Résumé du cours d'algèbre de Maths Spé MP

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1 Polynômes 1) Formule deTaylorpour les polynômes.SoitPun polynôme non nul de degrénN.
n n X X (k) (k) P(a)P(0) k k aK, P(X() =Xa)et en particulierP(X) =X. k!k! k=0 k=0
(k) P(0) k Pour tout polynômePet tout entier naturelk, le coefficient deXdansPestak=. k!
2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine.(PouraKetkN)aest racine dePd’ordreksi et seulement si il existe un k kk+1 polynômeQtel queP= (Xa)QetQ(a)6=0(si et seulement siPest divisible par(Xa)et pas par(Xa)). k aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement si il existe un polynômeQtel queP= (Xa)Q(si et seulement si k Pest divisible par(Xa)). k1 (i) X P(a) k i Théorème.Le reste de la division euclidienne dePpar(Xa)est(Xa). i! i=0 Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). (k1) (k) aest racine dePd’ordreksi et seulement siP(a) =P(a) =. . .=P(a) =0etP(a)6=0. (k1) aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement siP(a) =P(a) =. . .=P(a) =0.
3) Structure d’anneau deK[X]. Définition.Un idéal deK[X]est une partieIdeK[X]telle que : (I,+)est un sousgroupe de(K[X],+), À PI,QK[X], PQI. Á Définition.Un idéalIdeK[X]est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’estàdire si et seulement si il est de la formeI=PK[X] ={PQ, QK[X]}. Théorème.(K[X],+,×)est un anneau principal, c’estàdire que tout idéal deK[X]est prinicipal.
4) PGCD, PPCM,Bezout,Gauss. Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré parAetBest
A.K[X] +B.K[X] ={AU+BV,(U, V)K[X]}.
Le PGCD deAetBest l’unique polynômeDunitaire tel queAK[X] +BK[X] =DK[X]. C’est un diviseur commun àAetBet tout diviseur deAetBdiviseD. Les diviseurs communs àAetBsont les diviseurs deD. Théorème deBézout.SoientAetBdeux polynômes non nuls.AetBsont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômesUetVtels queAU+BV=1. Théorème.Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dansC. Théorème deGauss.SoientA,BetCtrois polynômes non nuls. SiAdiviseBCetAest premier àB, alorsAdiviseC. Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls.AK[X]BK[X]est un idéal deK[X]. Le PPCM deA etBest l’unique polynômeMunitaire tel queAK[X]BK[X] =MK[X]. C’est un multiple commun àAetBet tout multiple commun àAetBest un multiple deM. Les multiples communs à AetBsont les multiples deM. Théorème.SiAetBsont unitaires,MD=AB.
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2 RÉDUCTIONDES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition.Un polynômePde degré au moins1est irréductible surK=RouK=Csi et seulement si il n’existe pas un diviseurQdePtel que1 <degQ <degP. Théorème.Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles).SoitPK[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à1.Ps’écrit de manière unique à l’ordre près des facteurs sous la forme α1αk P=dom(P). . PP ., 1 k P1. . ,, .Pksont des polynômes irréductibles surK, unitaires et deux à deux distincts etα1, .. . ,αksont des entiers naturels non nuls. Théorème (de d’AlembertGauss). Enoncé 1.Tout élément deC[X]de degré au moins1admet au moins une racine dansC. Enoncé 2.Tout élément deC[X]de degré au moins1est scindé surC. Enoncé 3.Tout élément deC[X]de degré au moins1se décompose de manière unique sous la forme α1αk P=dom(P)(Xz1). . .(Xzk), z1. . ,, .zksont des complexes deux à deux distincts etα1. . ,, .αksont des entiers naturels non nuls. Enoncé 4.Les polynômes irréductibles surCsont les polynômes de degré1. Enoncé 5.Cest algébriquement clos. Lemme.SoitPR[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à1. Sizest une racine dePdansC, alorszest racine de Pavec même ordre de multiplicité. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dansR).SoitPR[X]un polynôme de degré supérieur ou égal à1.Ps’écrit de manière unique sous la forme α1αk2 β12 βl P=dom(P)(Xx1). . .(Xxk) (X+a1X+b1). . .(X+alX+bl), 2 où lesxisont des réels deux à deux distincts, les(aj, bj)sont des couples deux à deux distincts de réels tels quea4bj< 0 j et lesαiet lesβjsont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer surCpuis en regroupant les facteurs conjugués.
