L1 Cours Physique, chapitre 1 - Diapositive 1

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L1 Cours Physique, chapitre 1 - Diapositive 1

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Vibrations Ondes et Optique (cours commun à toutes les Licences es Sciences au 2ème semestre)
28 h de cours en amphi le lundi de 8h à 10h (enseignant : Jean-François Legrand )
+ 28 h de travaux dirigés en groupes
Le contenu : - Mouvements oscillants
- Propagation (ondes mécaniques et acoustiques)
- Ondes électromagnétiques dans le vide
- De l optique ondulatoire à l optique géométrique ’ ’
- Formation d images
Un contrôle des connaissances (écrit) fin mai
Quelques livres de références :
Physique Générale (tomes 1 et 2) par M. Alonso et E.J. Finn InterEditions, Paris
Physique J. Kane et M. Sternheim InterEditions, Paris
Physique pour les sciences de la vie (tome 3. les ondes) A. Bouyssy, M. Davier et B. Gatty Éditions Belin, Paris
+ …  
Chapitre 1 : Mouvements Oscillants
1) Introduction
les oscillations dun pendule élastique la vibration d un diapason le balancement d un pendule pesant le mouvement des marées
Ont comme caractéristiques communes
) un déplacement alternatifde part et d autre d une position d équilibre
’ ’ ) l existence d une force de rappel
) un mouvement spontané (oscillations libres) ou un mouvement entretenu (oscillations forcées)
) une même équation différentielle pour décrire leurs mouvements
F GJJG our x > l 0       F = − k ( x l 0 ) e JGJJG our x < l 0       F = + k ( l 0 x ) e la constante k est la «dureté»   J F G k ( x l 0 ) e JJ x G kX e JJ x G du ressort (en Nm -1 ) ⇒ = − − = _____________________ GGJJG F = ma = m  x   e qui se traduit par l équation différentielle :  k ( x l 0 ) = m  x  En utilisant la variable déplacement : X ( t ) = x ( t ) l 0  X x m   ou encore  k k = m  = X  X + X = 0 m
2) Mouvement horizontal d un mobile attaché à un ressort
) Un mobile de masse m , attaché à un ressort de longueur l 0 (au repos) glisse sans frottement sur une ti e g horizontale Ox ) A l équilibre, la position du mobile est x = l 0 . Si le mobile est écarté de sa position d équilibre il est soumisà une force de rappel élastique F :
on ve :trou : 1h.Cts llanevemM uosoictn s:edol iedN weot nlebibé o àit 2lauom emevd tnom uLe
En introduisant comme variable déplacement : X ( t ) x ( t ) l 1 ) : X + kX = 0  m
elle
F
Pour décrire le mouvement, la 2loi de Newton s écrit : m  x  k ( x l 0 ) + m = − k ( x l 1 )
A l équilibre, la position du mobile est x = l 1 La somme des forces est nulle : mg k ( x l 0 ) = 0 et x = l 1 = l 0 + mg / k
2) Mouvement vertical d un mobile suspendu à un ressort Le mobile de masse m est à suspendu au ressort de longueur au repos l 0 . Le mobile est soumis à deux forces, la force de rappel élastique : JGJJG = − k ( x l 0 ) e JGJJG mg = mge x
mg
 nidtaoineitffrée uv mlae êmqu ér noorteedilsc otsenemuvMo : 1 .hCaltn s oi p :dseton s
Ch.  1: Mouvements ocsillant s
3) Cas général du mouvement dans un «potentiel harmonique» E La force de rappel d un ressort F G = − kX e JJG = − ddX p e JJ x G peut s exprimer par la dérivée 1 2 de l énergie potentielle élastique : E p = kX 2 De façon générale, une énergie potentielle E p qui varie comme le carré de ’ ’ l éca rt à la position d équilibre X=x-x 0 est appelé potentiel harmonique. ( Il s agit le plus souvent d une approximation limitée aux petits déplacements)
) E p est minimum en x = x 0 et la force de rappel y est nulle : F(x 0 ) = 0 ) La constante de rappel k est donnée 2 par la courbure du potentiel en x = x 0 : k = − ddXF = ddXE 2 p
illants ents oscoM :mevuhC 1 .
