BILLETS AIGRES-DOUX Les courts textes ci-dessous ont été postés ...

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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BILLETS AIGRES-DOUX
CHRISTOPHE BREUIL
Lescourtstextesci-dessousont´et´epost´essurlesiteImagedesmath´ematiques (http://images.math.cnrs.fr/)durantlann´ee2009.
1.Un matheux est-il “quelqu’un de bien ?”
Pendantlongtemps,enfant,jaicherch´ea`savoircequevoulaitdirelexpres-sion “untel est quelqu’un de bien” dans la bouche des adultes. Serai-je jamais moi-meˆmequelquundebien?Lesanne´espassant,jainalementcomprisque, pour un homme jeune en tout cas, cela voulait diregrosso modole “gendre ide´al:bonls,bonmari,bonp`ere,voisinsociable,courtois,spirituel(pas trop), etc.
Ledestinavouluquejedeviennemathe´maticien,arithm´eticienobnubil´e pratiquementjouretnuitpardesobjetsmathe´matiquesdenaturep-adique (pesticiunnombrepremier)quininte´ressentquunefrangeextreˆmement limit´eedelapopulationmondiale.Or,pourˆetrebonmath´ematicienetbon chercheur,ilfautseorcerdoublierquelonestunˆetrehumainandedevenir unepuremachine`apenser.Toutchercheurvousdiraquelesconsid´erations dordreaectifoue´gocentrique(etplusge´n´eralementlesconsid´erationshu-maines”) viennent immanquablement troubler le cours limpide d’un raison-nementlogique,ouembrumeruneintuitionmathe´matiqueentraindeprendre forme.Sanscompterquelactivit´ederecherchemath´ematiqueest,laplupart dutemps,uner´eexionpurementsolitaire,a`loppos´edetouteformedeso-cialisation,cequia`lalonguenitforce´mentparde´teindreunpeusurle comportement dans la vie de tous les jours.
Danscesconditions,ilmeparaˆıtdicilepourunmatheuxchevronne´deˆtre leprototypedugendreide´al(demandez`amabellefamille...),cestmeˆme pourainsidireantinomiqueaveclecoeurdesonactivit´eprofessionnelle.Non, 1
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C. BREUIL
nalement,peut-eˆtrequunmatheuxnestpastoujoursquelquundebien, tant pis ! Oualorstantmieux:nest-cepascequilerendint´eressant?
` 2.deuoLre?treoiquasc¸bltaAe
Lutilite´-ounon-desesrecherchesestunequestionre´currentequire-vientr´egulie`rementtourmenterplusdunmatheux,soitparcequilselapose lui-meˆme,soitparcequonlaluipose.Cettequestionestparticuli`erement redoutablelorsquesaspe´cialite´sembled´econnect´ee`ajamaisdetouteappli-cationpratique,commeparexemplelag´eome´triearithm´etique.Jerelateici deme´moireunecourtesc`enetypiquequisestpass´eeilyaquelquesanne´es, parmilesnombreusesconversationsou`jaiduˆessayer,tantbienquemal,de justiermonactivit´edarithm´eticienp-adicien.
Jeplanteled´ecor:unsuperbemariagedansuneıˆledesrivagesdela Francem´etropolitaine,unbeausamedisoirdejuillet.Musiquedouce,toilettes etcostumessoigne´s,joliestablesrondes,petitspainschaudsquiattendent dansleursserviettesplie´esaumilieudesorchid´eesetdesphotophoresdˆetre d´eguste´savecletournedosdecanardauxe´pices.Mavoisinedegaucheest unecharmantedemoiselle(mon´epouseesta`madroite)etlaconversation, ine´vitablement,envienta`quifaitquoiautourdelatable.Mavoisineme demandequelestmonm´etier:
MOI-Jesuischercheurenarithm´etique. ELLE-Ah,maiscesttre`sinte´ressant! (On est poli lors d’un mariage.)
ELLE-Maiscestquoiexactementlarithme´tique,vouspourriezmexpliquer vos recherches ?
MOI-Etbien,ilyaplusieursaspects.Disonsque,tre`sgrossi`erement, jessaiedecomprendrecertainsgrosespaces,appel´esespacesdecohomologie, sur lesquels deux sortes de groupes agissent, des groupes dits de Galois, et des
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groupesditslin´eaires,etjessaiedecomprendrelesrelations,tre`sriches,entre leursdeuxactionssurcesmˆemegrosespaces. Silence. ELLE - Heu, des groupes vous dites ? MOI - Oui, des groupes. Un groupe est une des plus anciennes structures math´ematiquesetunedesplusfondamentalesaussi.Parexempleilyale groupedesentiersrelatifs,oualorslegroupeform´edetouteslesmanie`resde permuterlese´le´mentsdunensembleni.Maismesgroupesetmesespacesa` moi ne sont pas n’importe quoi. Ils ont en plus une topologie p-adique. Re-silence. MOI-Peut-ˆetreavez-vousentenduparlerdesnombresp-adiquessipestun nombre premier ? ELLE - Ben, non. MOI-Cesontdesde´veloppementsformelsenbasepquelonprolongejusqu`alinni. S’ensuit une explication confuse de ma part pour donner des exemples con-crets d’entiers p-adiques.
MOI-Cequiestamusantaveclesnombresp-adiques,ettre`sdi´erentdes nombresusuels,estquedeuxnombressonttr`esprochessileurdi´erenceest divisible par une grosse puissance de p. Bon, et bien mes groupes comme mesespacesontunestructurep-adique,cest-`a-diresontfabrique´s`apartir degroupesnisunpeucommeonfabriquelesentiersp-adiques`apartirdes nombres finis classiques, comme je viens de vous l’expliquer. Et cela fait toute leur richesse car...
Petitsoupir`amagauche. ELLE-Houl`a,etbien,jesp`erequavec¸ca,vousarrivezencore`adormirla nuit ! (Tre`sjusteremarqueaupassage...)
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