THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

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THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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(b)
λ
(a)
y
THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES
Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires :
SoitIun intervalle. SoientaetbdansIaveca<b.
Soitune application continue sur l'intervalleIet à valeurs dans.
Soitλun réel compris entre(a) et(b).
Il existecdans [a,b] tel que :(c)=λ.
Illustrations Cas d'une fonction monotone
a
c
b
C
Démonstration 1 à l'aide de la borne supérieure :
Lemme 1 : propriété de la borne supérieure
x
(b)
λ
(a)
y
SoitXune partie non vide et majorée de. Soitcsa borne supérieure.
Il existe une suite (xn) d'éléments deXqui converge versc.
Démonstration du lemme 1 :
Cas d'une fonction non monotone
a
Commecest la borne supérieure deX, il est le plus petit des majorants deX:
En particulier :
∀ε ∈∃ ∈ +,xX tel que :cε<xc
*1 n,xnX tel que :c <xnc n
On en déduit (théorème des gendarmes) que la suite (xn) converge versc.
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c
b
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C
x
Lemme 2 : suites et application continue
SoitXune partie non vide de.
Soit (xn) une suite d'éléments deXconvergeant vers un réellX.
Soitune application continue enlet à valeurs dans.
La suite ((xn)) converge vers(l).
Démonstration du lemme 2 :
ε ∈ Soit+. Alors, commeest continue enl, on a:
∃η ∈⇒ − ε +tel que : (|xl| <η( |x) (l))| <
Mais la suite (xn) converge versl. Donc pour ce réelηcidessus, on peut trouverNtel que :
On a donc, par transitivité des implications :
nN |xnl| <η
nN |(xn)(l)| <ε
Ceci prouve que la suite ((xn)) converge vers(l).
Démonstration du théorème des valeurs intermédiaires : Déjà, si(a)=(b) alors nécessairementλ=(a)=(b) et le théorème est vrai en choisissantc=a=b. Dans toute la suite, on peut donc supposer :(a) <(b). (Quitte à poserg=−si(a) >(b)). Notons :X={x[a,b] tels que(x)λ} Cet ensembleXestnon vide. En effet,(a)λ, doncaX. Cet ensembleXestmajoréparb(puisqueXest un sous ensemble de [a,b]). DoncXadmet uneborne supérieurec. (Etc[a,b]) Montrons que(c)λ: Commec=supX, il existe une suite (xn) d'éléments deXqui converge versc. (Lemme 1) Comme lesxnsont dansX, on a :(xn)λ Or,est continue enc, donc par passage à la limite (Lemme 2) : (c)λ Montrons que(c)λ: Déjà, sic=balors(c)=(b)λauquel cas la démonstration s'achève. Supposons désormais quec<b. Commec=supX, on a :x]c,b],xX, c'estàdire(x) >λ Soit (yn) une suite d'éléments de ]c,b] qui converge versc(Existe d'après le lemme 1). On a donc : (yn) >λ Or,est continue enc, donc par passage à la limite (Lemme 2) :
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(c)λ Bilan : on a donc(c)=λ, ce qui achève la démonstration.
Démonstration 2 à l'aide du théorème des segments emboîtés : Supposons(a) <(b). (Quitte à poserg=−sinon) Soitule milieu de [a,b]. Notonsa1=aetb1=usi(u)λ. Notonsa1=uetb1=bsi(u) <λ. Ainsi, on a toujours :(a1)λ(b1) En réitérant ce procédé, on construit, par récurrence, une suite de segments emboîtés : [a,b][a1,b1]...[an,bn]... ba De plus, par construction, la longueur de [an,bn] est. n 2 Les segments [an,bn] ont donc des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes. Notonscleur limite commune. Montrons que(c)=λ. * On a, pour toutn:(an)λ(bn) Par passage à la limite :lim(an)λlim(bn) n→+∞n→+∞ Or,est continue, donc :(c)λ(c) Donc(c)=λ.
Attention : le théorème ne s'applique pas siaetbI. Considérer, par exemple, la fonction "partie entière"E 1 qui est continue sur [0, 1[. On aE(0)=0 etE(1)=1. Mais il n'existe pas de réelctel queE(c)= ... 2
CorollaireImage d'un intervalle par une application continue
Soitune application continue sur un intervalleIet à valeurs dans.
Alors(I) est un intervalle.
Démonstration : on utilise ici le fait que les intervalles desont lesconvexesde.
Soienty1ety2dans(I) avecy1y2. Il s'agit de montrer tout élémentλde [y1,y2] est élément de(I).
Commey1ety2sont dans(I), il existeaetbdansItels que(a)=y1et(b)=y2.
CommeIest un intervalle, on a [a,b]I.
Commeest continue sur [a,b] (puisque [a,b]I), on a, d'après le théorème des valeurs intermédiaires :
D'où :λ(I).
Donc(I) est bien un intervalle.
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∀λ[y1,y2],c[a,b] tel que(c)=λ.
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Remarque : on peut se demander si la condition "l'image, par, de tout intervalle est un intervalle" entraîne la
condition "continue". C'est faux. Considérer l'applicationdéfinie, sur, par :
1 sin six0 x (x)= (oùλ[1 ; 1]). λ six=0
est non continue en 0, et pourtant, pour tout intervalleIcontenant 0, on a(I)=[1 ; 1].
Par contre, c'est vrai siest monotone, voir ce document :
http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg_fichiers/connexes.pdf
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