00 ( t ) = 0 (2) m y 00 ( t ) = m g. Cequinousdonneralesmˆemessolutions: x ( t ) = k 1 t + k 2 y ( t ) = 12 g t 2 + k 3 t + k 4 . C ˆ e sont les conditions initiales qui ne sont pas les memes : x (0) = 0 k 2 = 0 y (0) = 0 k 4 = 0 . ` A tout instant t , la vitesse de l’objet est : v ( t ) = x 0 ( t ) ~i + y 0 ( t ) j~ ~ v~ ( t ) = k 1 ~i + ( g t + k 3 ) ~j v (0) = v 0 cos θ ~i + v 0 sin θ j~ = k 1 ~i + k 3 j~ ~ k 1 = v 0 cos θ et k 3 = v 0 sin θ. Do`u, x ( t ) = v 0 cos θ t et y ( t ) = 21 g t 2 + v 0 sin θ t .
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