Emmy - Réflexions sur un grand mathématicien : Emmy Noether

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Emmy - Réflexions sur un grand mathématicien : Emmy Noether

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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FemmesetMathematiques 20 mai 2006 AmphitheaˆtreDarboux,InstitutHenriPoincare,Paris Yvette Kosmann-Schwarzbach  (CentredeMathematiquesLaurentSchwartz,EcolePolytechnique)
Re exionssurungrandmathematicien:EmmyNoether
Emmy Noether (1882-1935) est connue surtout comme le fondateur de lalgebremoderne.Elleestaussilauteurdunarticlefondamentalquietablit lelienentreinvarianceetloisdeconservation,publieen1918.Ontouvera ci-dessous un extrait de cet article en traduction francaise, suivi de l’intro-ductionetdelaconclusiondelexposedu20mai2006,etdunebibliographie sommaire sur Noether.
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Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme, Gottinger Nachrichten, 1918, p. 235-257 (Extraitsdelatraductionfrancaiseparuedans Yvette Kosmann-Schwarzbach, avec la collaboration de Laurent Meersseman, e LesTheoremesdeNoether:InvarianceetloisdeconservationauXXsiecle,   e Editions de l’Ecole Polytechnique, 2edition, 2006)
 PROBLEMES VARIATIONNELS INVARIANTS (aF.Klein,pourlecinquantiemeanniversairedesondoctorat) parEmmy Noethera Gottingen PresenteparF.Kleinalasessiondu26juillet1918 Ilsagitdeproblemesvariationnels,quisontinvariantsparungroupe continu (au sens de Lie). [...] Ce qui suit repose ainsi sur une combinaison desmethodesducalculdesvariationsformeletdelatheoriedesgroupesde Lie. ......................................................... Le groupe est ditGinu nonticlorsque ses transformations s’expriment toutessousuneformegeneralequidependanalytiquementdesretemarap essentielsεs(cisngqeiueuel iqerrearmesˆeptasnnteppaeeturvee-rpe sentesparomnnusdontincfoapedtitepsulperbs).Demˆerametreeml,on parle deG ninioncnutipour un groupe dont les transformations les plus generalesdependentdefonctions arbitraires essentiellesp(x) et de leurs derivees,etcedemaniereanalytiqueouaumoinscontinueetcontinuˆment di erentiableunnombre nidefois. ......................................................... Soientx1, . . . , xnpeendsiseteanndsedtelbairavu1(x), . . . , u(x) des fonctions de ces variables. [...] Une fonction est dite uninvariantdu groupe quand il y a une relation :    2 2 ∂u ∂u ∂v∂ v P x,u, ,,  =P y,v, ,,  . 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y Enparticulier,uneintegraleestuninvariantdugroupesielleveri ela relation :   R R2 ∂u ∂u I=  f x,u, ,2,  dx ∂x ∂x   R R2(1) ∂v ∂v =  v, ,f y,2,  dy ∂y ∂y ......................................................... Z ZZ Z X ∂u  I=  dx f=  (i(x, u,,  ) ui)dx,(2) ∂x oueestnlesereprexpressions lagrangiennesmbrelemedetsec;erid-a-gauchedesequationslagrangiennesassocieesauproblemevariationnel  I= 0. [...] De la, il vient X i ui= f+ DivA .(3)
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En particulier, sifereremisdedseeueleepsirvecntiontqenu, alors, dans lecasduneintegralesimple,lidentite(3)devient[...]    X X d ∂fdui 0  u, u= i ui= fi i,(4) 0 dx ∂udx i alorsquepouruneintegralen-uple (3) devient :  ! ! X XX ∂ ∂f∂ ∂f i ui= f ui    ui.(5) ∂ui∂ui ∂x ∂x 1n∂x1∂xn ......................................................... Ilsagitdexaminerdanslasuitelesdeuxtheoremes: I.rglatneliiSeIest invariante par un groupeG, alors il y acombi-naisonslineairementindependantesentrelesexpressionslagrangiennesqui deviennentdesdivergencesetreciproquement,ilresultedecelalinva-riance deIpar un groupeGreoeremteescoenL.hteecslanedbllavaresa limitedunnombrein nideparametres. II.nitiSlraegleIest invariante par un groupeGdantdefodepencnitnos arbitrairesetdeleursderiveesjusqualordre, alors il y atitidentreesen lesexpressionslagrangiennesetleursderiveesjusqualordre; ici aussi la reciproqueestvalable. ......................................................... LeTheoremeIIdonne nalement,entermesdetheoriedesgroupes, la preuve d’une assertion de Hilbert a ce propos concernant l’absence de loipropredelenergieen«eitivatelrelareneg». Suite a ces remarques complementaires,leTheoremeIcontienttouslestheoremesconnusenmeca-niqueetc.ausujetdesintegralespremieres,tandisqueleTheoremeIIpeut eˆtredecritcommelageneralisationmaximale,entheoriedesgroupes,dela «rareleneegivitelat». ......................................................... Onpeut nalementdeduiredecequiprecedelapreuveduneassertion deHilbertconcernantlerapportentreabsencedeloipropredelenergie et«realerenegetivital»]etce,en[...uscndaeraftid,naraeelduspleng theoriedesgroupes. ......................................................... Hilbertarmequelabsencedeloipropredelenergieconstitueune caracteristiquedelatheoriedela«tivitalerraleeneeg». Pour que cette as-sertionsoitvalablealalettre,ilfautcomprendreletermerelativitegenerale pluslargementquonnelefaithabituellementetletendreauxgroupes  ( ) precedents,dependantden.fonctions arbitraires ————————–  ( ) Ici encore on constate la justesse d’une remarque de Klein, selon laquelle le terme de«evitielatr»doueiqysertrˆeitecalpmerapunehpusle «invariance par rapport a un groupe».
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