– Les centres de gravité de parallélogrammes, de triangles et de ...

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– Les centres de gravité de parallélogrammes, de triangles et de ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ARCHIM»DE par : AndrÈ Ross Professeur de mathÈmtiques CÈgep de LÈvis-Lauzon
MathÈmaticien grec nÈ ‡ Syracuse en Sicile, vers 287 av. J.-C., ArchimËde est mort en 212, tuÈ par un soldat romain lors de la seconde guerre punique. Sa vie fut entiËrement consacrÈe ‡ la recherche scientifique et ses dÈcouvertes sont tellement fondamentales quÕelles ont des retombÈes dans tous les champs scientifiques.
ArchimËde1
Il sÈjourna en …gypte et a peut-Ítre ÈtudiÈ ‡ Alexandrie avec les successeurs dÕEuclide. Il correspondait avec …ratosthËne qui fut son ami et ‡ qui il communiqua plusieurs de ses dÈcouvertes par Ècrit. On raconte plu-sieurs anecdotes sur ArchimËde et la plus cÈlËbre est lÕhistoire de la couronne du roi HiÈron. Celui-ci, soup-Áonnant lÕorfËvre dÕavoir remplacÈ une partie de lÕor par de lÕargent demanda ‡ ArchimËde de trouver com-ment prouver cette substitution. Selon la lÈgende, il prenait son bain lorsquÕil dÈcouvrit comment dÈmon-trer la supercherie et, fier de sa dÈcouverte, il se serait prÈcipitÈ nu dans la rue en criant: ´EurÍka, EurÍkaª (jÕai trouvÈ, jÕai trouvÈ).
ArchimËde a Ècrit plus de dix ouvrages sur diffÈrents sujets: ÐLes centres de gravitÈ de parallÈlogrammes, de triangles et de segments de parabole.
Massilia MAC…DOINE ESPAGNEPont-Euxin (Mer noire) Corse Alalia Zacynthus Byzance Œles BalÈares Olbia …pidamnus Curnae AbdËre Stagyre NicÈe Tarente Sardaigne…lÈe Sybaris LesbosPergame LYDIE Crotone Chio PH…NICIE AthËnes Locri Milet Samos Catania Corinthe Cnide Sparte Syracuse Carthage Rhodes MER …G…E MER M…DITERRAN…E AFRIQUE DU NORDChypre Vers CR»TE BABYLONE CyrËneet lÕINDE Alexandrie MER ROUGE …GYPTE
2ArchimËde
Ð LasphËre et le cylindre, traitÈ dans lequel on Ð Surles conoÔdes et les sphÈroÔdes, essai qui traite retrouve les deux rÈsultats suivants : des volumes engendrÈs par des ellipses et des ¥ La surface de la sphËre est quatre fois paraboles tournant autour dÕun axe de symÈtrie celle dÕun grand cercle (cercle dont le et des hyperboles tournant autour de lÕaxe diamËtre est le mÍme que la sphËre). transverse. ¥ LorsquÕuncylindre est circonscrit ‡ une sphËre avec un diamËtre Ègal ‡ celui de Ð Surles corps flottants qui traite de lÕÈquilibre la sphËre, le volume et la surface du dÕun segment de paraboloÔde de rÈvolution flot-cylindre sont une fois et demie le volume tant dans un liquide et du principe de lÕhydros-et la surface de la sphËre. tatique dÕArchimËde. Ð UntraitÈ de la mÈthode o˘ il dÈvoile quelques-unes des mÈthodes de recherche qui lui ont permis de trouver plusieurs de ses thÈorËmes.
Il Ètait tellement heureux de ce dernier rÈ-sultat quÕil le fit graver sur sa tombe tout comme la figure ci-dessus.
Ð Laspirale qui porte son nom ainsi que lÕÈtude des tangentes et des aires balayÈes par le rayon vecteur. ¥ Laspirale dÕArchimËde est la figure engen-drÈe par un point qui se dÈplace ‡ vitesse constante sur un rayon vecteur en rotation ‡ une vitesse constante.
ArchimËde a Ègalement rÈsolu le premier problËme de calcul diffÈrentiel en construisant la tangente en un point quelconque de sa spirale. Si on connaÓt lÕangle que la tangente fait avec une droite donnÈe, la tangente est connue car il sÕagit de tracer par un point donnÈ une droite dont la direction est connue. Le problËme consis-tant ‡ trouver lÕangle que fait la tangente ‡ une courbe avec une droite donnÈe est le problËme principal du calcul diffÈrentiel.