2 Réductiondes endomorphismes et des matrices carrées. 2.1 Valeurspropres, vecteurs propres, sousespaces propres Valeur propre.f∈ L(E)etλK,Ede dimension quelconque. λest valeur propre defsi et seulement si il existex6=0tel quef(x) =λ x si et seulement sifλIdEn’est pas injectif si et seulement siEλ=Ker(fλId)6={0} f∈ L(E)etλK,Ede dimension finie. λest valeur propre defsi et seulement sifλIdE/G L(E) si et seulement si det(fλIdE) =0. A∈ Mn(K)etλK. λest valeur propre deAsi et seulement siX∈ Mn,1(K)\ {0}/ AX=λX si et seulement si Ker(AλIn)6={0} si et seulement siAλIn/G Ln(K) si et seulement si det(AλIn) =0. SiEest unCespace de dimension finie non nulle, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Toute matrice carrée admet au moins une valeur propre dansC. Vecteur propre. f∈ L(E)etxE,Ede dimension quelconque. xest vecteur propre defsi et seulement sixn’est pas nul et il existeλKtel quef(x) =λ x. A∈ Mn(K)etX∈ Mn,1(K). Xest vecteur propre deAsi et seulement siXn’est pas nul et il existeλKtel queAX=λX.
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2.2 Sousespacesstables 2RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. Sousespace propre.Siλest une valeur propre def(resp.A), le sousespace propre associé àλestEλ=Ker(fλIdE). Il est constitué de0et des vecteurs propres associés à la valeur propreλ(resp.Eλ=Ker(AλIn)). Siλn’est pas valeur propreEλ={0}etEλne s’appelle pas sousespace propre. Théorème.Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Théorème.La somme des sousespaces propres est directe.
2.2 Sousespacesstables Définition.Un sousespaceFdeEest stable parfsi et seulement sif(F)Fsi et seulement si la restriction defàFest un endomorphisme deF. Les droites stables sont les droites engendrées par les vecteurs propres. Les sousespaces propres defsont stables parf. La restriction defàEλest l’homothétie de rapportλ. Théorème.Soientfetgdeux endomorphismes qui commutent. Alors,glaisse stable Kerf, Imfet les sousespaces propres def.
2.3 Polynômecaractéristique SiEest de dimension finie etf∈ L(E),χf=det(fXIdE). SiA∈ Mn(K),χA=det(AXIn). Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. L’ordre de multiplicité d’une valeur propre est son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Degré, coefficient dominant.Eest de dimensionnouAest de formatn. Le polynôme caractéristique est un polynôme n de degrénet de coefficient dominant(−1). n1 n1 0 Coefficients du polynôme caractéristique.Le coefficient deXest(−1)Tr(A)et le coefficient deXest det(A) k k (det(A) =χA(0)). Plus généralement, le coefficient deXest(−1)σnk. Si(λ1, . . . , λn)est lafamilledes valeurs propres deA, Tr(A) =λ1+. . .+λnet det(A) =λ1×. . .×λn. Théorème.Siλest valeur propre deAd’ordreo(λ), alors1dim(Eλ)o(λ)et donc aussio(λ)dim(Eλ). t Théorème.AetAont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème.ABetBAont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant. Théorème.Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique et donc même trace et même déterminant (réciproque fausse).
2.4 Diagonalisation Définition. Un endomorphisme deEest diagonalisable si et seulement si il existe une base deEformée de vecteurs propres def. Si de plus,Eest de dimension finie,fest diagonalisable si et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matrice defest diagonale. Une matrice carréeAest diagonalisable si et seulement siAest semblable à une matrice diagonale c’estàdire
1 PG Ln(K),DDn(K)/ A=PDP.
Théorème.fest diagonalisable si et seulement siχfest scindé surKet pour toute valeur propreλdef,o(λ) =dim(Eλ). Théorème.fest diagonalisable si et seulement siEest somme directe des sousespaces propres. X Théorème.fest diagonalisable si et seulement si dimE=dim(Eλ). Théorème.Si dim(E) =nNetfadmetnvaleurs propres deux à deux distinctes alorsfest diagonalisable et les sousespaces propres defsont des droites (réciproque fausse).
2.5 Polynômesd’endomorphismes 1) Commutant.L’ensemble des endomorphismes qui commutent avecfest le commutant defnotéC(f). C’est une sousalgèbre deL(E). On rappelle que sigC(f),glaisse stable Ker(f), Im(f)et les éventuels sousespaces propres def.
2) Polynômes d’endomorphismes.fL(E).Φ:K[X]L(E)est un morphisme d’algèbre. P7P(f) L’image deΦestK[f], la sousalgèbre des polynômes enf. Deux polynômes enfcommutent et en particulier,K[f]C(f). http ://www.mathsfrance.fr3c JeanLouisTous droits réservés.Rouget, 2007.
