Résumé du cours d'algèbre de Maths Spé MP

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Résumé du cours d’algèbre de Maths Spé M1 PPOLYNÔMES
1 Polynômes1) Formule deTaylorpour les polynômes.SoitPun polynôme non nul de degrénN.(aK P(X) =nXPkk)!(a)(Xa)ket en particulierP(X) =nXP(kk)!(0)Xk.k=0 k=0
kdanP P(kk)!(0).Pour tout polynômePet tout entier naturelk, le coefficient deXs estak=2) Racines d’un polynômeOrdre de multiplicité d’une racine.(PouraKetkN)aest racine dePd’ordreksi et seulement si il existe unpolynômeQtel queP= (Xa)kQetQ(a)6=0(si et seulement siPest divisible par(Xa)ket pas par(Xa)k+1).aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement si il existe un polynômeQtel queP= (Xa)kQ(si et seulement siPest divisible par(Xa)k).k1Théorème.Le reste de la division euclidienne dePpar(Xa)kestXP(ii)!(a)(Xa)i.i=0Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité).aest racine dePd’ordreksi et seulement siP(a) =P(a) =  =P(k1)(a) =0etP(k)(a)6=0.aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement siP(a) =P(a) =  =P(k1)(a) =0.3) Structure d’anneau deK[X].Définition.Un idéal deK[X]est une partieIdeK[X]telle que :À(I+)est un sous-groupe de(K[X]+),ÁPIQK[X] PQI.Définition.Un idéalIdeK[X]est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’est-à-dire si etseulement si il est de la formeI=PK[X] ={PQ QK[X]}.Théorème.(K[X]+×)est un anneau principal, c’est-à-dire que tout idéal deK[X]est prinicipal.4) PGCD, PPCM,Bezout,Gauss.Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré parAetBestAK[X] +BK[X] ={AU+BV(U V)K[X]}.Le PGCD deAetBest l’unique polynômeDunitaire tel queAK[X] +BK[X] =DK[X].C’est un diviseur commun àAetBet tout diviseur deAetBdiviseD. Les diviseurs communs àAetBsont les diviseursdeD.Théorème deBézout.SoientAetBdeux polynômes non nuls.AetBsont premiers entre eux si et seulement si ilexiste deux polynômesUetVtels queAU+BV=1.Théorème.Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dansC.Théorème deGauss.SoientA,BetCtrois polynômes non nuls. SiAdiviseBCetAest premier àB, alorsAdiviseC.Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls.AK[X]BK[X]est un idéal deK[X]. Le PPCM deAetBest l’unique polynômeMunitaire tel queAK[X]BK[X] =MK[X].C’est un multiple commun àAetBet tout multiple commun àAetBest un multiple deM. Les multiples communs àAetBsont les multiples deM.Théorème.SiAetBsont unitaires,MD=AB.
http ://www.maths-france.fr
1c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.
f-arcn.erfc2Jaen-LouisRouget,20tpht/w:/.mwwhsatdsuoT.70sérstior
2 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées.2.1 Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propresValeur propre.f∈ L(E)etλK,Ede dimension quelconque.λest valeur propre defsi et seulement si il existex6=0el quef(x) =λxtsi et seulement sifλIdEn’est pas injectifsi et seulement siEλ=Ker(fλId)6={0}f∈ L(E)etλK,Ede dimension finie.λest valeur propre defsi et seulement sifλIdEG L(E)si et seulement si det(fλIdE) =0.A∈ Mn(K)etλK.λest valeur propre deAsi et seulement siX∈ Mn1(K) {0} AX=λXsi et seulement si Ker(AλIn)6={0}si et seulement siAλInG Ln(K)si et seulement si det(AλIn) =0.SiEest unC-espace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre.Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dansC.Vecteur propre.f∈ L(E)etxE,Ede dimension quelconque.xest vecteur propre defsi et seulement sixn’est pas nul et il existeλKtel quef(x) =λx.A∈ Mn(K)etX∈ Mn1(K).Xest vecteur propre deAsi et seulement siXn’est pas nul et il existeλKtel queAX=λX.
