Gérôme Taillandier: Fonctions elliptiques et problème du paramétrage

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FONCTIONS ELLIPTIQUES ET PROBLEME DU PARAMETRAGE Considérez une bonne vieille courbe bien de chez nous dans un plan banalement euclidien.

Publié le : dimanche 15 novembre 2015
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FONCTIONS ELLIPTIQUES ET PROBLEME DU PARAMETRAGE
Considérez une bonne vieille courbe bien de chez nous dans un plan banalement euclidien. Vous pouvez bien sûr définir chaque point de la courbe par ses coordonnées dans le plan cartésien ; mais la procédure est souvent indigeste, et de plus peu utile en pratique, en physique par exemple.
Vous pouvez alors utiliser une autre méthode, le paramétrage. Vous définissez un point = 0 sur la courbe, puis une fonction f(t) telle que f(0) = 0, et chaque point de la courbe est alors défini par son paramètre, modifiable à loisir selon les besoins. Bien ! Considérez ainsi un cercle : vous pouvez le paramétrer en lui associant la droite des réels ou un sous-ensemble, en sorte que chaque point sera affixé à un réel. C’est peu utile. UŶ paƌaŵĠtƌage plus sensé sera de définir chaque point du cercle par sa coordonnée angulaire; Đ’est tƌğs utile pouƌ les Ŷavigateuƌs. Mais les mathématiciens, qui aiment bien compliquer les choses, ont inventé un paramétrage très astucieux : les fonctions circulaires, autrement dit, nos bons vieux sinus et cosinus : chaque point du cercle est associé à un terme de ces fonctions. Bien ! Mais pour une ellipse ou une parabole, le truc ne marche pas ?
On peut cependant associer la droite desƌĠels à l’uŶe ou l’autƌes de ces courbes à condition de plier un peu la droite des réels.
Avec un peu de chance, le procédé devrait marcher dans le plan Đoŵplexe…
On peut alors se demander si toute courbe réelle ou complexe est paramétrable? Ce serait merveilleux !
Eh bien ! malheureusement, cela ne marche pas pour une fonction elliptique !
Considérez la belle « fonction » suivante :
Y^2 = x^3 + px + q ;
C’est la foƌŵe gĠŶĠƌale des Đouƌďes elliptiƋues. Le ŵalheuƌ veut Ƌu’oŶ Ŷe peut pas paƌaŵĠtƌeƌ Đette Đourbe avec la droite réelle. (Word essaie obstinément de me faire mettre un subjonctif àpeut. Je Ŷe le feƌai sûƌeŵeŶt pas, Đaƌ Đ’est uŶe désastƌeuse haďitude de la laŶgue fƌaŶçaise de ŵettƌe des suďjoŶĐtifs paƌtout, aloƌs Ƌue Đ’est l’iŶdiĐatif Ƌui s’iŵpose.) D’où ďieŶ sûƌ uŶe ƋuestioŶ:Y a-t-il un moyen de paramétrer les fonctions elliptiques ? La réponse de Tanyiama peu de temps avant son malheureux suicide, fut de ĐoŶjeĐtuƌeƌ Ƌue l’oŶ pouvait paƌaŵĠtƌeƌ les foŶĐtioŶs ou courbes elliptiques avec les formes modulaires. Vous savez maintenant à quoi vise et quelle est la portée de la Conjecture de Taniyama. La suite au prochain numéro.
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