Cours d'informatique XII

Ghaberer

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PTSi2 Alg`ebre lin´eaire – Chap XII – 34Chapitre XII` ´ALGEBRE LINEAIRE1 Notions sur les tableauxC’est au type de variable array qu’est consacr´e ce paragraphe. Il s’agit d’un type structur´e,c’est-`a-dire qui associe plusieurs valeurs, et qui poss`ede la particularit´e qu’une variable de cetype doit ˆetre d´eclar´ee avant d’ˆetre d´efinie.1.1 D´eclaration des tableauxIl s’agit simplement de la cr´eation de la variable, sans affectation particuli`ere. La syntaxe est lasuivante :> `Mon tableau`:=array(a..b);L’effet de cette commande est la cr´eation d’un tableau a` une entr´ee, dont les ´el´ements sont in-dic´es par les entiers entre a et b. On peut, apr`es avoir d´eclarer le tableau, affecter a` ses´el´ementscertaines valeurs en tapant :> `Mon tableau`[a]:=12;On peut affecter aux ´el´ements du tableau une expression d’un type quelconque (mˆeme des en-sembles, des chaˆınes de caract`eres...). On ne peut pas utiliser le tableau pour des indices endehors de la plage a..b utilis´ee dans la d´eclaration.Un tableau peut ˆetre a` deux entr´ees , ou a` deux dimensions (ou plus) s’il est d´eclar´e parune commande du type :T:=array(1..4,2..7);T[2,2]:={un,ensemble};1.2 D´efinition des tableauxPour manipuler une variable de type array, il faut la d´eclarer, puis la d´efinir. La d´eclaration,vue au paragraphe pr´ec´edent, constitue la pr´eparation de la place m´emoire ou` sera stock´eenotre variable. La d´efinition du tableau peut se faire soit terme a` terme, comme ...

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PTSi2

Alg`ebrelin´eaire–ChapXII–34

Chapitre XII ` ´ ALGEBRE LINEAIRE

1 Notionssur les tableaux C’est au type de variablearray.elI’sgaragaarhppestructitd’untye´ru,qusnoctse’pece´rca c’est-`a-direquiassocieplusieursvaleurs,etquiposs`edelaparticularite´qu’unevariabledece typedoitˆetred´eclare´eavantd’eˆtred´efinie.

1.1D´eclarationdestableaux Ils’agitsimplementdelacre´ationdelavariable,sansaffectationparticulie`re.Lasyntaxeestla suivante : > `Mon tableau`:=array(a..b); L’effetdecettecommandeestlacre´ationd’untableau`auneentr´ee,dontles´el´ementssontin- dic´esparlesentiersentreaetbenemtseunp.Ose`rpa,te´driovaclarerletableau,ffaceet`rsasee´´l certaines valeurs en tapant : > `Mon tableau`[a]:=12; Onpeutaffecterauxe´le´mentsdutableauuneexpressiond’untypequelconque(mˆemedesen- sembles,deschaˆınesdecaracte`res...).Onnepeutpasutiliserletableaupourdesindicesen dehors de la plagea..blsnae´daralcoitan.utisiled´e Untableaupeuteˆtrea`deuxentre´es,oua`deuxdimensions(ouplus)s’ilestd´eclare´par une commande du type : T:=array(1..4,2..7); T[2,2]:={un,ensemble};

1.2D´efinitiondestableaux Pour manipuler une variable de typearrayeclaLad´nir.d´efino,aritfaillaut,up,ralsice´deral vueauparagraphepr´ece´dent,constituelapr´eparationdelaplacem´emoireo`userastocke´e notrevariable.Lad´efinitiondutableaupeutsefairesoittermea`terme,commeonl’avu surlesexemples,soitparunargumentsupple´mentaireaumomentdelade´finition,appele´liste d’initialisation, comme sur cet exemple : >Premier:=array(1..5,[2,3,5,7,11]); Pouruntableau`adeuxdimensions,lalisted’initialisationestunelistedelistes.