s.véer
2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES.5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductiblesDéfinition.Un polynômePde degré au moins1est irréductible surK=RouK=Csi et seulement si il n’existe pas undiviseurQdePtel que1 <degQ <degP.Théorème.Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux.Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles).SoitPK[X]un polynôme de degré supérieurou égal à1.Ps’écrit de manière unique à l’ordre près des facteurs sous la formekP=dom(P)P1α1   Pkα,P1, . . . ,Pksont des polynômes irréductibles surK, unitaires et deux à deux distincts etα1, . . . ,αksont des entiersnaturels non nuls.Théorème (de d’Alembert-Gauss).Enoncé 1.Tout élément deC[X]de degré au moins1admet au moins une racine dansC.Enoncé 2.Tout élément deC[X]de degré au moins1est scindé surC.Enoncé 3.Tout élément deC[X]de degré au moins1se décompose de manière unique sous la formeP=dom(P)(Xz1)α1  (Xzk)αk,z1, . . . ,zksont des complexes deux à deux distincts etα1, . . . ,αksont des entiers naturels non nuls.Enoncé 4.Les polynômes irréductibles surCsont les polynômes de degré1.Enoncé 5.Cest algébriquement clos.Lemme.SoitPR[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à1. Sizest une racine dePdansC, alorszest racine dePavec même ordre de multiplicité.Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dansR).SoitPR[X]un polynôme de degrésupérieur ou égal à1.Ps’écrit de manière unique sous la formeP=dom(P)(Xx1)α1  (Xxk)αk(X2+a1X+b1)β1  (X2+alX+bl)βl,où lesxisont des réels deux à deux distincts, les(aj bj)sont des couples deux à deux distincts de réels tels queaj24bj< 0et lesαiet lesβjsont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant pardécomposer surCpuis en regroupant les facteurs conjugués.
2) Polynômes d’endomorphismes.fL(E).Φ:K[X]L(E)est un morphisme d’algèbre.P7P(f)L’image deΦestK[f], la sous-algèbre des polynômes enf. Deux polynômes enfcommutent et en particulier,K[f]C(f).
2.5 Polynômes d’endomorphismes1) Commutant.L’ensemble des endomorphismes qui commutent avecfest le commutant defnotéC(f). C’est unesous-algèbre deL(E).On rappelle que sigC(f),glaisse stable Ker(f), Im(f)et les éventuels sous-espaces propres def.
.
2.3 Polynôme caractéristiqueSiEest de dimension finie etf∈ L(E),χf=det(fXIdE). SiA∈ Mn(K),χA=det(AXIn).Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L’ordre de multiplicité d’une valeur propre est son ordrede multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.Degré, coefficient dominant.Eest de dimensionnouAest de formatn. Le polynôme caractéristique est un polynômede degrénet de coefficient dominant(−1)n.Coefficients du polynôme caractéristique.Le coefficient deXn1est(−1)n1Tr(A)et le coefficient deX0est det(A)(det(A) =χA(0)). Plus généralement, le coefficient deXkest(−1)kσnk.Si(λ1     λn)est lafamilledes valeurs propres deA,Tr(A) =λ1+  +λnet det(A) =λ1×  ×λn.Théorème.Siλest valeur propre deAd’ordreo(λ), alors1dim(Eλ)o(λ)et donc aussio(λ)dim(Eλ).Théorème.AettAont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant.Théorème.ABetBAont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant.Théorème.Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant(réciproque fausse).
2.2 Sous-espaces stablesDéfinition.Un sous-espaceFdeEest stable parfsi et seulement sif(F)Fsi et seulement si la restriction defàFestun endomorphisme deF.Les droites stables sont les droites engendrées par les vecteurs propres.Les sous-espaces propres defsont stables parf. La restriction defàEλest l’homothétie de rapportλ.Théorème.Soientfetgdeux endomorphismes qui commutent. Alors,glaisse stable Kerf, Imfet les sous-espaces propresdef.
Théorème.fest diagonalisable si et seulement siχfest scindé surKet pour toute valeur propreλdef,o(λ) =dim(Eλ).Théorème.fest diagonalisable si et seulement siEest somme directe des sous-espaces propres.Théorème.fest diagonalisable si et seulement si dimE=Xdim(Eλ).Théorème.Si dim(E) =nNetfadmetnvaleurs propres deux à deux distinctes alorsfest diagonalisable et lessous-espaces propres defsont des droites (réciproque fausse).
2.4 DiagonalisationDéfinition. Un endomorphisme deEest diagonalisable si et seulement si il existe une base deEformée de vecteurs propresdef.Si de plus,Eest de dimension finie,fest diagonalisable si et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matricedefest diagonale.Une matrice carréeAest diagonalisable si et seulement siAest semblable à une matrice diagonale c’est-à-direPG Ln(K)DDn(K) A=PDP1.
2.2 Sous-espaces stables 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES.Sous-espace propre.Siλest une valeur propre def(resp.A), le sous-espace propre associé àλestEλ=Ker(fλIdE).Il est constitué de0et des vecteurs propres associés à la valeur propreλ(resp.Eλ=Ker(AλIn)).Siλn’est pas valeur propreEλ={0}etEλne s’appelle pas sous-espace propre.Théorème.Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.Théorème.La somme des sous-espaces propres est directe.
isRouget,2007.Tosurdiostéresvrsémaw.ww//anfrs-thc3rf.ecuoL-naeJtt:ph
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Chaque sous-espace caractéristique contient le sous-espace propre correspondant.Théorème.fest diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace caractéristique est égal au sous-espace proprecorrespondant.La restriction defà un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction defλiIdausous-espace caractéristique Ker((fλiId)αi)est nilpotente.