2.6 Sousespacescaractéristiques 3ESPACES PRÉHILBERTIENS 3) Polynômes annulateurs d’un endomorphisme, polynôme minimal.Le noyau deΦest l’ensemble des poly nômes annulateurs def. C’est un sousespace vectoriel de(K[X],+, .)et un idéal de(K[X],+,×). SiEest de dimension finie, Ker(Φ)n’est pas réduit à{0}grâce au : Théorème deCayleyHamilton.Si dimE <+,χf(f) =0. SiEest de dimension finie, le générateur unitaire de Ker(Φ)est lepolynôme minimalµfdef. Il engendre l’idéal Ker(Φ) ou encore Ker(Φ) =µfK[X]ou encore les polynômes annulateurs defsont les multiples deµf. Théorème.µfdiviseχf. Théorème.Siλvaleur propre defetP(f) =0, alorsP(λ) =0, ou encore, les valeurs propres defsont à choisir parmi les racines d’un polynôme annulateur def. Théorème.Le polynôme minimalµfdiviseχf. Toute valeur propre defest racine deµfet toute racine deµfest valeur propre def. Théorème de décomposition des noyaux.Soitf∈ L(E)etP1, .. . ,Pkdes polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors, Ker((P1...Pk)(f)) =Ker(P1(f)). . .Ker(Pk(f)). En particulier, siP=P1...Pkest annulateur def, et si lesPisont deux à deux premiers entre eux, alors E=Ker(P1(f)). . .Ker(Pk(f)). Théorème.SiEest de dimension finie non nulle etfL(E),fest diagonalisable si et seulement si il existe un polynôme scindé à racines simples annulateur defsi et seulement siµf(et non pasχf) est scindé à racines simples. 2.6 Sousespacescaractéristiques n α1αkαi Siχf= (−1) (Xλ1). . .(Xλk), le sousespace caractéristique associé à la valeur propreλiest Ker((fλiId) ). Les sousespaces caractéristiques sont toujours supplémentaires (grâce aux théorème de décomposition des noyaux).
α1αk E=Ker((fλ1Id) ). . .Ker((fλkiId) ).
Chaque sousespace caractéristique contient le sousespace propre correspondant. Théorème.fest diagonalisable si et seulement si chaque sousespace caractéristique est égal au sousespace propre correspondant. La restriction defà un sousespace caractéristique est un endomorphisme de ce sousespace. La restriction defλiIdau αi sousespace caractéristique Ker((fλiId) )est nilpotente.
2.7 Trigonalisation Un endomorphismefd’unCespace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base deEdans laquelle la matrice defest triangulaire. Une matrice carrée est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire. Théorème.Tout endomorphisme d’unCespace de dimension finie non nulle est triangulable. Toute matrice carrée est triangulable dansC. k k k Conséquence.Si lafamilledes valeurs propres defest(λ1, . . . , λn), alors, pourkN, Sp(f) = (λ ,. . . , λ)et sif 1 n k kk est inversible, pour toutkdansZ, Sp(f) = (. . . , λλ ,). 1 n
3 Espacespréhilbertiens Produit scalaire.Un produit scalaire réel(|)est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c’est àdire 2 (x, y)E ,(x|y) = (y|x), ((|)est symétrique) À 2 3 (λ, µ)R,(x, y, z)E ,(x|λy+µz) =λ(x|y) +µ(x|z)((|)est linéaire par rapport à la deuxième variable et Á donc bilinéaire), xE,(x|x)0, ((|)est positive) Â xE,((x|x) =0x=0)((|)est définie). Ã
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4 ESPACESEUCLIDIENS Un produit scalaire complexe est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive, c’est àdire 2 (x, y)E ,(x|y) = (y|x), ((|)est à symétrie hermitienne) À 2 3 (λ, µ)C,(x, y, z)E ,(λx+µy|z) =λ(x|z) +µ(y|z)((|)est linéaire par rapport à la première variable et Á donc sesquiilinéaire), xE,(x|x)0, ((|)est positive) Â xE,((x|x) =0x=0)((|)est définie). Ã 2 Inégalité deCauchySchwarz.Pour(x, y)E,|(x|y)|(x|x) (y|y)avec égalité(x, y)liée. Dans tous les casx7(x|x)est une norme surEappelée norme hilbertienne. n n X X Si on dispose d’une base orthonormée(ei)1in, alors pourx=xieiEety=yieiEon a i=1 i=1
xi= (x|ei), À n X (x|y) =xiy Ái, i=1 n uX 2 t xk= Âk|xi|. i=1
(x|u) Théorème.Le projeté orthogonal d’un vecteurxsur un vecteur non nuluestu. 2 kuk Théorème de la projection orthogonale.SoitEun espace préhilbertien etFun sousespace vectoriel de dimension finie. Alors,E=FF(et on peut alors définir la projection orthogonale surF). Si(ei)1inest une base orthonormée deF, alors pour tout vecteurxdeE