Exercice.Dntabonsuregrleauriede´nfiafc¸edxuormasinfntleoupase:avtnssiuitno dimanche lundimardi liste vide”p”,sihy”,isthmalgna”[”euq]th”,”phyais”,”maf”ar¸nacisuq”e[] 0 98

1.3Re`gled’e´valuationauderniernom Lar`egled’e´valuationcompl`ete,quiestenvigueurpourlaplupartdesvariables,nes’applique pas aux variables de typearray.qieupalpiu’snomqnieruderionataulave´’delge`rlast’e.C Illustronscettere`gleparl’exemplesuivant:lavariableAcontient la variableBiuq,meeˆm-elle contient la variableCSi vous appelezqui contient une expression.A, Maple remonte toute la chaˆınedesaffectationspourretournerl’expression.C’estlar`egled’e´valuationtotale.Siaulieu d’une expression,Cirbael,nrmoedavbaeluttnolsruaa,tienconareteˆrreinredualuva´el’’ansioat iciCforcerl’.Pouriluterisile,utfatnoilatoave´tauleval.

PTSi2

` A vous.ssuiandecommrlesucetxEe´:setnav > A:=B; > C:=array(1..2,1..2,[[alpha,beta],[gamma,delta]]); > B:=C; > A; > eval(A); Mˆemequestionenrempla¸cantletableauparPi.

Alg`ebreline´aire–ChapXII–35

1.4Ope´rationssurlestableaux ` Acausedel’applicationdelare`gled’e´valuationauderniernom,lacopiedetableauposeprob- le`mea prioris,uisssu-iedlpcentde´emen´elemexl’nsDa.Crolasnahc,e´gestAetB´engs.onshatc Il faut pour copier un tableau utilisercopyavtn:ea¸consuidelaf > E:=copy(C); Lesmodificationsapporte´es`aCn’affecteront pasE. Toujoursa`causedelare`gled’´evaluationauderniernom,letestd’e´galit´ededeuxtableauxest a`nefairequ’enutilisantequaleiblbedale`uqoihtlinalg. L’utilisationdeevalbouispose toujoursdesprobl`emes(l’´egalit´en’estpastest´eesurlestableaux,maissurlederniernomdes tableaux).

2Alge`brelin´eaire:labibliothe`quelinalg Onchargelabibliothe`quelinalgpar la commande : > with(linalg); Cettecommandenouspermetensuited’utilisertouteslesfonctionsdontlenoms’affiche`al’´ecran.

2.1D´efinitiondesvecteurs,desmatrices Unevariablepeuteˆtredutypevectorseextsaltatnyioctonndinnerustnfieiapurelsedte´.El donn´eedanslesexemplesquisuivent: > X:=vector([x,y,z]);niefiD´rupaontiisationeniltsdei’initla > X:=vector(3,[x,y,z]);ecr´eeislunpadslpnOpaesl’deonsienimleirotcevec > X:=vector(3);le’unesimpacspecevndio’eela’sldtigirotI.leepr´Onnemsnalidqeeucesi d´eclaration.Lade´finitionrestea`faire. > X:=vector(3,i->i^3);De´oipnnfitiefonarunnd’ictioitinsilaoita.n

UnevariablepeuteˆtredutypematrixE.lleestd´efiniecomemadsnelesexpmelssuivants: > M:=matrix([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]);silaitinnoitainit´Dfieurennoapedellistsd’iiste > M:=matrix(2,3,[alpha,beta,gamma,delta,epsilon,zeta]);isecadelOr´npedneminois la matrice, ce qui permet de n’avoir qu’une liste d’initialisation :les coefficients de la matrices, pris en ligne. > M:=matrix(2,3);´ecisequeladimennOenrpe´lclpde-aitags’Ilimesund’alednois.ecirtam ration.Lad´efinitionreste`afaire. > a:=[x,y,z];M:=matrix(3,3,(i,j)->a[j]^(i-1));N:=matrix(2,3,0);tiniefiD´enurapno fonction d’initialisation. > Id3:=array(identity,1..3,1..3);diecirta.e´titnefinitD´eelamiond > M:=genmatrix([eqs],[incs]);oCsntructiondelamatrdecisnu’`tsyleme´einreai.