3 Espaces préhilbertiensProduit scalaire.Un produit scalaire réel(|)est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c’est -à-direÀ(x y)E2(x|y) = (y|x), ((|)est symétrique)Á(λ µ)R2(x y z)E3(x|λy+µz) =λ(x|y) +µ(x|z)((|)est linéaire par rapport à la deuxième variable etdonc bilinéaire),ÂxE(x|x)0, ((|)est positive)ÃxE((x|x) =0x=0)((|)est définie).
2.7 TrigonalisationUn endomorphismefd’unC-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe unebase deEdans laquelle la matrice defest triangulaire.Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire.Théorème.Tout endomorphisme d’unC-espace de dimension finie non nulle est triangulable. Toute matrice carrée esttriangulable dansC.Conséquence.Si lafamilledes valeurs propres defest(λ1     λn), alors, pourkN, Sp(fk) = (λk1     λkn)et sifest inversible, pour toutkdansZ, Sp(fk) = (λ1k     λnk).
2.6 Sous-espaces caractéristiques 3 ESPACES PRÉHILBERTIENS3) Polynômes annulateurs d’un endomorphisme, polynôme minimal.Le noyau deΦest l’ensemble des poly-nômes annulateurs def. C’est un sous-espace vectoriel de(K[X]+ )et un idéal de(K[X]+×). SiEest de dimensionfinie, Ker(Φ)n’est pas réduit à{0}grâce au :Théorème deCayley-Hamilton.Si dimE <+,χf(f) =0.SiEest de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ)est lepolynôme minimalµfdef. Il engendre l’idéal Ker(Φ)ou encore Ker(Φ) =µfK[X]ou encore les polynômes annulateurs defsont les multiples deµf.Théorème.µfdiviseχf.Théorème.Siλvaleur propre defetP(f) =0, alorsP(λ) =0, ou encore, les valeurs propres defsont à choisir parmi lesracines d’un polynôme annulateur def.Théorème.Le polynôme minimalµfdiviseχf. Toute valeur propre defest racine deµfet toute racine deµfest valeurpropre def.Théorème de décomposition des noyaux.Soitf∈ L(E)etP1, . . . ,Pkdes polynômes deux à deux premiers entreeux. Alors,Ker((P1Pk)(f)) =Ker(P1(f))  Ker(Pk(f)).En particulier,siP=P1Pkest annulateur def, et si lesPisont deux à deux premiers entre eux, alorsE=Ker(P1(f))  Ker(Pk(f)).Théorème.SiEest de dimension finie non nulle etfL(E),fest diagonalisable si et seulement si il existe un polynômescindé à racines simples annulateur defsi et seulement siµf(et non pasχf) est scindé à racines simples.
2.6 Sous-espaces caractéristiquesSiχf= (−1)n(Xλ1)α1  (Xλk)αk, le sous-espace caractéristique associé à la valeur propreλiest Ker((fλiId)αi).Les sous-espaces caractéristiques sont toujours supplémentaires (grâce aux théorème de décomposition des noyaux).E=Ker((fλ1Id)α1)  Ker((fλkiId)αk).
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httwww.p://-srfamhtf.5rnaecJec-LanisouugRo2,te.700suoTiordtsréservés.
