Cours : équations à deux inconnues

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CHAPITRE XIII – SYSTEMES DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES I) Equation du premier degré à deux inconnues. a) Définitions et exemple. • 3 x + 2 y = 6 est une équation du premier degré à deux inconnues car les inconnues x et y sont à la puissance 1. • Les solutions de l’équation 3 x + 2 y = 6 d’inconnues x et y sont les couples de valeurs (x ; y) pour lesquels l’égalité 3 x + 2 y = 6 est vérifiée. • ( 2 ; 0 ) est solution puisque : 3 2 + 2 0 = 6 + 0 = 6. ( 1 ; 1,5 ) est solution puisque : 3 1 + 2 1,5 = 3 + 3 = 6. 2• Par contre, l’équation x – 3 y = 7 n’est pas une équation du premier degré ; le couple (2 ; –1) est une solution de cette équation. b) Solutions d’une équation du premier degré à deux inconnues. • L’équation 3 x + 2 y = 6 a les mêmes solutions que les équations suivantes : 2 y = 6 – 3 x y = 3 – 1,5 x • Cette équation a une infinité de solutions, ce sont les couples (x ; y) tels que y = 3 – 1,5 x. (0 ; 3), (2 ; 0), (– 2 ; 6 ), (4 ; – 3 ) sont des solutions. Dans le plan muni d’un repère, les couples solutions sont représentés par une droite. ···· II) Système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Définition. Un regroupement de deux équations du premier degré tel que : 3 x + y = 1 2 x + 3 y = – 4 où figurent les mêmes inconnues x et y s’appelle un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Publié le : mardi 22 octobre 2013
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CHAPITRE XIII – SYSTEMES DE DEUX E

UATIONS A DEUX

INCONNUES



I) Equation du premier degré à deux inconnues.

a) Définitions et exemple.

·3x+ 2ypremier degré à deux inconnues car les inconnues= 6 est une équation du x

etysont à la puissance 1.


·Les solutions de l’équation 3x+ 2y= 6 d’inconnues xet ysont les couples de valeurs
(x;y) pour lesque s l’égalité 3x+ 2y= 6 est vérifiée.
l

·( 2 ; 0 ) est solution puisque : 3´2 + 2´0 = 6 + 0 = 6.

( 1 ; 1,5 ) est solution puisque : 3´ 21 +´1,5 = 3 + 3 = 6.


·Par contre, l’équationx2 3yéquation du premier degré ; le couple= 7 n’est pas une
(2 ; 1) est une solution de cette équation.

b) Solutions d’une équation du premier degré à deux inconnues.

·L’équation 3x+ 2y= 6 a les mêmes solutions que les équations suivantes :
2y= 6 3x
y 1,5 3
=x

· équation Cettea une infinité de solutions, ce sont les
couples (x;y) tels quey= 3 1,5x.
(0 ; 3), (2 ; 0), ( 2 ; 6 ), (4 ; 3 ) sont des solutions.

Dans le plan muni d’un repère, les couples solutions sont

représentés par une droite.

II) Système de deux équations du premier degré à de ux inconnues.

Définition.

Un regroupement de deux équations du premier degré tel que :

3 +y 1 =
2x + 3y= 4


où figurent les mêmes inconnuesx ety un système de deux équations du s’appelle
premier degré à deux inconnues.

Un couple de nombres qui vérifie les 2 équations de ce système est appelé une solution
du système.


Pour résoudre un tel système, le principe est d’éliminer une des deux inconnues pour se
trouver aux simples équations à une inconnue.

a) Résolution par substitution.


⌦ cette méthode, on exprime à l’aide d’une des équations une des inconnues en Dans
fonction de l’autre pour ensuite reporter dans l’autre équation.


Pour le système précédent, on isole facilementyavec la 1èreéquation :y= 1 3x.
On remplace (ou substitue)y 3par 1x dans l’autre équation.