Les travaux dÕArchimËde nÕont pas ÈtÈ seulement thÈo-riques, ils furent Ègalement pratiques comme en tÈmoi-gne la vis quÕil a inventÈe pour pomper lÕeau afin dÕirriguer les cultures. CÕest durant son sÈjour en …gypte, o˘ elle est encore utilisÈe, quÕil aurait inventÈ cette vis.
…TUDE DES LEVIERS
ArchimËde3
ArchimËde sÕest Ègalement intÈressÈ au problËme de la manipulation des objets lourds ce qui lÕa amenÈ ‡ Ètu-dier et classifier les leviers dont il a ÈnoncÈ les princi-pes. Il a dÈveloppÈ plusieurs mÈcanismes utilisant les poulies, en particulier les catapultes utilisÈes pour dÈ-fendre la ville de Syracuse contre les attaques des lÈgions romaines.
Dans son Ètude des leviers, ArchimËde adopte une approche analogue ‡ celle de la gÈomÈtrie en ÈnonÁant des principes physiques sous forme de postulats comme suit :
Des masses inÈgales ‡ des distances proportionnel-les sont en Èquilibre.
M 1
d 1
d 2
M 2
Des masses Ègales ‡ des distances diffÈrentes ne sont pas en Èquilibre et penchent du cÙtÈ de la masse qui est ‡ la plus grande distance.
M
d 1
d 2
M
ArchimËde nÕa pas inventÈ les leviers, ils Ètaient utili-sÈs depuis fort longtemps. Il a fait une description mathÈmatique des caractÈristiques fondamentales des leviers et a utilisÈ cette abstraction mathÈmatique pour
4ArchimËde
en dÈmontrer dÕautres propriÈtÈs. Il y a une grandepar dessus bord. Il recommence avec la masse en argent diffÈrence entre lÕutilisation dÕune technique et la com-et constate que le dÈversement dÕeau est plus important prÈhension des principes scientifiques sous-jacents.que dans le cas de la masse dÕor. Il refait alors lÕexpÈ-rience avec la couronne et constate quÕil perd plus dÕeau quÕavec la masse en or et moins quÕavec la masse Premier ordre en argent, ce qui dÈmontre quÕune certaine quantitÈ Force dÕargent a ÈtÈ mÈlangÈe ‡ lÕor pour rÈaliser la couronne. Point dÕappui En comparant les volumes dÕeau dÈplacÈs par ces trois Massecorps, ArchimËde a comparÈ les masses volumiques de DeuxiËme ordre lÕor, de lÕargent et de lÕalliage des deux. Force Point dÕappui MasseLÕÈnigme de la couronne pouvait Ítre rÈsolue sans TroisiËme ordreavoir recours au principe de lÕhydrostatique auquel on Point dÕappui associe souvent cette anecdote.La description scienti-fique des Ètudes quÕArchimËde a rÈalisÈes sur le sujet Force font lÕobjet de son traitÈSur les corps flottants.Il Masse sÕintÈresse ‡ la poussÈe que subit un corps plongÈ dans un liquide selon que ce corps est plus dense que le liquide ou moins dense que celui-ci. Ses recherches SUR LES CORPS FLOTTANTS dÈbouchent naturellement sur le problËmede lÕÈquili-LÕanecdote de la couronne de HiÈron est particuliËre-bre des coques de navirequÕil modÈlisent ‡ lÕaide des ment intÈressante car elle est la premiËre utilisation de paraboleset des paraboloÔdes. Il cherche alors des la masse volumique. ¿ son accession au pouvoir ‡ moyens de dÈterminer les centres de gravitÈ des corps Syracuse, HiÈronsÕengagea ‡ offrir une couronne dÕor flottants. aux dieux. Il a alors demandÈ ‡ un orfËvre de rÈaliser cette couronne en lui fournissant une quantitÈ dÕor quÕil avait prÈalablement pesÈe. LÕorfËvre rÈalisa une cou-CALCUL DÕAIRES ET DE VOLUMES ronne qui avait exactement le mÍme poids que lÕor ArchimËde a dÈveloppÈ une mÈthode originale en utili-fournit par HiÈron. Cependant, celui-ci soupÁonnait sant les propriÈtÈs quÕil avait dÈmontrÈs sur les leviers lÕorfËvre dÕavoir remplacÈ une certaine quantitÈ dÕor pour estimer lÕaire dÕune surface ou le volume dÕun par de lÕargent et demanda ‡ ArchimËde de prouver que solide. lÕorfËvre lÕavait fraudÈ. CÕest en prenant son bain que le savant aurait eu lÕintuition de la faÁon de prouver