Forces centrales conservatives - M7 – FORCES CENTRALES ...

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Forces centrales conservatives - M7 – FORCES CENTRALES ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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M7 – FORCES CENTRALES CONSERVATIVES – CAS DE L’INTERACTION NEWTONIENNE eiltnam´treUntfrnpoiemme´equcnnotnernehprte´coueiqysleneerncnemevuomiopnudt soumis`auneforceconstammentdirig´eeversunpointxequonappelle«force centrale»( Ü Cf §I). cette situation se rencontre en particulier :  à l’échelle microscopique, avec, dans le cadre de la mécanique classique, par exemple, le cas d’un électron soumis à l’action d’un noyau atomique,  à l’échelle astronomiquelorsque nous observons, par exemple, le mouvement des astres soumis à la force de gravitation du Soleil.  L’étude de ce problème est grandement simplifiée par :  l’utilisation des deux théorèmes généraux de la mécanique du point : leThéorème du Moment Cinétiquerencontré dans la leçonM6§( CfII) et leThéorème de l’Énergie Ü Mécaniqueconnu depuis le leçonM3( Cf§III). Ü  l’introduction de la notion d’«énergie potentielle effec tiveCf §» (IV). Ü  La seconde partie de ce cours (§V) concerne l’interaction newtonienneavec l’étude spécifique du mouvement d’un point matériel dans le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle fixe. Les résultats obtenus peuvent être appliqués à la majorité des mouvements observés en astronomie : ceux des planètes autour d’une étoile et des satellites naturels ou artificiels autour des planètes. Dans la leçonM10, nous verrons com ment réutiliser ces résultats dans le cas où le centre de force Comète HaleBopp vue de la Terre en 1997 n’est pas fixe. I Forcescentrales conservatives I.1 Champde forces centrales inenoit:´DSoitOertneilud´rfee´pointxeunR.detu´edLorsqu’en tout pointMde l’espace, un point −→ mate´rielestsoumisa`uneforceF(M)olc´einreaiau −−→ vecteurOM, on parle dechamp de forces cen z (R) e trales:r M M∈ E OM×F(M0) =Fest une force centrale eF z On appelleOlecentre de force. −→ O itunurteecuvndioeriantidae´evlcAerdes coor −−→y e y OM −→ xe donn´eessph´eriqueser=ircre:peon´eut,x OM −→ −→ F(M) =F(M)er
I.2 Champde forces centrales conservatives −−→ −→OM Pprie´t´e zro :Un champ de forces du typeF(M) =F(r)er, avecr=OMeter= OM est un champ deforces centrales conservatives. −→dEp−→dEp −→ Alors,Fd´delerevireig´neleeloteptienEptelle queF(r) =− ⇔F=er drdr
M7`afoentsentrrceclaeprro.PIIdse´te´imevuomse20082009 D´emonstration:onduneforceconsreavitev:Oevnrtneiala`e´ditin Fest conservativeδW(F) =dEp −→ −→−→ −→−→ −→−→1 CommeOM=r er, on a dOM= dr er+rder, avecerderirdeesc`aterder= 0 −→ −→ Donc, pour une force centrale du typeF(M) =F(r)er: −→ −→−→ δW(F) =FdOM=F(M) =F(r)er(dr er+rder) =F(r)dr dEp Paridentication,onend´eduit:F(r) =dr I.3 Exemplesde forces centrales conservatives : (1)Forcederappel´elastique:quetastiurstoujoostrrnse´nleo(uuued,)udnerueugnol l=OM=rs,tdeeeex´eexntertt´umoinnOurusbomnxeecreh´e`asonileattacuarte extr´emite´Mune force : 1 −→dEp,el2Cte=0 pour1 2 Fel=k(rl0)er=erEp,el=k(rl0) +Cte−−−−−−−→Ep,el=k(rl0) dr2avoirEp(l0)=02 (2) Force coulombienne :un noyau d’or, de chargeQ=Zen´ceela,pOexerce sur un ion h´elion,dechargeq= 2ealis,loce´neM, une force : −→1q.QdEp,e1q.QCte=0 pour1q.Q Fe=er=erEp,e= +Cte−−−−−−−−−→Ep,e= 2 4π0rdr4π0ravoirEp()=04π0r (3) Force gravitationnelle :em,dueiqseasrte´mysere´hpseitredunasmO, de centreO, de rayonR,exercesurunpoiamtnre´tleiM, de massemree,nacntsatiasltad`r=OM >R, une force : −→m.mOdEp,gm.mOCte=0 pourm.mO Fg=−Ger=erEp,g=−G+Cte−−−−−−−−−→Ep,g=−G 2 rdr ravoirEp()=0r IIPropri´ete´sdesmouvementsa`forcecentrale II.1Conservationdumomentcin´etique ofcrse:tsySeme`e´r,re´ftienetellabiesndSoitS={M, m}eidlmesaes,unpointmat´erm, e´tudi´edansunr´ef´erentielgalile´enRenuso,isumun`a´eernaetustlroecedfssassquile`asimi −→ −→ force centraleF=F(M)er, de centre de forceO(Oest donc fixe dansR). Leemr`uMedTeoh´ite´euqnemoniCt`aaqu´eppliM:  ! −−−→ dLO/R(M)=MO(F) =OM×F= 0LO/R(M) =Cte dt R Proprie´t´e1:antseulementunefmttae´irleusibssPounurinporenttnececroecedelarO, il z y aiquen´etlu´e´evanoudavittnicomemernscoenO:LO/R(M) =Cte
−→ −→ Rq1 :Pour connaˆıtre ce vecteur constant, il suffit de connaˆıtre les conditions initiales (OM0, v0) du pointM: −→ −→ L(M) =Cte=OM×mv O/R0 0 −→ Rq2 :rine´dtuetcevnurnpeuOCreatni,spp(arcpa´eel« vecteurcinématique »)tel que −−−→ −→LO/R(M)−−→ −−−→ C= =OM×vM/R. m −→−→ −→ Ce vecteur est également constant, et fixé par lesC.I.:C=Cte’=OM0×v0 2d1 = 0 −→ −→−→21. Eneffet, pour un vecteur unitaireer, on akerk= 1dkerk= d(erer) = 2erder 2http ://pcsiunautreregard.overblog.com/Qadri J.Ph.
20082009`atsenemuvmoessdelartnececrofII.Propri´et´e II.2 Mouvementplan II.3 Loides aires
Qadri J.Ph.
http ://pcsiunautreregard.overblog.com/
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