CORRIGÉ de l'Examen de Mathématiques (Probabilités et Statistiques)

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L1-S4-SV&SVN 2006/2007Examen du 15 mai 2007CORRIGÉde l’Examen de Mathématiques(Probabilités et Statistiques)
Exercice 1 :1. On tient compte du fait que la première classe est 3fois plus longue que les autres. La valeur lui corres-pondant dans le tableau étant 12 on la divisera par 3et on placera dans l’histogramme l’hauteur du premierrectangle à 4=12/3. Les autres hauteurs seront cellesindiquées dans le tableau sur la ligneX= 0. L’histo-gramme est donc :
2. On “discretise” la variableZen prenant pourZchaquefois la valeur de la moitié de chaque classe. NotonsparNla population totale (dans notre cas = 500). Les2 dernières lignes/colonnes du tableau nous aideront àcalculer la moyenne, respectivement la variance deXetY. On a :
3.
Y=N16Xnjyj=530200=064etj=1X=N16X425 = 0085nixi=500j=1V(Y) 16=NXnj(yjY)2=Y2Y2j=1= 1950/500(064)2= 34916V(X) =NXni(xiX)2=X2X2j=1= 595625/500(0085)2= 118(Y) =pV(Y) = 1868(X) =pV(X) = 1086.4. On a :Z= 5Y+ 425 = 5Y+ 425 = 393etV(Z) =V(5Y+ 425) = 52V(Y) = 8725d’où(Z) = 934.5. Le nuage statistique :
XY04210 1 2ninixinixi2222 8 3060120136 41 20 13 1101101100 12 36 68 50 22 22 210 0 01 12 26 32 30 100 100 1002 6 14 20 40 80 1603,25 2 8 10 32,5 105,625nj70 85 100 95 70 80 500 42,5 595,625njyj2801701000 70 160320njyj21120 340 100 0 70 320 1950
ov(XY)ationr=cedocrrléfeceitnzmsevaauleciasst070nod,)X(=)Y(nuagurlessisleausibisevtqeiusic,iecefcoletaenoiS.8.euqitsitatse6.1=YXiX6N1=j,boittnno=Y37neXtiyj.nijxlemeFina51=)YXoceL.7.20,505/3v(cooùd882L.9.1251=81juaemstroadeditpxraalémnedtyenemoindresthodedestauqéruopasérracdoX)xa(Y=yn:io677x50034cn=yjustedaroit.Laddentdrlateoiajdetsutnemeyedtexna0lecoefcientdealrdioetdjasuetxedentme:ana.OnyYX(voc=1=)X(V)49=0523eta0435X(Yc=vo=)1V)Y(loilnthaecldeuilecerid-à-tsec,talmen-perieext-pyactrltémeneneenhetelquoyameuqtneibO.4.iasnernene1e.3.=torepara,nuqonnx:noitaYy(0a=XésrrcaesquréouapdodeémhtnirdseomtdexemenarlaenypO.NOnocntîanluesI.OU=8ne303>.N.209.9xEreicec:2.1)doncx=1288y+0e´1enm³e´eNe=XenXm.5.T&1snoitseuqriov(nmeN³,aXon2)1e7t=esème=e25X5217118.DoncN,110(eemenhyarthpo6.).apOnlleeionensidstcogélaréeéomeyàealnueiqorscpasteap,eunnotnevnocrducoursquicorresopdnuaacpsérestneennerxpenimletaP.emelraoéhtemèr517ment5258X-àld,9-cdaerecn.OntmeneeduvrontêmeL.7.6nosiaremrmalerésultet=1tsbaeldslelaioon|Xir25|17380d,69ocnoiodnovatcnitalofets59ùo1=0(t)´=2¯toeD.elamroniolalendioitrtparédeonuesro,dnP.raiall,N(01)8/83138/1125817nP³X¯taoiirvoedellavr0ruegralle.Imm,4rqaiclstceaheulllno-nitaêtrdevrorepeenconleugu2r55561870=7,8odcnlpuslargequelinteesbl3t=slantaesrdacnemete13nelrs:5151tseraalo.X5238oiavonrdP(c:2{5nifinnocnO.utiodue.Soitnleffectactrt-pyteéhroqinéontdesnéruoueplavalùos8,1edrue-rersidélecadansosdnf-iocenoiostceuqetteasnoissuem.Rquar,ele.)tcolniroamlisirealonpeututue(c-à-dqiroéhterdacemêmlensdancdoteèsnrsuO.vidinid-ed38eluiquecrandlusg
cov(X Y) =XYXY. Mais 8. Remarquons qu’au risque égal (de 5%) on a obtenu à laquestion 6 un encadrement deXdans un intervalle de
n1111odcn9,6765n[112.2]=3nassiorctbono,etcolantien0ioitndufaitquetcompted|}te)ts7tP{(Z|salilentseaitinutnetnanebatsesel04/¯8/n17159M.=´0/on128+01725X201725X¯n³P=)}2
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