MODAL DE MATHÉMATIQUES L'objectif du MODAL de mathématiques est d ...

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MODAL DE MATHÉMATIQUES L'objectif du MODAL de mathématiques est d ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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´ MODAL DE MATHEMATIQUES
LobjectifduMODALdemathe´matiquesestdinitierles´el`eves`acertainsthe`mesdes math´ematiquescontemporaines,surlabaseduneme´thodologiecollaborative.Cestune de´marchetouta`faitsimilairea`celleemploy´eeparlaplupartdesmath´ematiciensprofes-sionnelspourfaireavancerleursrecherchesetacqu´erirdenouvellesconnaissances. Danschacundessujetsquiserontpropos´es,lenseignantpre´senteraleprobl`emepose´etles basesdudomaineconsid´er´e.Aveclaidedelenseignant,les´ele`vesdevrontalorsapprofondir ces connaissances via des recherches personnelles et bibliographiques et les exposer au reste du groupe.Sileproble`mesypreˆte,les´el`evesseronte´galementinvite´sa`re´aliserdessimulations informatiques. Cesera´egalementloccasiondillustrerdemani`ereoriginalelecontenudesautrescoursde mathe´matiques,enparticulierceuxdutronccommun.
Voicilalistedessujetsquiserontpropose´s.Danslespagesquisuivent,nousallonsdonner quelquesde´tailssurleurcontenu. -Nœudsale´atoires(JulienMarch´e) -G´eome´triehyperboliqueetempilementsApolloniens(GillesCourtois) - GroupesKleiniens : autour du livreIndra’s Pearls(Romain Dujardin) -Analysecomplexediscr`eteetempilementsdecercles(CharlesFavre)
Date: 2 juin 2010.
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Noeudsale´atoires
LesujetdeceMODALadeuxaspects:apprendrelesfondementsdelathe´oriedesnoeuds etd´evelopperdesmod`elesdenoeudsale´atoiresquelon´etudienum´eriquement`alaidedin-variants simples. Partiethe´orique. -Onpr´esentelesnoeudsetquelquesth´eor`emesfondamentaux.Unnoeudsepr´esente demani`ere´equivalentecommeunplongementlin´eaireparmorceaux(oudeclasse 1 13 C) deSdansR.nadtsecs´dnOinenotesaclsedxuoidnnatotopiisooeudeden explicite une bijection entre les classes d’isotopie des deux types d’objets. -Pourrepre´senterlesnoeudsonlesprojettesurunplanetondessineleurdiagramme. One´tudieraleth´eor`emedeReidemeisterquipermetded´eterminer`aquellescondi-tionsdeuxdiagrammesrepr´esententdesnoeudsisotopes(i.e.´equivalents).Cestloutil fondamental pour construire beaucoup d’invariants de noeuds combinatoires. -Onconstruitdoncdesinvariants`apartirdediagrammesdenoeuds.Onpeutfacile-menttraiterlecasdespolynoˆmesditsdeConwayetdeJones.Lepremiertermedu polynˆomedeConway,estparticuli`erementfacileetint´eressant;onpeutlecalculer par une formule. -Laformulepre´c´edenteestunmod`elepourunegrandefamilledinvariantsditsdetype ni.Plusg´ene´ralement,savoirencoderuninvariantdonne´a`partirdediagrammesest unprobl`emedicileetassezpeuexplor´e.Onpourralancerles´ele`vesmotive´sdansla litterature existant sur ce sujet.
Partieexp´erimentale. Voil`aquelqueside´es(parordrechronologique)decequipourraˆetrefait. -Lanotiondenoeudale´atoirenestpasbiende´nie:plusieursmode`lessontpossibles maisilsnesontpase´quivalentssurleplaninformatique.Onseproposedimpl´ementer plusieursdentreeuxetdeconstruireainsiplusieursdiagrammesdenoeudsal´eatoiresde´pendantge´n´eralementdunparame`treN(nombre de points du noeud). -Ilsagitmaintenantdimple´menterlecalculdesinvariantspourd´eterminerquelques proprie´te´sdesnoeudsal´eatoires,notammentleurnon-trivialit´e,chiralit´e,etc... -Onpeutchercher`aimpl´ementerdesinvariantspluscomplexescommelepolynˆome dAlexanderentieroulepolynoˆmedeJones. -Plusint´eressantencore,onpeutanalyserlaloilimitedequelquesinvariantsquand Npeuti.Onipeuainsdnevetninsrlmeˆetm(etronemd´eerteˆ-treuqilpxdu)leroial poisson de Willerton. (Source : Simon Willerton,On the first two Vassiliev invariants, Experiment. Math. 11 (2002), 289-296.)
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Ge´ome´triehyperboliqueetempilementsApolloniens Un empilement de cercles sur une surface est une collection de cercles dont les tangences sontassujetties`aunetriangulation(voire´galementlesujet:empilementsdecerclesetanalyse complexediscre`te).Legroupedessimilitudesduplantransformeunempilementdecerclesen unautreempilementdecerclescequimetcesobjetsaucoeurdelag´eom´etriehyperbolique. Voicilecontenupre´visionnelduMODAL. 1.Empilements Apolloniens entiers. -The´ore`mesdApolloniusetdeDescartes. - Grouped’Apollonius. 2.eirte´molobrepyh.ueiqG´e -GroupedeMo¨bius. -G´eom´etriehyperboliquededimension2et3,g´eod´esiques. -Flotg´eod´esique,ergodicite´etme´lange. 3.Groupes discrets. - Pavageseuclidiens et hyperboliques. - Ensemblelimite et dimension de Hausdorff. - Ensemblelimite du groupe d’Apollonius.
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