Mathematiques appliquees a l'informatique

De
Publié par

Mathematiques appliquees a l'informatique

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 187
Nombre de pages : 19
Voir plus Voir moins
Math´ematiquesapplique´esa`linformatique Jean-Etienne Poirrier 15d´ecembre2005
Tabledesmatie`res 1 Matrices 3 1.1De´nition.........................................3 1.2 Les diff´ ents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 er 1.2.1Lesdie´rencesdecontenu............................3 1.2.2Lesdi´erencesdeforme.............................3 1.2.3Lesdie´rencesdorientation...........................4 1.3Matricesparticuli`eres..................................4 1.3.1Transpose´edunematrice............................4 1.3.2 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.4Matriceidentit´e.................................5 1.3.5 Matrice nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4Ope´rationse´l´ementairessurlesmatrices........................6 1.4.1Egalit´e.......................................6 1.4.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.5 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.6Proprie´t´esdelamultiplication.........................8 1.4.7 Division de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.8Exerciceimpliquantdesop´erationssurlesmatrices..............9 1.5Formee´chelonne´enormaledunematrice........................10 1.5.1M´ethodedeGauss-Jordan............................10 1.5.2Exempleappliquantlame´thodedeGauss-Jordan...............11 1.5.3 Le rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6D´eterminantsdunematrice...............................12 1.6.1Notionpre´liminaire:lemineur.........................12 1.6.2D´enitiondude´terminantdunematrice....................13 1.6.3Propri´et´esetusagesdunde´terminant.....................13 1.6.4M´ethodesdecalculdund´eterminant......................13 1.7 L’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Derni`ereversionsurhttp://www.poirrier.be/jean-etienne/notes/maths.pdf.Cetexteestsoumisa`lalicence GNUFDL.Encasderreur,deremarque,etc,vouspouvezmecontacter`ajepoirrierchezgmailpointcom
1
3
1 MATRICES 1 Matrices 1.1D´enition Une matrice A de dimension m × n estuntableaurectangulairea` m lignes et n colonnes compose´denombres.Si a ij d´esignel´ele´mentdelamatrice A a`lintersectiondela i i ` eme ligne et de la j ie ` me colonne,lamatricecompl`etepeutse´criresouslaforme: a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n A m × n = . . . . . . . . . . . . a m 1 a m 2 . . . a mn Dans a ij , l’indice i indiquedonclalignedel´ele´ment( i variede1`a m ) et l’indice j indique sa colonne ( j variede1`a n ).Cesindicesdonnentladressedelacolonne.Le´l´ement a 12 estprononc´e “a un deux” et pas “a douze” (on ne sait jamais). Lese´l´ementsdela diagonale principale sont : a 11 , a 12 , a 13 , . . . , a mn .Lese´l´ementsdela diagonale secondaire sont : a 1 n , a 2( n 1) , a 3( n 2) , a m 1 . Unematricepeuteˆtrenote´ededie´rentesmani`eres: A A ( m × n ) A – ( m × n ) – [ a ij ] i =1 ,...m j =1 ,...n 1.2Lesdi´erentstypesdematrices 1.2.1Lesdi´erencesdecontenu Une matrice est r´eelle sitousles´el´ementssontdesnombresre´els.Onpeutainsi´etendrecela auxmatricesenti`eres(quedesnombresentiers),parexemple. 1.2.2 Les diff´ nces de forme ere Une matrice est carr´ee si m = n .Exempledematricecarre´e: 2 4 3 4 7 5 3 5 2 De plus, si a ij = a ji i, j ,lamatriceestditesyme´trique.La tracedunematricecarre´e est lasommedese´le´mentsdiagonauxdelamatrice trA = a 11 + . . . + a mm . Une matrice est rectangulaire si m 6 = n (voiraussilesdie´rencesdorientationci-dessous). Exemple de matrice rectangulaire : 23453256 4 7 5 8