Maths Cours SOUS GROUPES DE (Z +)

Costantini

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Maths Cours SOUS GROUPES DE (Z +)

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• Publié par: porthos
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• Langue: Français

Extrait

SOUSGROUPES DE (,+)

On note (, +) l'ensembledes entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments dea pour résultat un et élément de:∀(x,y)∈×,x+y∈) associative (∀(x,y,z)∈××, (x+y)+z=x+(y+z)) possède un élément neutre 0 (∀x∈,x+0=0+x=x) et tout élément admet un symétrique (∀x∈,∃y∈tel quex+y=y+x=0, à savoiry=−x).

Théorème

Démonstration :

Les sousgroupes de (,+) sont de la forme (n,+) avecn∈.

Les ensembles (n,+),n∈, sont bien des sousgroupes de (,+) puisqu'ils sont non vides (ils contiennent 0)

et (a,b∈n⇒a−b∈n).

Réciproquement, soit (H,+) un sousgroupe de (,+). AlorsHest non vide. SiH={0}, alorsHest bien de la formenavecn=0. Supposons désormaisH≠{0}. Posons : * n=min{x∈H,x> 0}∈H∩ Soith∈H. On effectue la division euclidienne dehparn: 2 ∃!(q,r)∈,h=nq+r avec 0r<n Or,n∈HetHest un groupe, donc :nq∈H Or,h∈HetHest un groupe, donc :h−nq∈H r∈H Et comme 0r<n, on a nécessairement :r=0 D'où :h=nq h∈n H⊂n Enfin, commen∈HetHest un groupe :n⊂H Finalement :H=n Les sousgroupes de (,+) sont donc bien les (n,+) avecn∈.

Sousgroupes de

Page1

L'ensemble d'entiers {x∈H,x> 0} est non vide (Hétant un groupe, il ne peut contenir que des éléments négatifs) et minoré (par 0) donc admet bien un plus petit élément.

G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/