et comme uation différenti θ g θ = 0  éq elle du mouvement : l
La position verticale du pendule est donnée par l expression: X ( t ) x ( t ) l = l (cos ( t ) 1)
4) Mouvement oscillant d un pendule simple
Pour de petites oscillations : cos θ 1 -θ 2 / 2 1 2 E p m l La c E c = 12 mv 2 = 12 m ( ld  )( 2 E 2)0 ’ ’ onservation de l énergie mécanique totale s écrit : E =   dt c p Ce qui donne : ml 2 θθ mgl θθ= 0
Son énérgie potentielle dans le champ de pesanteur est donnée par : E p = − m X ( t ) = m l ( 1 cos θ ( t ) )
ntiebt oonlt Ep  eigrené enu  le  «harotentiel:»Lnéreominuq equtiu ede ginéci: tsibome el
ble ossion pluti eosnU2 cillantsemtn sso: M uoevC 1h.===mmtxtxtxtxtxtxωω)sinet    ()cosm2: toc)(ac s(  r ldequéioatesn  set
Une autre solution possible est : x ( t ) = x n sin ω t Donc toute combinaison linéaire du type : x ( t ) = cos ω t + μ sin ω t est aussi une solution
 x ( t ) A cos( t )
tions de l’équation différentiel  0 5) Solu le x ω x =
En posant : = A cos α  et μ= A sin α la solution générale peut encore s’écrire : x ( t ) = A cos( t −α )
nt, ouvedopton alpture aalr tô  ntseréep: n ioat 
νπωνsu (e)it2                   1 .hM : evuotnemCs oscillants 
5) Solutions de l’équation différentielle  x    ω x = 0
Soit la forme générale de la solution: x ( t ) A cos( t ) Quelle est la signification physique des constantes A , , ϕ ?
) t+ φ) est la phase au temps t et φ est la phase initiale ( t =0)
unité d angle : radian (rad)
unité : radian par seconde (rad.s -1 )
’ ’ ) la fréquence de l oscillation est l inverse de la période = 1/ T = / 2
unité : s -1 ou Hertz (Hz)
) ω est la pulsation; elle est relièe à la période T par ω T = 2 π
unité de longueur (m)
) A est l amplitude : la plus grande valeur atteinte par |x(t)|
mt
π/2ω π/ω
cinétique et énergie potentielle
Pour une équation du mouvement : x ( t ) A cos( t ) la vitesse est donnée par : x  ( t ) A sin( ω t )  E c ( t )12 mx 2 = 12 m 2 A 2 sin 2 ( ω t ) E p ( t ) = 21 kx 2 = 21 m 2 A 2 cos 2 ( ω t ) E m E c ( t ) + E p ( t ) = 12 m ω 2 A 2 = Cte
mécanique se conserve, mais
qu elle oscille entre énergie
noqieuh.
avec une période : π/ω = T/2.
6) Energie mécanique d un oscillateur harmonique
tami-noif.utna/rr-eurmhaciosatll/:ptth enow.www/ssaur oiit slei =VrenéLe stiqucinégie greiéen tL:céirleelé sot ptienort  evutircnO:  lénergbien queei1 . ChemuvMo: o csnesttn slial
oisc ve at, f= γ2 :ω  tem/k/m 2 = :)nO .noc tallsnoie  ls cadésirareaptriapmedl oscides de  litu
7) Déperdition d énergie et amortissement des oscillations
tn sevemllnasoicCh. Mou 1 :
avec : = ω 02 −γ 2 Comment détermine t’on les coefficients A et φ ?
Toute perte d énergie mécanique se traduit par une diminution progressive
culier d une G G force de frottement visqueux proportionelle à la vitesse : f v ( f est un facteur dépendant de la forme du solide et de la viscosité du milieu)
Dans le cas du pendule élastique,  l équation du mouvement devient : mX = − kX fX ou encore:  X  fX  + kX = 0 m m  2 0 X 2 γ X 0 X = 0
Pour un amortissement modéré ( γ << ω 0 ) la solution de l équation différentielle est : X ( t ) A  exp( t ) cos( ω t )
 ts
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