2x+ 3 y= 4 devient : 2x+ 3 ( 1 3x) = 4

2x+ 3 9x= 4
7x= 4 3
x=
7 7
x 1
=
En revenant à la première équation :y= 1 3x= 1 3´1 = 1 3 = 2

Vérifions, lorsquex= 1 ety= 2,

dans l’une des deux équations)



(

en connaissant déjày, on aurait pu trouver directementxen rem

plaçant

b) Méthode par combinaisons linéaires.

´1

3x+y = 1
2x+ 3y = 4

´( 3)

9 3y = 3
x
2x+ 3y 4 =

7x+ 0y 7 =
7x
= 7
D’où :x = 1

pas à exprimer facilement l’une des inconnues en fonction de l’autre.


En conclusion, le couple (1 ; 2) est la seule solution du système.



Remarque.

Cette méthode peut conduire à des calculs fractionnaires complexes lorsque l’on n’arrive

Première égalité : 3x+y= 3´= 3 2 = 11 + ( 2 )
Deuxième égalité : 2x+ 3 y= 2´1 + 3´( 2 ) = 2 6 = 4

6x 2y 2 =
6x+ 9y 12 =


´( 2)
´ 3

une des inconnues.
3x+y 1 =
2x+ 3y = 4

0x+ 7y 14 =
7y = 14
D’où :y = 2




⌦ Dans cette méthode, on multiplie les égalités pour avoir un même coefficient dev

ant

bre permet ainsi d’éliminer une inconnue)

(l’ajout membre à mem

Vérifions, lorsquex= 1 ety= 2,
Première égalité : 3x+y= 3´1 + ( 2 ) = 3 2 = 1
Deuxième égalité : 2x+ 3 y= 2´1 + 3´( 2 ) = 2 6 = 4

En conclusion, le couple (1 ; 2) est la seule solution du système.

c) Interprétation graphique.





La première équation s’interprète avec une
droite et la deuxième avec une autre droite.

Le problème revient donc à regarder
l’intersection de deux droites.

On retrouve sur le dessin la solution ( 1 ; 2 ).







III) Problèmes.


Certains problèmes se résolvent avec des systèmes de 2 équations à 2 inconnues. Dans
ce cas, on n’oublie pas de préciser ce que représentex, ce que représenteylors de la
mise en équation.

Exemple.

Pour classer des photos, un magasin propose des albums et des boites.

Léa achète six boites et cinq albums et paie 57 €.

Hugo achète trois boites et sept albums et paie 55,50 €.

Quel est le prix d’une boite ? d’une album ?

Choix des inconnues.
On notexle prix d’une boite etyle prix d’un album en euros.

Mise en équation.
Léa achète six boites et cinq albums pour 57 € donc : 6x+ 5y= 57.
Hugo achète trois boites et sept albums pour 55,50 € donc : 3x+ 7y= 55,5.
Les achats de Léa et d’Hugo conduisent au système :
6x+ 5y= 57
3x+ 7y= 55,5

Résolution du système.

Nous allons résoudre le système par la méthode des combinaisons.
6x+ 5y= 57´(- 1) 6 x 5y= 57
3x+ 7y 6 × 2= 55,5x+ 14y= 111


0 9y 54 =
x+

9y = 54
D’où :y = 6
En remplaçantypar 6 dans la première équation, on obtient :
6x+ 5´6 = 57
6x+ 30 = 57

6x= 27
x=
4,5
On vérifie que (4,5 ; 6) est bien solution du système.

Donc le système admet pour solution le couple (4,5 ; 6).

Retour à la situation.

Chaque boite coute 4,50 € et chaque album coûte 6 €.

p

le

(

o

ur le c

o

u

8
=

2

3

; 2

)

.