le Sa mÈthode est basÈe sur lÕidÈe suivante. Pour trouver subterfuge. Il constata que plus la partie immergÈe de lÕaire dÕune figure ou le volume dÕun solide, il faut le son corps Ètait importante plus la quantitÈ dÕeau qui couper en plusieurs bandes parallËles, ou en plusieurs dÈbordait du bain Ètait importante. tranches parallËles, et suspendre mentalement ces ban-des, ou ces tranches, ‡ lÕextrÈmitÈ dÕun levier de telle Cette constatation simple, lui suggÈra la procÈdure ‡ sorte quÕelles soient en Èquilibre avec une figure dont suivre. Il prit deux solides de mÍme masse que la on connaÓt lÕaire ou le volume et le centre de gravitÈ. quantitÈ dÕor fournie par HiÈron, lÕune en or et lÕautre Par cette mÈthode, il compare lÕaire de deux surfaces ou en argent. AprËs avoir rempli un contenant dÕeau jus-le volume de deux solides afin de dÈterminer une rela-quÕau bord, il y plonge la masse dÕor et observe que le tion entre les deux. Par la suite, il utilise la mÈthode contenant perd une certaine quantitÈ dÕeau qui passe dÕexhaustion pour dÈmontrer que le rÈsultat obtenu par
ArchimËde5
Selon les Èpoques, il a ÈtÈ encensÈ comme un grand sa mÈthode est bien valide. (voir les prÈsentation de la ingÈnieur, comme un grand thÈoricien ou comme un mÈthode dÕexhaustion par Eudoxe et ArchimËde). grand mathÈmaticien. Il utilise Ègalement le principe fondamental de BIBLIOGRAPHIE lÕexhaustion pour calculer une valeur approchÈe dep, ArchimËde, Les Cahiers de Science et Vie, le rapport de la circonfÈrence dÕun cercle ‡ son diamË-Ball, W. W. R.A Short Account of History of Mathematics, tre. Il indique que lepÈrimËtre dÕun cercle vaut le triple New York, Dover Publications, Inc.,1960, 522 p. du diamËtre augmentÈ de moins de la septiËme partie, Boyer, Carl B.A History of Mathematics, New York, John mais de plus des dix soixante et onziËmes partie du Wiley & Sons, 1968, 717 p. diamËtre.Ce qui signifie que : Caratini, Roger,Les MathÈmatiques,Paris, Bordas, 1985. 3 1/7<p< 3 10/71 Collette, Jean-Paul.Histoire des mathÈmatiques, MontrÈal, CÕest la premiËre fois dans lÕhistoire quÕest donnÈe une…ditions du Renouveau PÈdagogiqueInc., 1979 2 vol., valeur depapprochÈe par une dÈmarche argumentÈe.587 p. Cuomo, S.Ancient Mathematics, London and New York, Routledge, Taylor and Francis Group, 2001, 290 p. C Davis, Philip J, Hersh,Reuben, Marchisotto, Elena Anne. The Mathematical Experience,Study edition, Boston, D G EBirkh‰user, 1995, 485 p. Dunham, William.The Mathematical Universe,New York, T AB John Wiley & Sons, Inc., 1994, 314 p. Eves, Howard.An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. H Fowler, D.H.The Mathematics of PlatoÕs Academy, a New Reconstruction,Oxford, Oxford University Press, 1990, 401 p. Guedj, Denis,Le ThÈorËme du Perroquet,Paris,…ditions du Seuil, 1998, 520 p. C TrancheKline, Morris.Mathematical Thought from Ancient to Mo-du cylindre dern Times,New York, Oxford University Press, 1972, D G Tranche E1238 p. de la sphËre Kramer, Edna E.The Nature and Growth of Modern T A BMathematics,New York, Hawthorn Books, Inc. Publishers, 1970, 758 p. Tranche Singer, Charles, A History of Scientific Ideas, Barnes & du cÙne H Noble books, 1996 Smith, David Eugene.History of Mathematics,New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol. 1 299 p. Struik, David.A Concise History of Mathematics,New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ CONCLUSION ArchimËde est lÕun des grands savants de lÕAntiquitÈ. Ses travaux suivent la dÈmarche axiomatique chËre aux savants grecs, mais il sÕest de plus intÈressÈ ‡ des applications pratiques des thÈories quÕil Èchafaudait.
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