Algorithmes

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Le but de cette activité est de travailler sur différents algorithmes permettant de déterminer une valeur approchée de la solution d’une équation du type f (x) Æ 0 pour des fonctions f bien comme il faut...

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• Langue: Français

Extrait

Terminale S

Algorithmes

Algorithmes
Le but de cette activit est de travailler sur diffrents algorithmes permettant de dterminer une valeur approche de la
solution d’une quation du typef(x)=0 pour des fonctionsfbien comme il faut. . .

1 Ladichotomie
Nous avons rencontr en cours l’algorithme suivant :
Variables:
a,b,c, des nombres.
fune fonction admettant une racine dans l’intervalle considr.
Programme:
Affecter Àala valeur 0
Affecter Àbla valeur 1
¡ ¢
−2
Tant que|b−a| >10faire :
a+b
Affecter Àcla valeur
2
Si(f(a)×f(c)<0 )alors :
Affecter Àbla valeurc
Fin du si
Sinon :
Affecter Àala valeurc
Fin du sinon
Fin du tant que
Afficherc
ALG O R I T H M E1.

Cet algorithme recherche pardichotomiela racine de la fonctionfentre les bornesaetbde l’intervalle d’tude. On rap-
pelle que le principe de la dichotomie est de diviser en deux l’intervalle d’tude À chaque tour de boucle. Ainsi, si on effectue
une recherche sur un intervalle de longueur 1, alors il est ncessaire d’effectuer 7 passages dans la boucle pour obtenir une
1 1
−2−3−3−4
prcision d’au moins 10(en effet,≈7,8×10 ),et 10 passages pour une prcision d’au moins 10(≈9,8×10 ).
7 10
2 2
Exercice 1Implmenter l’algorithme 1 dans AlgoBox.
5
On pourra tester son travail avec la fonctionfdfinie par :f(x)=x+2x−1

2 Lebalayage
On considre maintenant l’algorithme :
Variables:
a,c,h: des nombres.
fune fonction admettant une racine dans [0;+∞[
Programme:
Affecter Àala valeur 0
Demander À l’utilisateurla valeur deh
#hest le pas du balayage.
Affecter Àcla valeura+h
¡ ¢
Tant quef(a)×f(c)>0faire :
Affecter Àcla valeurc+h
Fin du tant que
Afficherc
ALG O R I T H M E2.

Exercice 2:
1. Quese passe-t-il si on teste cet algorithme 2 sur une fonction n’admettant pas de racine sur [0;+∞[ ?
2. Quefait cet algorithme ?
5
3. Sion teste cet algorithme avec la fonctionfdfinie parf(x)=x+2x−1, combien faut-il faire de "tours de boucle"
−2
pour obtenir un rsultat avec une prcision de 10prs ?

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4. Implmentercet algorithme sous AlgoBox. Le tester avec la fonctionf.

Exercice 3En quoi l’algorithme 3 ci-dessous est-il une amlioration de l’algorithme 2 ?
Variables:
a,c,p,h,i: des nombres.
fune fonction admettant une racine dans [0;+∞[
Programme:
Affecter Àala valeur 0
Demander À l’utilisateurla valeur dep
#pest la prcision demande.
Pourivariant de1Àpfaire :
−i
Affecter Àhla valeur 10
Affecter Àcla valeura+h
¡ ¢
Tant quef(a)×f(c)>0faire :
Affecter Àcla valeurc+h
Fin du tant que
Affecter Àala valeurc−h
Fin du pour
Afficherc
ALG O R I T H M E3.

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3 Lamèthode de NEWTON
Exercice 4:
5
Soitfla fonction dfinie parf(x)=x+2x−1 et de courbe reprsentativeCf.
¡ ¢
Soitb0un rel donn et soit B0b0;f(b0) unpoint deCf.
0
1. Dterminer,en fonction deb0, def(b0) et def(b0), l’quation de la tangente ÀCfen B0, puis l’abscisseb1du point
d’intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.
¡ ¢
2. Onconstruit alors une suite numrique (bn) et une suite de points (Bn) de coordonnesbn;f(bnsorte que) debn+1
soit l’abscisse du point d’intersection de la tangente ÀCfen Bnavec l’axe des abscisses.
Dterminer pour tout entier natureln, l’expression debn+1en fonction debn.
3. surGeoGebra, construire la courbeCf, puis aprs avoir choisib0=1, construire le point B0, la tangente ÀCfen B0, le
point B1, la tangente ÀCfen B1, . . ., le point B3.
4. Quepeut-on conjecturer quant À la suite (bn) ?
5. (a)Ècrire un algorithme qui dterminebnpour un nombrenchoisi par l’utilisateur.
(b) Implmentercet algorithme sous AlgoBox.
(c) Cetalgorithme semble-t-il "efficace" ?

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4 Èlèmentsde solutions des exercices
Corrigè de l’exercice 4:
1. Ils’agit d’crire l’quation d’une tangente :
0
y=f(b0) (x−b0)+f(b0)
best alors tel que :
1
0
0=f(b0) (b1−b0)+f(b0)

d’oÙ on tire que :

2. Cecise gnralise sans problme et :

3. :

4. :
Variables:
b,n,i: des nombres.
Programme:
Affecter Àbla valeur 1
Demander À l’utilisateurla valeur den
Pourivariant de1Ànfaire :
5
b+2b−1
Affecter Àbla valeurb−
4
5b+2
Fin du pour
Afficherb
ALG O R I T H M E4.

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f(b0)
b1=b0−
0
f(b0)

f(bn)
∀n∈N,bn+1=bn−
0
f(bn)

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