4 ESPACES EUCLIDIENSUn produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c’est -à-direÀ(x y)E2(x|y) = (y|x), ((|)est à symétrie hermitienne)Á(λ µ)C2(x y z)E3(λx+µy|z) =λ(x|z) +µ(y|z)((|)est linéaire par rapport à la première variable etdonc sesquiilinéaire),ÂxE(x|x)0, ((|)est positive)ÃxE((x|x) =0x=0)((|)est définie).Inégalité deCauchy-Schwarz.Pour(x y)E2,|(x|y)|p(x|x)p(y|y)avec égalité(x y)liée.Dans tous les casx7p(x|x)est une norme surEappelée norme hilbertienne.n nSi on dispose d’une base orthonormée(ei)1in, alors pourx=XxieiEety=XyieiEon ai=1 i=1Àxi= (x|ei),nÁ(x|y) =Xxiyi,i=1vnÂkxk=utX|xi|2.i=1
Théorème.Le projeté orthogonal d’un vecteurxsur un vecteur non nuluest(kxu|uk2)u.Théorème de la projection orthogonale.SoitEun espace préhilbertien etFun sous-espace vectoriel de dimensionfinie. Alors,E=FF(et on peut alors définir la projection orthogonale surF).Si(ei)1inest une base orthonormée deF, alors pour tout vecteurxdeEn npF(x) =X(x|ei)eietd(x F)2=kxpF(x)k2=kxk2X|(x|ei)|2.i=1 i=1
Procédé d’orthonormalisation deSchmidt.Soit(εi)iIune famille libre deE. Il existe une et une seule familleorthonormale(ei)iItelle que• ∀kIVect(εi)0ik=Vect(ei)0ik,• ∀iI(εi ei)> 0.De plus,e0=1 1 ekε ε0et oùeεk+1X(εk+1|ei)eik+1=k0k ∀kI ek+1=k|ek+1kk+1i=0nInégalité deBessel.Si(ei)1inest une famille orthonormale finie,X|(x|ei)|2≤ kxk2.i=14 Espaces euclidiens4.1 Adjoint(Théorème et) Définition.fest un endomorphisme de l’espace euclidienE. L’adjointfdefest l’(unique) endomor-phisme vérifiant(x y)E2(f(x)|y) = (x|f(y)).Théorème.SiBest une base orthonormée etMest la matrice defdansB, alors la matrice defdansBesttM.Théorème.(λf+µg)=λf+µg,(gf)=fg,(f)=f.Théorème.rg(f) =rg(f), et en particulierfG L(E)fG L(E). Dans ce cas, on a(f)1= (f1).Théorème.χf=χf,Tr(f) =Tr(f), det(f) =det(f).Théorème.(Ker(f) = (Im(f))et(Im(f) = (Ker(f)).
érstvres.sé
SiEest euclidien, les formes quadratiques non nulles surEsont les polynômes homogènes de degré2en les coordonnéesdans une base donnée.Sifest un endomorphisme symétrique deE,x7(f(x)|x)est une forme quadratique surEet sa forme polaire est(x y)7((f(x)|y).SiAest une matrice carrée réelle et symétrique,X7tXAXest une forme quadratique surMn1(R)et sa forme polaireest(X Y)7tXAY.
5 Formes quadratiques5.1 Définition, forme polaireSoitqune application de l’espace préhilbertienEdansR.qest une forme quadratique surEsi et seulement si il existeune forme bilinéaireBsurEtelle quexE q(x) =B(x x).Dans ce cas, il existe une et une seule forme bilinéaireB0, symétrique surE, telle quexE q(x) =B0(x x).B0est laforme polaire deq.Identités de polarisation.(x y)E2 B0(x y)) =12(q(x+y) −q(x) −q(y)) =12(q(x) +q(y) −q(xy)) =41(q(x+y) −q(xy)).
4.3 Endomorphismes symétriques (ou auto-adjoints)fL(E)est symétrique si et seulement si(x y)E2(f(x)|y) = (x|f(y))si et seulement sif=fsi et seulement sifest diagonalisable dans base orthonormée (théorème spectral).AMn(R)est symé triquetA=AAest orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle (théorème spectral).Théorème.SiBest une base orthonormée et siAest la matrice defdansB, alorsfest symétrique si et seulement siAest symétrique.Théorème.Sifest un endomorphisme symétrique etFest un sous-espace deEstable parf, alorsFest stable parf.
4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales 5 FORMES QUADRATIQUES4.2 Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonalesfL(E)est orthogonal si et seulement sixEkf(x)k=kxksi et seulement si(x y)E2(f(x)|f(y)) = (x|y),si et seulement sifG L(E)etf1=fsi et seulement si l’image parfd’une base orthonormée est une base orthonormée.M∈ ′n(R)tMM=InM∈ GLn(R)etM1=tM.SiBest une base orthonormée etM=matB(f), alorsfest orthogonal si et seulement siMest orthogonale.Le déterminant d’un automorphisme orthogonal (ou d’une matrice orthogonale vaut±1. Les automorphismes orthogonauxpositifs (resp. négatifs) sont les automorphismes orthogonaux de déterminant1(resp.1).(O(E))est un sous-groupe de(G L(E)).(O+(E))est un sous-groupe de(O(E))et de(SL(E)).Théorème.Sifest un automorphisme orthogonal etFest un sous-espace deEstable parf, alorsFest stable parf.
5.2 Réduction en base orthonormée d’un espace euclidienSoientqune forme quadratique,Mla matrice deqdans une base orthonorméeBdeEetfl’endomorphisme deEdematriceMdansB(fest symétrique).ÀxE q(x) = (f(x)|x).XMn1(R) q(x) =tXAX.ÁSi(ei)1inest une base orthonormée de vecteurs propres defet(λi)1inest la famille des valeurs propresassociées,
n nxE q(x) =q(Xxiei) =Xλixi2i=1 i=1
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