Fonction continue et positive dont l integrale est nulle

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Fonction continue et positive dont l integrale est nulle

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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a a * a e  ˛  a a e h ˛ - a a * * "  a ˛  h  $ a a  * -   a a e h h ˛ ˛ a - - h e a ˛ h a a a $ h a - a a   - h a h  a a h ˛ - a h h ˛ a ˛ a $ h  - e a a h ˛ a  h $ Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Propriété Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue et positive sur I. b Si ƒ(t) dt = 0 alors ƒ = 0 sur I.a Démonstration : Par l'absurde. Supposons : I : ƒ( ) > 0 Comme ƒ est continue en , on a : , : ( x [ , + ] ƒ(x) [ƒ( ) , ƒ( ) + ])+ + ƒ( ) En particulier, pour = > 0 : 2 ƒ( ) 3ƒ( ) : ( x [ , + ] ƒ(x) [ , ])+ 2 2 C'est-à-dire : ƒ( ) 3ƒ( ) : ( x + ƒ(x) )+ 2 2 ƒ( ) ƒ(x) ƒ( ) = 2 x + a b Posons u = max(a ; ) et v = min( + ; b). On a ainsi : u < v. (Car l'ensemble {a ; } est majoré par et l'ensemble { + ; b} est minoré par et l'un des deux au moins l'est strictement) Soit x [u, v]. Ainsi : ƒ( ) ƒ(x) 2 Intégrons cette inégalité entre u et v. Comme u < v, il vient : vƒ( ) (v u) ƒ(x) dx2 u Le membre de gauche de cette est inégalité est strictement positif : Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 1 G. COSTANTINI " a  p a - a p - - ˛  -  - - ƒ( ) 0 < (v u) (car ƒ( ) > 0 par hypothèse et u < v) 2 Étudions le membre de droite : D'après la relation de Chasles, on a : b u v b ƒ(x) dx = ƒ(x) dx + ƒ(x) dx + ƒ(x) dx   a a u v Donc : b v u b ƒ(x) dx ƒ(x) dx = ƒ(x) dx + ƒ(x) dx   a u a v Et comme ƒ est positive sur I, elle l'est sur [a, u] et sur [v, b]. D'où b v ƒ(x) dx ƒ(x) dx 0 a u Donc : v b ƒ(x) dx ƒ(x) dx u a Bilan : On peut finalement écrire : v bƒ( ) 0 < (v u) ƒ(x) dx ƒ(x) dx 2 u a C'est à dire : b 0 < ƒ(x) dx a b Ce qui contredit l'hypothèse ƒ(t) dt = 0.a La propriété est donc démontrée. Remarques : les hypothèses H1 : ƒ continue sur I H2 : ƒ positive sur I sont nécessaires. En effet : b1 Si H1 n'est pas vérifiée, en choisissant ƒ nulle sur I sauf en (a + b) on a ƒ(t) dt = 0 et ƒ non identiquement2 a nulle sur I. Si H2 n'est pas vérifiée, il suffit de choisir une fonction impaire (et non identiquement nulle) sur un intervalle I b centré en 0 (par exemple ƒ = sin sur [ , ]) pour avoir ƒ(t) dt = 0 et ƒ non identiquement nulle sur I.a Cependant, l'hypothèse H1 peut être affaiblie en la remplaçant par : On appelle régularisée de ƒ H1 faible : ƒ est continue par morceaux sur I et est égale ~ l'application notée ƒ définie par : ~ à sa régularisée ƒ sur I. ~ 1 + t [a, b] : ƒ (t) = (ƒ(t ) + ƒ(t )) 2 Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 2 G. COSTANTINI ˛ " - - " -  - -    - - ˛ - - - - ˛ - "  - -  ˛  " On obtient alors une extension de la propriété : Propriété étendue Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue par morceaux et ~ positive sur I. On suppose de plus que : ƒ = ƒ sur I. b Si ƒ(t) dt = 0 alors ƒ = 0 sur I.a Démonstration : Soit (t , t , ..., t ) une subdivision adaptée à ƒ. Cela signifie :0 1 m • a = t < t < ... < t = b0 1 m +• i {0 ; ... ; m 1}, la restriction de ƒ à ]t , t [ est continue et admet des limites finies en t et t .i i+1 i i +1 Par la relation de Chasles, on a : m 1b ti+1 0 = ƒ(t) dt = ƒ(t) dt a tii=0 Or, une somme de quantités positives est nulle si et seulement si chacune de ces quantités sont nulles : ti+1 i {0 ; ... ; m 1} : ƒ(t) dt = 0ti Et comme ƒ est continue sur ]t , t [, on a, d'après la propriété initiale :i i+1 i {0 ; ... ; m 1} : ƒ = 0 sur ]t , t [i i+1 Donc ƒ est nulle sur [a, b] sauf peut-être en les t . (0 i m 1)i ~ Mais, comme ƒ est égale à sa régularisée ƒ , on a : 1 + i {0 ; ... ; m 1} : ƒ(t ) = (ƒ( t ) + ƒ( t ))i i i 2 +Or, ƒ( t ) = ƒ( t ) = 0 puisque ƒ = 0 sur ]t , t [.i i+1i i Donc : ƒ(t ) = 0i Et finalement : ƒ = 0 sur [a, b] Exercice : Soit I = [a, b] un intervalle de avec a < b. Soit ƒ une application de I dans , continue telle que : b b b 2 3 4 ƒ (t) dt = ƒ (t) dt = ƒ (t) dt  a a a Montrer que ƒ = 0 ou ƒ = 1 sur [a, b]. L'idée est de calculer : b b b b 2 2 4 3 2 (ƒ ƒ) (t) dt = ƒ (t) dt 2 ƒ (t) dt + ƒ (t) dt = 0   a a a a 2 2 De plus, (ƒ ƒ) est continue et positive sur [a, b]. Donc : 2 2(ƒ ƒ) = 0 sur [a, b] ƒ(ƒ 1) = 0 sur [a, b] Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 3 G. COSTANTINI " - " Ì ˛ ˛ ƒ(t)(ƒ(t) 1) = 0 t [a, b] ƒ(t) = 0 ou ƒ(t) = 1 t [a, b] On a donc : ƒ([a, b]) {0 ; 1} Or, ƒ étant continue, l'image d'un segment est un segment. Donc : ƒ([a, b]) = {0} ou ƒ([a, b]) = {1} Ce qui signifie : ƒ = 0 ou ƒ = 1 sur [a, b] Fonction continue et positive dont l'intégrale est nulle. Page 4 G. COSTANTINI
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