Coucours Fesic mai 2005

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Coucours Fesic mai 2005

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concours Fesic mai 2005
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. + 1 si bonne réponse,1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.
EXERCICE1   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. On considère   2 z la fonctionfqui, à tout complexeznon nul, associe le complexe :z=f(z)=. |z| SoientzC{0} etz=f(z). On appelleMle point de coordonnées (x;y) d’affixez    etMle point de coordonnées (x;y) d’affixez. 2 2 xy2x y   a. Onax=ety=. 2 22 2 x+y x+y b.zRsi et seulement siMappartient à l’axe des ordonnées.   8 c.f(1+un nombre réel.i) est d. Ilexiste un et un seul pointMtel queMetMsoient confondus.
EXERCICE2   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. SoitmR. On considère les points A, J, K et M d’affixes respectiveszA=1+i,zJ= i,zK=2+i etzM=1+im. SoitNle symétrique deMpar rapport à A.
a. LepointNa pour affixe 1+i(2m). b. Quelque soitmR, K est l’image deNpar la translation de vecteur JM. c. Ilexiste une valeur demet une seule telle que K soit l’image de J par la rotation π de centreMet d’angle. 2 d. Soitm=2. Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de prouver quezA(zKzM)=0.
EXERCICE3 2π1i On appellezet on posele complexe de module 2 et d’argumentt=. 3 2 n a. SoitnZ.test un nombre réel si et seulement sinest un multiple de 4. 2 πz b. estun argument de. 3 12 t 10 9 c. Lapartie réelle dezest2 . 2 8 d. 1+t+t+ ∙ ∙ ∙ +t=1.
EXERCICE4 On considère la courbe (C) cidessous, la droiteΔ:x=2 et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On appellefla fonction représentée par (C) etgla fonction définie parg(x)=ln[f(x)].
7
y
6 (C)
5
4
3
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Δ
1 x 6543221 1 1
2
a.gest définie sur ]2 ; 2[. 1 b.gest dérivable en 0 etg(0)=. e c. L’équationg(x)=1 possède exactement deux solutions. d. limgg(x)= −∞. x0
EXERCICE5   π a. Soitfla fonction définie sur I =par0 ;f(x)=ln(cosx)cos(lnx).fest 2   1 dérivable sur I et, pour toutxI,f(x)= −tanx+sin . x 1 2x+1 b. Soitx[1 ; 2]. On a 1. 2 2x+1 c. Lacourbe représentant la fonctionxln(2x6) dans un repère du plan se déduit de la courbe représentantxlnxpar une translation d’un vecteur de coordonnées (3 ; 2). 2 xsinx d. Soitfla fonction définie surRpar :f(x)=e .fest dérivable surRet, 2  −xsinx pourxR,f(x)=x[2 sin(π+x)+xcos(π+x.)] e
EXERCICE6 a. Onconsidère le raisonnement suivant :
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n n k « Pour toutxR, et pour toutnN, (1+x)=x1+nx. En particulier k=0   n 1 1  pournNetx= 1on obtient+1+nlim 1. Comme+n= n→+∞ n n   n 1 +∞, on en déduit quelim 1+∞+ =. » Ce raisonnement est exact. n→+∞ n b. Onconsidère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=xlnxsix>0 etf(0)=0 et on considère le raisonnement suivant : +∗ +∗ «fest continue surRcomme produit de fonctions continues surR. De plus, comme lim(xlnx)=0=f(0), c’est quefest continue en 0. Il s’ensuit x0 + + quefest continue surRet donc est dérivable surR». Ce raisonnement est exact.   x1 c. Soitfla fonction définie sur D = ]− ∞;1[]1 ;+ ∞[ par :f(x)=xln . x+1 On considère le raisonnement suivant : «fest définie et dérivable sur D car composée par des fonctions définies et dérivables surD. PourxD on peut écrire :f(x)=x[ln(x1)ln(x+1)] et on obtient alors
   1 1x1 2x f(x)=ln(x1)ln(x+1)+x− =ln+x1x+1x+1 (x1)(x+1)
Ce raisonnement est exact. n d. SoitP(n) la phrase définie surNpar : « 4+1 est divisible par 3. » On considère le raisonnement suivant : « Supposons qu’il existen0Ntel queP(n0) soit vraie. Montrons queP(n0+1) n0 est vraie. PuisqueP(n0) est vraie, il existekNtel que 4+1=3k. On a alors n0+1n0n0n0n0n0 4+1=4×4+1=3×4+4+1=3×4+3k=3 (4+k). n0 Ceci prouve que 4+1 est un multiple de 3 et donc queP(n0+1) est vraie. On en déduit que quel que soitnN,P(n) est vraie. » Ce raisonnement est exact.
EXERCICE7   2 1 1x Soitfla fonction définie sur ]1 ; 1[ parf(x)=ln six=0 etf(0)=0. 2 x1+x On appelle (C) la courbe représentantfdans un repère orthonormal du plan.
f(x) a. lim= −2. x x0 b.fest dérivable en 0 etf(0)=0.     2 1 1x1 c. Pourx]1 ; 1[ etx=0,fexiste et vautf=xln . 2 x xx+1 d. Soientgla fonction définie sur ]1 ; 1[ parg(x)=f(|x|) et (Γ) la courbe repré sentantgdans le même repère que (C). On déduit (Γ) à partir de (C) par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
EXERCICE8 Edésigne la fonction « partie entière ». Soitfla fonction définie surRpar :f(0)= 0 etf(x)=xlnxsix>0.
a. limfE(x)=0. x2 x<2
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4 b.E(x) dx=6. 0 c. Ilexiste une et une seule valeur réellextelle quef(x)= −x. e d.f(x) dxdésigne l’aire de la portion de plan située entre les droites d’équa 1 e 1 tionx=,x=e,y=0 et la courbe (C) représentantf. e
EXERCICE9 x 1 Soitfla fonction définie parf(x)=dt. 2 01t a.fest définie sur ]1 ; 1[. b.fest croissante sur ]1 ; 1[. c.f(0)=1. d.fest une fonction paire.
