BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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BTS
Cours
Electrotechnique
de Mathématiques
François THIRIOUX
francois.thirioux@ac-grenoble.fr
Lycée
René Perrin, Ugine
Mai 2003
Table des matières
Présentation du programme
1 Préliminaires 1.1 Dénitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Intégration 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Dénition de lintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthodes dintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Séries numériques 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Dénition dune série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
v
1 1 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7
8 8 8 9 10 11 11 12 12
14 14 14
TABLE DES MATIÈRES
4
5
3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Séries de Fourier 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations di¤érentielles 5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Equations di¤érentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Dénitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Résolution de léquation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Recherche dune solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 5.2.4 Utilisation dune condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equations di¤érentielles linéaires du second ordre à coe¢ cients constants . . . . 5.3.1 Dénitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Résolution de léquation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Recherche dune solution particulière et solution générale . . . . . . . . .
ii
14 14 15 15 15 15 15 16
17 17 17 17 18 18 21 23 23 24 24 25 26
28 28 28 28 29 29 30 31 32 33 33 33 36
TABLE DES MATIÈRES
6
7
5.3.4 Utilisation dune condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Développements limités 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation de Laplace 7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Transformée de Laplace dune fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Applications à lanalyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
36
38 38 38 38 39 39 39 40 41 41 41 41 42 42 42 42 42 43 43
44 44 44 44 45 45 46 46 46 47 49 51 53 53
TABLE DES MATIÈRES
7.3.2 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ 7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Systèmes di¤érentiels linéaires . . . . .
Bibliographie
cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
53 54 55
56
Présentation du programme
Ce cours traitegrosso modoitems suivants composant le programme :des
1. Nombres complexes 2. 2. Suites numériques 2. 3. Fonctions dune variable réelle. 4. Calcul di¤érentiel et intégral 3. 5. Séries numériques et séries de Fourier. 6. Transformation de Laplace 7. Transformation enz. 8. Equations di¤érentielles. 9. Fonctions de deux ou trois variables. 10. Calcul matriciel. 11. Calcul des probabilités 1. 12. Calcul vectoriel.
v
Chapitre 1
Préliminaires
1.1 Dénitions préalables
1.1.1 Factorielle 1.1.1.1 DénitionSoitnun entier naturel. Lafactorielleden, notéen!;est le nombre entier :
n! = 1:2:3:  :nsin>1; 0! = 1, par convention. 1.1.1.2 ExempleOn a :5! = 1:2:3:4:5 = 120: 1.1.1.3 RemarqueIl est souvent utile de noter que(n+ 1)! = (n+ 1):n!. 1.1.1.4 RemarqueLa croissance den!est extrêmement rapide. Par exemple,50! = 3;04144 106:
1.1.2 Sommations 1.1.2.1 NotationSi lesaisont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que lon peut sommer, on dénit : n Xak=a1+a2+  +an, oùnpourra être+1: k=1 1.1.2.2 PropositionLa somme est unopérateur, i.e.C-linéaire : X(ak+bk) =Xak+Xbk, k k k X(ak) =Xak, pour tout2C. k k 1
1. Préliminaires
1.1.2.3 ExempleOn a, pourz2C: X! 3i:(zp+ 1) =iX3pzp!+ip3X=0p1! p=0pp=0 z2z3i i : =i+iz+i+2i6+i+i62++ 1.1.2.4 ExerciceMontrer que : nn(n+ 1) Xk=2: k=1
2
1.1.2.5 ExerciceMontrer que : n Xk213=(n+ 1)312(n+ 1)2+61n611=6+n(n+ 1) (2n+ 1): k=1 1.1.3 Combinaisons 1.1.3.1 DénitionOn appellecoe¢ cient binômialun nombre entier donné, pourk6n; par : Cnk=k!(nn!k)!: 1.1.3.2 RemarquePlusieurs observations sont nécessaires. Dabord, cest bien un entier, ce qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussink. Enn, plus concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre)kéléments parmin. Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres domaines. 1.1.3.3 ThéorèmeSoientk6n:On a les relations très importantes suivantes : Ckn=Cnk n; Ckn+Cnk+1=Cnk+1+1: Preuve.relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simpleLa première (partir du membre de gauche). 1.1.3.4 RemarqueLa deuxième relation estfondamentale. Elle prouve, de proche en proche, que les coe¢ cients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen bien simple de calculer et de représenter ces coe¢ cients : le triangle de Pascal (il semble en fait que ce soit plus ancien...).
1. Préliminaires
3
nk 8 7 3 4 5 6 20 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème) nest pas une perte de temps !
1.2 Polynômes 1.2.1 Rappels 1.2.1.1 DénitionOn dit quune fonctionP:C!Cest unpolynôme de degré nsil existe des coe¢ cients complexesa0;  ; an,anétant non nul, tels que : n P(z) =Xak:zk=a0+a1:z+  +an:zn: k=0 1.2.1.2 ExempleLes trinômes du second degré à coe¢ cients réels sont des polynômes de degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes. 1.2.1.3 PropositionSin2Net sizetasont deux complexes, alors : n1 znan= (za)Xzn1kak= (za)(zn1+zn2:a+  +z:an2+an1): k=0 Preuve.Développer le membre factorisé ; les termes sannulent presque tous.
