Cours Maths - Partie Algèbre - Cours d'algèbre Maths1 LMD Sciences ...

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Cours Maths - Partie Algèbre - Cours d'algèbre Maths1 LMD Sciences ...

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• Langue: Français

Extrait

Cours d’algèbre

Maths1
LMD Sciences et Techniques

Par

M.Mechab

2

Avant Propos

Ceci est un avant projet d’un manuel de la partie Algèbre du cours
de Mathématiques de premières années LMD Sciences et techniques
et Mathématiques et informatique. Il peut aussi être utilement utilisé
par les étudiants d’autres paliers aussi bien en sciences et sciences et
techniques que ceux de Biologie, Sciences économiques ou autre.

Il sera composé de trois partie.

Cette première partie est un peu les mathématiques générales
La deuxième portera sur une introduction à l’algèbre linéaire
La troisième au calcul matriciel, qui est en fait le but ultime de ce
cours.

Toutes les remarques et commentaires sont les bienvenus de la
part des étudiants ainsi que de la part d’enseignants ou spécialistes
en mathématiques ou utilisateurs de mathématiques.
Ces remarques et commentaires nous permettront certainement
d’améliorer le contenu ainsi que la présentation de la version finale.

Elles peuvent être envoyées à :
[e-mail]

Pr.Mustapha Mechab.

Table des matières

1 ELÉMENTSDE LOGIQUE
1.1 OpérationsLogiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1La négation¬:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2La Conjonction∧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3La Disjonction∨:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Règlesde De Morgan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5L’Implication=⇒:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6La contraposée.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Laréciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétésdes opérations logiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ELÉMENTSDE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
2.1 LesEnsembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lesquantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Partiesd’un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Opérationssur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Applicationset Fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Compositiond’applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Restrictionet prolongement d’une application. . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Imageset images réciproques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Applicationsinjectives, surjectives, bijectives. . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Relationsbinaires
3.1 Relationsd’équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1Décomposition d’une application. . . . . . . .
3.2 Relationsd’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Pluspetit, Plus grand élément. . . . . . . . . . . .
3.2.2 ElémentsMinimaux et éléments maximaux. . . . .
3.2.3 BorneInférieure, Borne Supérieure. . . . . . . . .

Le Cours d’Algèbre.

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ParM.Mechab

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STRUCTURES ALGEBRIQUES
4.1 Loisde Compositions Internes. . . . . . . . .
4.1.1 Unicitéde l’inverse (du symétrique). .
4.2 Structurede Groupe. . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Groupesà deux éléments. . . . . . . .
4.2.2 Sousgroupes. . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 GoupesQuotients. . . . . . . . . . . .
4.2.4 Homomorphismesde Groupes. . . . .
4.3 Structured’Anneaux. . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 SousAnneaux. . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Homomorphismesd’Anneaux. . . . .
4.3.3 Idéaux. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 AnneauxQuotients. . . . . . . . . . .
4.4 Corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Caractéristiqued’un corps. . . . . . .

Le Cours d’Algèbre.

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TABLE DES MATIÈRES

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ParM.Mechab

1
Chapitre

ELÉMENTS DE LOGIQUE

Dans ce chapitre on se limitera à l’introduction des premiers éléments de la logique classique.

Définition 1.1On appelle proposition logique toute relationPqui est soit vraie soit fausse.
•Quand la proposition est vraie, on lui affecte la valeur1
1
•Quand la proposition est fausse, on lui affecte la valeur0.
Ces valeurs sont appelées “Valeurs de vérité de la proposition”.
Ainsi, pour définir une proposition logique, il suffit de donner ses valeurs de vérités. En
général, on met ces valeurs dans un tableu qu’on nommera“Table de vérités”ou“Tableau de vérités”

L’Equivalence⇐⇒:On dit que deux propositions logiquesPetQsont logiquement
équivalentes, ou équivalentes, si elles ont les mêmes valeurs de vérité.On note :P ⇐⇒ Q.
Sa table de vérités est donnée par :
P0 0 1 1
Q0 1 0 1
P ⇐⇒ Q1 0 0 1
Il est clair que SiO,PetQsont trois propositions logiques, alors : siOest équivalente à
PetPéquivalente àQ, alorsOest équivalente àQ.

1.1

Opérations Logiques

1.1.1 Lanégation¬:
Etant donnée une proposition logiqueP, on appelle négation dePla proposition logique
P, qu’on note aussi¬P, qui est fausse quandPest vraie et qui est vraie quandPest fausse,
donc on peut la représenter comme suit :
1
Le fait qu’une proposition ne peut prendre que les valeurs0ou1provient d’un principe fondamental de la
logique “classique” qui est :Le principe du tiers exclu, à savoir qu’une proposition logique ne peut pas être vraie
et fausse à la fois.

Le Cours d’Algèbre.

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ParM.Mechab

ELÉMENTS DE LOGIQUE

P0 1
P1 0

En établissant les tables de vérités des propositions(P ⇐⇒ Q)etP ⇐⇒Q, on déduit
que :

(1.1)(P ⇐⇒ Q)⇐⇒ P⇐⇒ Q

De même, la table de vérités dePest la suivante :

P
P
P

0
1
0

1
0
1

on voit qu’elle est identique à celle deP, par suite :

Propriété 1.1La négation de la négation d’une proposition logiquePest équivalente àP,
donc :
P ⇐⇒P

Remarque 1.1Pour définir une proposition logiqueP, il suffit de donner les situations où
elle est Vraie, dans le reste des situations la propositionPétant Fausse et inversement si on