Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique

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Exemples de calcul exact de la somme d'une série

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1

G. COSTANTINI

EXEMPLES DE CALCUL EXACT DE LA SOMME D'UNE SÉRIE NUMÉRIQUE

Dans les exercices de cette fiche, tout calcul de somme d'une série sera précédé d'une étude de convergence.

Exercice 1

Calculer la somme des séries suivantes :

n

n

n

2

0

=

∞

(Utilisation d'une série géométrique)

∞

=

0

2

2

n

n

n

(Utilisation d'une série entière)

2

1

4

2

3

n

n n

n

-

-

=

∞

(

)

(Décomposition en éléments simples d'une fraction du type

P

P

n

n

+

2

où

P

n

+2

est scindé simple à racines dans

)

1

0

(

)(

)

n

n

n n

-

-

=

∞

α

β

(

α

<

β

<

n

0

)

(Idem que ci-dessus mais cas général pour

n

= 0)

1

2

1

1

k

k

n

n

=

=

∞

(Toujours une décomposition en éléments simples suivie d'un télescopage particulier)

∞

=

-

2

2

1

1

ln

n

n

(Télescopage particulier)

arctan

1

1

2

0

n

n

n

+

+

=

∞

(Trigonométrie puis télescopage)

n

n

n

n

1

2

4

1

+

+

=

∞

∞

=

+

-

2

)

1

(

)

1

(

1

n

n

n

n

∞

=

-

-

2

)

1

(

)

1

(

n

n

n

n

(Utilisation d'une série entière)

Exercice 2

Cet exercice utilise le résultat :

ζ

(2)

=

1

2

1

n

n

=

∞

=

π

2

6

(Voir exercice 8 pour une démonstration originale)

Calculer la somme des séries suivantes :

1

2

1

2

0

(

)

n

n

+

=

∞

∞

=

-

1

2

)

1

(

n

n

n

1

1

2

1

[ (

)]

n n

n

+

=

∞

∞

=

+

1

2

)

1

(

1

n

n

n

9

1

9

1

2

2

2

1

n

n

n

+

-

=

∞

(

)

36

1

36

1

2

2

2

1

n

n

n

+

-

=

∞

(

)