n n X X 2 22 2 pF(x() =x|ei)ei.etd(x, F) =kxpF(x)k=kxk|(x|ei)|. i=1 i=1
Procédé d’orthonormalisation deSchmidt.Soit(εi)iIune famille libre deE. Il existe une et une seule famille orthonormale(ei)iItelle que • ∀kI,Vect(εi)0ik=Vect(ei)0ik, • ∀iI,(εi, ei)> 0. De plus,
k X 1 1 ′ ′ e0=ε0etkI, ek+1=ee=εk+1− (εk+1|ei)ei. k+1 k+1 kε0k k|ek k+1 i=0
n X 2 2 Inégalité deBessel.Si(ei)1inest une famille orthonormale finie,|(x|ei)|≤ kxk. i=1 4 Espaceseuclidiens 4.1 Adjoint (Théorème et) Définition.fest un endomorphisme de l’espace euclidienE. L’adjointfdefest l’(unique) endomor 2phisme vérifiant(x, y)E ,(f(x)|y) = (x|f(y)). t Théorème.SiBest une base orthonormée etMest la matrice defdansB, alors la matrice defdansBestM. ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∗Théorème.(λf+µg) =λf+µg,(gf) =fg,(f) =f. ∗ ∗11Théorème.rg(f) =rg(f), et en particulierfG L(E)fG L(E). Dans ce cas, on a(f() =f). ∗ ∗ Théorème.χf=χf, Tr(f) =Tr(f), det(f) =det(f). ∗ ⊥∗ ⊥ Théorème.(Ker(f) = (Im(f))et(Im(f) = (Ker(f)).
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4.2 Automorphismesorthogonaux, matrices orthogonales5 FORMESQUADRATIQUES 4.2 Automorphismesorthogonaux, matrices orthogonales fL(E)si et seulement siest orthogonalxE,kf(x)k=kxk 2 si et seulement si(x, y)E ,(f(x)|f(y)) = (x|y), 1si et seulement sifG L(E)etf=f si et seulement si l’image parfd’une base orthonormée est une base orthonormée. t1 t M∈ ′n(R)MM=InM∈ GLn(R)etM=M. SiBest une base orthonormée etM=matB(f), alorsfest orthogonal si et seulement siMest orthogonale. Le déterminant d’un automorphisme orthogonal (ou d’une matrice orthogonale vaut±1. Les automorphismes orthogonaux positifs (resp. négatifs) sont les automorphismes orthogonaux de déterminant1(resp.1). + (O(E),)est un sousgroupe de(G L(E),).(O(E),)est un sousgroupe de(O(E),)et de(SL(E),). Théorème.Sifest un automorphisme orthogonal etFest un sousespace deEstable parf, alorsFest stable parf.
4.3 Endomorphismessymétriques (ou autoadjoints) 2 fL(E)est symétriquesi et seulement si(x, y)E ,(f(x)|y) = (x|f(y)) si et seulement sif=f si et seulement sifest diagonalisable dans base orthonormée (théorème spectral). t AMn(R)triqueest syméA=A Aest orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle (théorème spectral). Théorème.SiBest une base orthonormée et siAest la matrice defdansB, alorsfest symétrique si et seulement si Aest symétrique. Théorème.Sifest un endomorphisme symétrique etFest un sousespace deEstable parf, alorsFest stable parf.
5 Formesquadratiques 5.1 Définition,forme polaire Soitqune application de l’espace préhilbertienEdansR.qest une forme quadratique surEsi et seulement si il existe une forme bilinéaireBsurEtelle quexE, q(x) =B(x, x). Dans ce cas, il existe une et une seule forme bilinéaireB0, symétrique surE, telle quexE, q(x) =B0(x, x).B0est la forme polaire deq. Identités de polarisation. 1 1 1 2 (x, y)E , B0(x, y)) =(q(x+y) −q(x) −q(y()) =q(x) +q(y) −q(xy)) =(q(x+y) −q(xy)). 2 2 4
SiEest euclidien, les formes quadratiques non nulles surEsont les polynômes homogènes de degré2en les coordonnées dans une base donnée. Sifest un endomorphisme symétrique deE,x7(f(x)|x)est une forme quadratique surEet sa forme polaire est (x, y)7((f(x)|y). t SiAest une matrice carrée réelle et symétrique,X7XAXest une forme quadratique surMn,1(R)et sa forme polaire t est(X, Y)7XAY.
5.2 Réductionen base orthonormée d’un espace euclidien Soientqune forme quadratique,Mla matrice deqdans une base orthonorméeBdeEetfl’endomorphisme deEde matriceMdansB(fest symétrique). t E, q(. Àxx) = (f(x)|x).XMn,1(R), q(x) =XAX est une base orthonormest la famille des valeurs propres ÁSi(ei)1inée de vecteurs propres defet(λi)1in associées, n n X X 2 λ x . xE, q(x) =q(xiei) =i i i=1 i=1
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