Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés

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Exercices de Mathématiques pour les Travaux Dirigés

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSTIN Parc Robert Bentz - 2, Rue Jean Lamour 54519 Vandoeuvre les Nancy Cedex tel +33 (0)3 83 68 50 00 fax +33 (0)3 83 68 50 01
ExercicesdeMathe´matiques
pourlesTravauxDirig´es
1`e´ re annee
AVANT-PROPOS
Cepolycopi´eestunrecueildexercicesdemath´ematiques`alusagedese´l`eves enpremi`ereann´ee`alEcoleSup´erieuredesSciencesetTechnologiesdelIng´e-nieur de Nancy. Leniveaudesexercicespropos´esestassezvariable:certainssontdes applicationsdirectesducours;dautres,marqu´esdunaste´ristique,sontun peudiciles,maisilspeuventtoujoursˆetrere´solusaveclesmoyensdont disposentles´el`evesdepremi`ereann´ee. Les exercices sont pour la plupart classiques. Les plus originaux provi-ennentdelabasededonne´esEXEMAALT(ExercicesdeMathe´matiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont men-tionne´senbasdepage.
L. Rosier
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
13.
SOMMAIRE
1er Semestre Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suite ´ iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s numer G´eome´trieaneeteuclidienne......................... 4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3G´eom´etrieanalytique............................... Applications deRdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5.1Limite-Continuite´................................. 5.2Applicationsde´rivables.............................. 5.3Applicationsr´eciproques............................ 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P l ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . o ynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FormuledeTaylor-Lagrangeetde´veloppementslimite´s.. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Int´egralessimples....................................... 9.1Inte´graledeRiemann............................... 9.2Calculdeprimitivesetdinte´grales.................. 2nd Semestre Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1Topologieg´en´erale-limites........................ 11.2Compacit´e......................................... 11.3De´rive´espartielles................................. 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alge`brelin´eaire........................................ 12.1Matrices-Syst`emeslin´eaires...................... 12.2De´terminants...................................... 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4Applicationsline´aires.............................. 12.5R´eductiondesendomorphismes.................... Int´egralesdoubles......................................
1 3 5 8 8 8 9 13 13 14 16 16 18 20 22 23 23 26
28 31 31 32 34 37 39 39 42 44 48 53 57
1. Ensembles - Applications
Ex. 1Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espacele symbole ap-propri´eparmi6∈6⊂: a)1C; b){2}R; c){312i}Z; d)2Q; e)R\QC\Z; f )π R; g){π}R. Ex. 2rpanegise´dnOIl’intervalle[04]nctosionecnofnoitre`dselesdeI dansRe:ntd´enieocsniuavdslefa¸a f1(x) =x2+ 3, f2(x) =x+ 1, f3(x) =x2+ 4x+ 2. a)Tracersurunemeˆmegurelescourbesrepre´sentativesdef1,f2etf3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. Onjustierasar´eponseparunargumentdunea`deuxlignesauplus. (A1)MRtel quexI f1(x)M; (A2)xI,x0Itel quef1(x) =f2(x0); (A3)xItel quex0I f1(x0)f3(x); (A4)x0Itel quexI f1(x0)f3(x); (A5)xI,f2(x)f1(x). Ex. 3Dans chacun des cas suivants, dire si l’applicationf:RRest injective, surjective ou bijective : a)f(x) =x2; b)f(x) =x3; c)f(x) =x(x21); d)f(x) = expx; e)f(x) = sinx. Ex. 4SoitA={a1  an}un ensemble fini. 1. Soitf:AA. Montrer quefest injective si, et seulement si,fest surjective.Ler´esultatpersiste-t-ilsiAest infini ? 1
2. Combien y a-t-il de bijections deAsurA?
Ex. 5majorant du nombre de chiffres d’un entierTrouver un n.
Ex. 6e´rme´re´nuqsunulpuSppsonorgnesoitand´epa5%par an, et que les int´erˆetsacquisa`landechaqueann´eeviennentsajouteraucapital.Au boutdecombiendann´eeslecapitalaura-t-ildouble´?
2
2. Nombres complexes
Ex. 1ensi(necame´ertuoserofsErircz=x+iy, avecx yR) les nombres complexes z1= 5ei4π z2= 3eiπ32eiπ6 z32+=13+iietz4=+11ii3Ex. 2Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants − ∙ 1 +i +; 1i3;+1+1ii3 Ex. 3snaR´eddrouesC´selnoitauqeantesuivs: a)z+z2 = 0; b)(12i)z(3i) = 0; z2 c)Im51= 0z Ex. 4de la somme de deux nombres com-Module et argument plexes Soientz1=ρ1e1etz2=ρ2e2rmin´eteerbmoncserxuednv.Otdeuplomesex analytiquement le module et l’argument dez=z1+z2(resp. dez0=z1z2). 1.Repr´esenterlespointsM1,M2etMdu plan d’affixes respectifsz1,z2et z. 2. On notez=ρe. Montrer que 1 ρ=ρ12+ρ22+ 2ρ1ρ2cos(θ1θ2)2(Indication:de´velopperzz¯.) 3. On suppose queM-igamiseditroaddexeaelnsitu´e`demi-platsadsnele naires.Utilisantlarepr´esentationg´eom´etriquedez1etz, montrer que sinθ=ρ1sinθ1+ρ2sinθ2ρ 4. On posez0=z1z2=ρ0e0. Donner les expressions deρ0etθ0, et repr´esenterlepointM0d’affixez0. 3
Ex. 5bmoNscreplomesextretginomoe´rtei 1. Utilisant le nombre complexeei(x+y), retrouver rapidement les formules de trigonome´triedonnantcos(x+y)etsin(x+y), puis celles donnantcos(2x) etsin(2x); 2.Ende´duirelesformulesdonnantcosxcosy,sinxsiny,sinxcosy. 3.Ende´duirelesformulesdonnantsinp+ sinq,sinpsinq,cosp+ cosqet cospcosq. Ex. 6neEc¸nodsie´ertnsexprimantdedeuxfa(1 +i)5, calculer C50C52+C54etC51C53+C55nt´gnelpsueleme´ar.ulerCalcCn0C2n+Cn4   (n1). Ex. 7Exprimercos(5θ)etsin(5θ)edide`aalcosθet desinθ. Ex. 8iLrlesexprn´earise:snoissecos4(θ),cosθsin3θetcos(2θ) cos2θ. Ex. 9Trouver les solutionsz1,z2dez2(4 +i)z+ 5i= 0. Ex. 10uleruneracinecar´reeclaCzde23i. Ex. 11Calculer les racines6eme`ed3 + 3i. Ex. 12R´eresoudz3iz2=2z3+ (2 +i)z24z. Ex. 13seuo´Rdrez4(2 +i)z2+ 3 +i= 0. Ex. 14Soitz=ei52π vaut. Que1 +z+z2+z3+z4? Exprimerz+z4et z2+z3en fonction decos(2π5)eurssvaldeuiedlereet,d´encos(2π5)et decos(π5). Ex. 15´Idu´eitnt de parallelogramme Prouver l’identite ´ |z+z0|2+|zz0|2= 2(|z|2+|z0|2)z z0CEndonneruneinterpre´tationge´ome´trique.(Indication:construirelepar-alle´logrammedontlessommetsontpouraxes0,z,z+z0,z0.)
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