Finance Exercices Evaluation par arbitrage, incertitude

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Finance Exercices
Evaluation par arbitrage, incertitude
Compléter un marché par une option On considère un marché constitué par un actifdontles revenus demain sont notésaet trois états de la natureE=fe1; e2; e3g:La matriceAdes paiements est :   A= 43 1
1. Le marché est-il complet? évidemment non!
2. Dénir ce quest une option dachat sur lactif Une option dachat sur lactif est un "papier" qui donne le droit dacheter cet actif (demain) à un prix xé aujourdhui.
3 Dénir les paiements associés à une option dachat de prix dexerciceK: le vecteur des paiements est :   + + + v(K) =(4K) (3K) (1K)
4. Montrer que lon peut compléter le marché en introduisant deux options dachats laissé au lecteur!(on montrera quun choix judicieux des prix dexercice permet dobtenir le résultat...
Valorisation dune option par arbitrage On considère le modèle du cours dans lequel une action de coursSaujourdhui est susceptible de monter (état up cours =uS) ou descendre (état down cours =dS). Il existe par ailleurs un actif sans risque dont le taux dintérêt est nul pour simplier.
1. Ecrire la matriceA;le vecteurp
  uS dS A= 1 1   S p= 1
2. A quelle condition le marché est complet?Aquelle condition il est exempt dopportunité darbitrage? Arégulière :u6=d 1 A ppositif()u >1> dmais il faut expliquer pourquoi!
Dans les applications numériques on prendra par exempleu= 3=2etd= 1=u; S= 1
3 Calculer lesq(e) 4 Dénir ce que lon appelle option de vente, ainsi que le ux nancier associé Une option de vente est le droit de vendre lactif à un prix xé à lavanceH   + + v= (HuS) (HdS)
5. On considère un investisseur qui achète deux options :une option dachat de prix dexercice Ket une option de vente de prix dexerciceH:Ecrire son revenu   + ++ + v= (HuS() +uSK) (HdS) +(dSK)
6 Calculer le prix de ce portefeuille pourH=K=S
Modèle à deux périodes On considère les données de lexercice précédent sur deux périodes(ud= 1; u= 3=2).
1. Représenter larbre des cours On considère une option dachat négociée à la date 0 de prix dexerciceK=S(avec <1): Ala di¤érence dune option européenne cette option peut être exercée soit à la date 1 soit à la date 2. Plaçons nous à la date 1 dans létat où laction vautuS: Soitle détenteur de loption la garde ou la vend, soit il lexerce.
2 Calculer la valeur de loption (non exercée) à la date 1 dans létatuS 2 qu(u) +qd(ud) =u
3 Calculer le revenu obtenu à la date 1 si (au contraire) le détenteur exerce loption à la date 1
u5. Calculer le prix de loption à la date 0 6. Que se passe-t-il si >1?
Comportement en incertitude
Action et prise de risque e e + Le détenteur du capital dune entreprise a un revenu égal àxe= max(0; RD) = (RD) DAest la dette. Les variables aléatoires considérées ici (les bénéces de lentreprise) sont continues et varient entreAetB:Lactionnaire évalue ce revenu aléatoire grace à une fonctionusous lhypothèse de von Neumann.
1. rappeler lhypothèse de v N linvestisseur calcule
B Z + (1)Eu(ex) =u((rD) )f(r)dr A e Le CA a le choix entre deux stratégies. Lune donne un revenu aléatoireR(fonction de répartitionF) e lautre donne un revenuS(fonction de répartitionG) de même espérance mais plus risqué.
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1. rappeler la dénition de "plus risqué que" ainsi que sa caractérisation t t Z Z e e G(s)dsF(r)dr;etE(S) =E(R) A A R B e 2. Montrer queE(R) =BF(r)dr A (On intègre par parties)
e 2. Montrer quun actionnaire neutre au risque (uest lidentité) préfère adopterS(prendre des risques) dès lors queD > A: on calcule (1) pour les deux variables aléatoires:
B Z Eu(ex) =(rD)f(r)dr D B Z =rf(r)drD(1F(D)) D B Z B = [rF(r)]F(r)drD(1F(D)) D D B Z =BDF(r)dr D B D Z Z =BDF(r)dr+F(r)dr A A
Le problème de gestion de stock dun commerçant
Un commerçant (de denrées périssables) achète en gros au prix unitairec. Il renvend au prixp:La demande est aléatoire (indépendante dep)égale àex(v.a. positiveinférieure à B de fonction de répartitionF):Il doit déterminer son approvisionnementz, sachant que tout surplus invendu est perdu. On suppose dabord quil est neutre au risque.
1. Calculerlespérance de son prot sil décide dacheterz: Z B pmin(x; z)f(x)dxcz 0
2 Calculer sa stratégie de commande optimale Z Z z B pxf(x)dx+pzf(x)dxcz 0z et on dérive par rapport àz:
3. Que se passe-t-il si le risque augmente (la demande passe deexàye, avecyeplus risquée que ex)
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