+ 2 = 4

Six 1 alors : = et= 2
x 2 + 2 + 2 =´1 = 2 + 2 = 4
(2 ; 1) est solution de l’équationx+2y=

4

u

e sol

n

)



b

n p

tio

s

e

u

q

me

2

5

1
=

= 7

2

ouple (2 ; 1) est

e c



nconnues, di

deux i

l

re si

) Pour chaque équati

N° 1. a

à

on

ti

u

.

on

2

= 8

2
=

+ 2

5

2

9


=

1

NCONNUES

EQUATI

A 2 I

ONS

5

= 1

7


+

N° 2. Parmi les couples de nombres, retrouver ceux qui sont solutions de
l’équation à deux inconnues : 3x– 2y= 5.

(0 ; 2) (3 ; 2)


Six = 0 et = 2 alors :

3x– 2 = 0 – 4 = – 4


(0 ; 2) n’est pas solution de l’équation

(– 1 ; 1)




N° 3. a) Vérifier que es
l
couples donnés sont
solutions de l’équation : 2
x+y 5.
=
(–2 ; 9)(0 ; 5)

(2 ; 1)

( 3 ; –1)



b) Représenter ci-contre les

points

repérés

par

ces

coordonnées ; qu’observe-t-



(– 1 ; – 4)

on ?

c) Le point M est sur la droite dessinée ; ses coordonnées donnent-elles une

solution de l’équation ?

3

NCONNU

TIONS A 2 I

ES

2

= 4

= 0

s s

mi le

ceux qui o

ystèmes donnés

tête, retrouver p

alculs de

r

a

) En e




b

s c

ffectuant le

E 2 EQU

A

S

YSTEMES D

ur solution le couple (

2 ; 1).

on

t po

= 5

3

4

qui

x

u

e

r c

ve

s à 2 inconnues, trou

tion

a

es de 2 équ

m

s systè

e

armi c

N° 1. a) P

3

=

4

= 7

+



= 1


+

4

n le couple (3 ; 2).

= 5

nt pour s

olutio

= 3

2 +

3


=

5 =
1 =+ 4






Si

= 3

x et= 2y= 1 alors :
 x+ 2y= 2 + 2 = 4oui
xy= 2 1 = 1non

m

(2 ; 1) n’est pas solution du systè

+ = 3

+ 2 = 4

e

)

(

(

2

;

3

)

(

4

10

(3 ; 2)

(

1

;

1

;

1

0

)

5

0

;

– 3

+ 5

24
=

22
=

ti

s

a

on

me










b) Mê

e

qu














)








(1 ; 0)

:

(2 ; – 3)

me

(1 ; 2)

:

l

e

ve

c

me

s

ys

ve

r c

e

ux qui so
3
+
3
+

e

s

, re

trou

utions du s
= 7

= – 3

ys

l

N° 2. a

pl

ou

c

s

e

l

rmi

) Pa




(3 ; 2 )





Réponses

( 2 ; 0 )

( 3 ; 6)

( 16 ; 8)

( 2 ; 6)

(1,2 ; 2,5)

(25 ; 4)

(29 ; 23)

(3 ; 2)

TION DE S

YSTEMES

(3 ; 2,5)

 ; 13 )( 31
17 17

R

ESOLU

5x 7y = 23,5
4x 3y= 2,7
+



4x 3y 5 =
3x + 2y= 7

onnues.

3 + 2y = 6
x
2x y = 10
+

3x +y = 15
2x y = 0

Dans chaque cas, exprimer l’une des inconnues en fonction de l’autre ;





10x 3y = 24
4x + 5y = 22

2a 62+ 3
b=
a 2b = 17
4x 2y = 7
3x + 4y= 19

re les systèmes p

d

ar la méthod

éso

u

3x+ 4y = 5
4x + 5y= 1

R

e dite d

e

s combinais

o

ns.

2ab = 4

3a + 5b= 6

x 2y = 0
3x 5y= 8

en déduire la valeur des de
x+y= 5


2x 3y= 0

ux in

c

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