Résumé du cours d'algèbre de Maths Spé MP

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• Publié par: eqaloxoq
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Résumé du cours d’algèbre de Maths Spé MP

1 Polynômes 1) Formule deTaylorpour les polynômes.SoitPun polynôme non nul de degrén∈N.

n n X X (k) (k) P(a)P(0) k k ∀a∈K, P(X() =X−a)et en particulierP(X) =X. k!k! k=0 k=0

(k) P(0) k Pour tout polynômePet tout entier naturelk, le coefficient deXdansPesta k =. k!

2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine.(Poura∈Ketk∈N)aest racine dePd’ordreksi et seulement si il existe un k kk+1 polynômeQtel queP= (X−a)QetQ(a)6=0(si et seulement siPest divisible par(X−a)et pas par(X−a)). k aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement si il existe un polynômeQtel queP= (X−a)Q(si et seulement si k Pest divisible par(X−a)). k−1 (i) X P(a) k i Théorème.Le reste de la division euclidienne dePpar(X−a)est(X−a). i! i=0 Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). ′(k−1) (k) aest racine dePd’ordreksi et seulement siP(a) =P(a) =. . .=P(a) =0etP(a)6=0. ′(k−1) aest racine dePd’ordre au moinsksi et seulement siP(a) =P(a) =. . .=P(a) =0.

3) Structure d’anneau deK[X]. Définition.Un idéal deK[X]est une partieIdeK[X]telle que : (I,+)est un sousgroupe de(K[X],+), À ∀P∈I,∀Q∈K[X], PQ∈I. Á Définition.Un idéalIdeK[X]est prinicipal si et seulement si il est engendré par l’un de ses éléments c’estàdire si et seulement si il est de la formeI=PK[X] ={PQ, Q∈K[X]}. Théorème.(K[X],+,×)est un anneau principal, c’estàdire que tout idéal deK[X]est prinicipal.

4) PGCD, PPCM,Bezout,Gauss. Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls. L’idéal engendré parAetBest

A.K[X] +B.K[X] ={AU+BV,(U, V)∈K[X]}.

Le PGCD deAetBest l’unique polynômeDunitaire tel queAK[X] +BK[X] =DK[X]. C’est un diviseur commun àAetBet tout diviseur deAetBdiviseD. Les diviseurs communs àAetBsont les diviseurs deD. Théorème deBézout.SoientAetBdeux polynômes non nuls.AetBsont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômesUetVtels queAU+BV=1. Théorème.Deux polynômes non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils sont sans racine commune dansC. Théorème deGauss.SoientA,BetCtrois polynômes non nuls. SiAdiviseBCetAest premier àB, alorsAdiviseC. Théorème et définition.AetBsont deux polynômes non nuls.AK[X]∩BK[X]est un idéal deK[X]. Le PPCM deA etBest l’unique polynômeMunitaire tel queAK[X]∩BK[X] =MK[X]. C’est un multiple commun àAetBet tout multiple commun àAetBest un multiple deM. Les multiples communs à AetBsont les multiples deM. Théorème.SiAetBsont unitaires,MD=AB.

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Rouget, 2007.Tous droits réservés. c JeanLouis