EXERCICE10 Pour tout entiern,n3, on désigne parunle nombre de diagonales d’un poly gone convexe ayantncôtés. On appelleula suite ainsie définie pourn3, de terme généralun.
a.u5=6 etu6=10. b. Pourtout entiern,n3, on aun+1=un+n1. c. Lasuiteuest une suite arithmétique de raisonn1. n(n3) d. Pourtout entiern,n3, on a :un=. 2
EXERCICE11 On considère les suitesuetvdéfinies pournNpar :
un+vnun+vn2 u0=1,v0=2,N un+1=,vn+1=. 2 1+2 a. Soitwla suite définie pournNpar :wn=vnun. La suitewest une suite 3 géométrique de raison2. 2 b. Quelque soitnN,unvn. c. Lasuitevest décroissante. d. Lesdeux suitesuetvconvergent et ont la même limite.
EXERCICE12 3 On considère la suite u définie pournNpar :u0=0,un+1=. 4un un1 Soitvla suite définie pournNpar :vn=. On considère enfin la suitew un3 définie pournNpar :wn=ln(vn). On admet queu,v,wsont bien définies. 1 a. QuelquesoitnN,vn=. n+1 3
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b.west une suite arithmétique dont la raison est égale au premier terme.   c. SoitnN; ln(v0×v1×v2×. . .×vn)= −(n+1)(n+3 .2) ln d. Lasuiteuest convergente.
EXERCICE13 Un sondage fait état de l’intérêt d’un certain nombre de personnes sur la lecture de trois revues, appelées A, B et C. Tous les chiffres cités cidessous font référence à ces personnes sondées. Parmi les personnes interrogées, 75 lisent A, 58 lisent B et 60 lisent C. On sait de plus que 18 lisent A et B, 18 lisent B et C et 15 lisent A et C. Enfin 3 personnes lisent les trois revues et 5 personnes ne lisent aucune de ces revues. Par ailleurs, et parmi les personnes qui ne lisent que la revue A, 20 sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue B, les deuxcinquièmes sont des fem mes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue C, il y a moitiémoitié d’hommes et de femmes. a. 150personnes ont été sondées. b. 100personnes lisent une et une seulement de ces trois revues. c. Oninterroge au hasard une personne du sexe masculin qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25% de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A. d. Oninterroge au hasard une personne qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.
EXERCICE14 Un feu tricolore de circulation reste 55 secondes au vert et 5 secondes à l’orange, temps pendant lesquels un piéton ne peut pas traverser. Puis il reste 60 secondes au rouge, temps pendant lequel un piéton peut traverser. Dans l’exercice, on ne s’in téresse qu’aux seuls piétons qui se présenteraient pour traverser à ce feu tricolore entre 8 h 00 et 8 h 05. À 8 h 00, ce feu se met au rouge. On appelleTla variable aléatoire qui donne, en secondes, le temps écoulé entre 8 h 00 et l’heure d’arrivée devant ce feu d’un pié ton qui souhaite traverser. On admet queTsuit une loi uniformément répartie sur l’intervalle [0 ; 300]. a. Ladensité de probabilité associée àTest la fonctionfainsi définie : 1 f(t)=sit[0 ; 60[ ou sit[120 ; 180[ ou sit[240 ; 300[ ;f(t)=0 dans les 3 autres cas. 2 b. Laprobabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes est. 3 2 c. Laprobabilité qu’un piéton attende plus de 40 secondes est. 15 d. Entre8 h 00 et 8 h 05, 10 piétons se présentent à ce feu tricolore. La probabilité 3 2 que 3 d’entre eux exactement aient attendu moins de 10 secondes est. 10 3
EXERCICE15   L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. Soit (D) la droite défi x= −3t+1 nie pourtRpar :y= −4t+3 .Lorsquet[0 ; 1], l’ensemble des pointsM z=t+1
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de (D) décrivent un segment ; soient A et B les extrémités de ce segment, A étant le point dont les coordonnées sont toutes positives. Soit (S) la sphère de diamètre [AB]. Soient (P) le plan d’équationxyz+3=0 et C le point de coordonnées (3 ; 3 ; 3).
1x3y a. Uneéquation cartésienne de (D) est= =z1. 3 4 b. Leplan (P) contient la droite (D). c. Uneéquation de (S) est donnée par (x1)(x+2)+(y3)(y+l)+(z1)(z2)=0. d. SoitGle barycentre de {(A,1) ; (B,1) ; (C,1)} (on notera queGexiste puisque la somme des coefficients n’est pas nulle). Le triangleGAC est isocèle.
EXERCICE16 Le schéma cidessous représente une situation de l’espace dans un repère ap proprié.
x
3
3
z
1
A O 12
B
y
On appelle (P) le plan perpendiculaire à (AB) passant par B et on appelle (C) le cône de sommet A et dont la base est le disque de centre B et de rayon 2.
a. Uneéquation de (P) est : 5xy2z+18=0. b. Ladistance de A à (P) est30 en unités de repère. c. Onconsidère le raisonnement suivant: « SoitM(x;y;z) un point de l’es −−→pace.Mappartient à (AB) s’il existetRtel que AM=tAB . Dans ce cas, on a   x3= −5t x=35t   y1=t. On en déduity=1+t»   z1=2t z=1+2t Ce raisonnement donne de façon nécessaire et suffisante une équation para métrique de la droite (AB). d. L’intersectionde (C) et du plan (yOz) est un disque.
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