1.2.2 Factorisation 1.2.2.1 ThéorèmeSoitP(z)un polynôme de degrén. AlorsP(b) = 0ssiP(z) = (zb)Q(z) , oùQest un polynôme de degré(n1).
x)f(ecaviebtno;odinete)xtnaitneppanvelo3)g(t(xc+P:+2xbneédiu,s.Oréosnp(xegax)=mônisudenocegedd)g(x),oùgestuntrfecaotiresnex(3)2:
1. Préliminaires
Preuve.SiP(z) = (zb)Q(z);alors il est évident queP(b) = 0: Réciproquement, notonsP(z) =a0+a1:z+  +an:zn:PuisqueP(b) = 0;on a0 = a0+a1:b+  +an:bn:Ainsi, en utilisant la proposition précédente : P(z)0 = (a0+a1:z+  +an:zn)(a0+a1:b+  +an:bn) =a1:(zb) +  +an:(znbn) =a1:(zb) +  +an:(zb)(zn1+zn2:b+  +z:bn2+bn1) = (zb)Q(z), oùQest un polynôme de degré(n1): Cest ce quil fallait montrer. 1.2.2.2 RemarqueCe théorème estfondamental, mais aussi très utile dans des cas simples. Il ne faut pas oublier quil est bien sûr aussi valable pour des nombres réels (puisqueRC) ! 1.2.2.3 ExempleSupposons quune parabolefcoupe laxe des abscisses aux points1et5, et que son minimum soit de1:On trouve facilement la forme factorisée de léquation de cette parabole. On applique 2 fois le théorème : f(x) = (x1):g(x),gde degré 1 sannulant en 5 = (x1)(x5):h(x),hde degré 0, i.e.h(x)est une constante: Ensuite, lextremum dune parabole se situe au milieu de ses 2 racines (éventuelles), cest-à-dire ici en3. Ainsi,1 =f(3) = (31)(35):=4:Soit1=4;i.e.f(x4(=1)x1)(x5). (x1)(x5)=4
4
x3)(x2+ntf(x)=(ppsoeluSeulnoqscheqonsafoncuela000pws=sehfdp:112.1.htigmpxe4E2.ehgithpb0=:iwdnows=TEMP=graphicwodnET=sg=PMhpars=icp0sw1100df:parleaitp.Onsent)x(s)uqfeèremhtoéérevnlteteenemqumeuqirbéglatnaixempleenx=3(paretnrgpaiheledivan3=x2+3xontix)f(elunruop6x2nasw=:fdp:T=swodniapgrP=EMwp=scshidnwo/:iwPMg//sETics/raph0011swp0arg=cihpws=s000p:p11widfhdtwi:=0010:1dpwfdihtpb0:=windows=TEMP
1.2.3.3 Remarque binômiaux jouent un rôle important en dénombrement. Ici,Les coe¢ cient observons la formule du théorème. Notons que : (a+b)n= (a+b)(a+b)  (a+b): | {z } n fois Trouver (dans le développement) le coe¢ cient deakbnk, cest compter le nombre de facons de prendre, dans le membre de droite ci-dessus,ktermes\a"parmin. DoncCnkreprésente bien le nombre de manières de prendrekéléments parmin.
1.2.3.4 ExercicePourquoi le raisonnement précédent est-il aussi valable si lon compte les \b"au lieu des\a"?
x33x2+2x6
1. Préliminaires
1.2.2.5 RemarqueAu lieu didentier les termes pour trouver les coe¢ cients polynômiaux, on peut e¤ectuer unedivision euclidienne de polynômes.
1.2.3 Formule du binôme 1.2.3.1 ThéorèmeSiaetbsont deux nombres complexes, et sinest un entier, alors : n (a+b)n=XCkn:akbnk: k=0 Preuve.Supposer que la formule est vraie au rangn, puis la démontrer au rang(n+ 1), en utilisant la relation(a+b)n+1= (a+b)(a+b)n.
1.2.3.2 ExempleDéveloppons(a+b)4:On lit la ligne n4 du triangle de Pascal (correspondant àn= 4). On y trouve les coe¢ cients binômiaux qui nous intéressent ici, i.e. lesC4k. Ainsi : (a+b)4= 1:a4+ 4:a3b+ 6:a2b2+ 4:ab3+ 1:b4:
:=fndwi0100pd2:scihpws//PMEpargindows/T:/w5=scshiapgrP=EM=Tswodniw=:0pbhtddfwi12:pp000s=swhpcig=arETPMwo=sdp:2iehfbthg:0papgrcshiwp=s0100:w=niodswT=ME=Pwp00012:pdfwidthgheifhpdtscs=paih10:2pw00dows=winP=gr=TEM
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