PCSI EXERCICES DE MATHEMATIQUES R. FERREOL 07

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PCSI EXERCICES DE MATHEMATIQUES R. FERREOL 07

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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PCSIEXERCICES DE MATHEMATIQUESR. FERREOL 07
à préparer sur feuille pour la rentrée A. NE DEVANT POSER AUCUN PROBLEME À L’ARRIVÉE EN MATH SUP. I. CALCUL 1. : Simplifierles écritures suivantes (xest un réel etnun entier naturel):   3 (n+ 1)!n n6n+7 2n nn n2n1n2n1n x;x.signe(x; cos 2) ;; cos; sin+2 ;; 22.2 ; 22 +1 2+ 2+ 1; (1) ;(1) n! 1 2. : Rendrerationnel le dénominateur de√ √ √. 2 +3 +5 3. : Mettresous forme de fraction irréductible :0,424242...puis1,3424242... 4. : Calculerles sommes ou produits : (a)1 + 2 +..+ (n1) +n+ (n1) +..2 + 1 (b)1 + 3 + 5 +..+ 2n1 n (c)1 + 2 + 4 +..+ 2 1 11 (d)+ +..+ n 2 42 5. : Factoriserau maximum (il ne doit y avoir ni fractions, ni racines carrées, ni exposants) : (a)66x+ 3x(x1)x(x1) (x2) 3 2 (b)6x+ 5x3x2   2 2 (c)mx1 +m x+m   2 2 22 2 2 (d)4a ba+bc a+b= 2 6. : Résoudrele système : ab= 5 7. : Résoudreles inéquations : 1 (a)>1 x 1x (b)1< <1 1 +x x1 (c)0 1 x+ 1 8. : Montrerles égalités : lnblna (a)a=b (2n)! (b)3.5.7...(2n1) = n 2n! II. FONCTIONS lnxlnx 9. : Sachant0lim =,déterminerlim. x x x+x+x 10. : Connaissantles courbes delnetexp,construire les courbes dex→ln (x+ 1), x→ln (1x);x→1e(indiquer la transformation utilisée pour passer des courbes de départ aux nouvelles). x 2 11. : Mêmequestion pour passer de la courbe decosaux courbes dex→cos, x→cos 2x, x→cosx(linéariser). 2
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2 12. : Démontrerque les courbes dex→1xet dex→x(1x)peuvent se tracer à l’aide du compas. 1 13. : Étudieret tracer en moins de 5 minutes chacune :x→x+;x→xlnx . x 22 x x t 14. : Calculerla dérivée def:x→x ,deg:x→e dt. 0
III. DÉMONSTRATIONS CLASSIQUES. Vous êtes censés connaître les théorèmes suivants, mais connaissez-vous leurdémonstration? 15. : Lasomme des mesures en degrés d’un triangle vaut 180. 16. : L’aired’un triangle vaut la moitié du produit de la longueur d’un côté par la hauteur correspondante. 17. : L’aired’un losange est la moitié du produit des longueurs de ses diagonales. 18. : Lestrois médiatrices d’un triangle sont concourantes. 19. : Lestrois hauteurs d’un triangle sont concourantes. 20. : Lestrois bissectrices d’un triangle sont concourantes. 21. : Lestrois médianes d’un triangle sont concourantes et se coupent aux 2/3 de leurs longueur.   22. : Siun triangleABCest inscrit dans un cercle de centreO,avecOetAdu même côté de (BC), BOC= 2BAC. π1 23. :cos =. 3 2 24. :cos(a+b) = cosacosbsinasinb. 25. : Lasomme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne arithmétique des termes extrêmes. n+ 1six= 1 n n+1 26. :1 +x+...+x=x1. six= 1 x1 x lnx e 27. :0ou bien+,puis déduire l’une de l’autre. x+x+x x 28. :2n’est pas rationnel. 29. : Ilexiste une infinité de nombres premiers.
B . POUR REFLECHIR   n2 42 30. OnposePn(x) = (x+ 1)x+ 1x+ 1∙ ∙ ∙x;+ 1
(a) Simplifier(x1)Pn(x). (b) Endéduire la forme développée dePn(x). n 2 (c) Endéduire que siFn= 2+ 1, Fn=F0F1...Fn1+ 2. (d) Endéduire que deux nombresFnetFpdistincts sont premiers entre eux. (e) Endéduire qu’il y a un nombre infini de nombres premiers.
Voici un livre que vous pouvez potasser si vous voulez vous préparer pour la rentrée : R. Escoffier :Réussir ses maths en prépa, Ellipses.
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