[hal-00374367, v1] Etude d'un modèle multi-périodique de contamination intégrant des dépendances

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pard'auplusieursd'ununemocondèlertefeumhulti-pdeériomodiqueBernoullidetaminations.conuetaminationheinpartégran2001tObligationdesédéptesendancesariables1dèleDidierpRullièpartreeetvDianatDorobandetutson1.frm2etaDefaultsvril2009haqueRésumécon:ypNousbprésenttonsèrenunidenmoondèleteâmurulti-pd'évérioersitédiquevdehercconersitétaminationtdansCesleersdomainemduhissanrisqueendance,deascrédit,desquipapier,pdèleeutparêtreinvuappliquéecommeeunealizeextensionpdrisqueusoitmoendèlet.dedéfautsDavvisrulliere@univ-lyettiquemenLoet(2001).oNousyconsidéronsindépundemarc69007,héosonsàceluitu@adm.univ-lyuntitresetquiyppeneuvetendtendancesfaireddéfautsddesirecteménéciéenionalettoudeparISFcontourtaminationcon(unseetoriendominotétanrectmoégalemenériottaminationpdesossiothèsesble).lesLesldéfautsuissendirectsdépetéconomiqueslesDansconprésentaminationsdusonDatprésenmoauteursdélisésunpardesL'idéevdesariablesyaléatoiresCBnColoBnestnécessairemenquetsubitindépdéfaut,endandtes,eetetd'autrespdelusieursaconlestaminationsoriginelles,psoneuvparenritaléatoiresêtreindéprequisesidpdistribuéesoureengendrereunadéfautsparaucondetagion.ranceDanstescetpapierypnYON,oGarnier ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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par
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hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009Rösc
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ji
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009présen
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moins
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p
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la
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p
cette
son
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i
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organisé
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Da
du
vis
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nous
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3.1).
2.1
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r
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(
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(
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con
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si
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Ainsi
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:
de
e
),
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d'un
manière
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6
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t

son
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v
y
les
t
dèle,
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Le
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la

du
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qui
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,
d
à
v
tamination)
le
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ltat
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Da
u
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Dans
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défaut
an
,
2.3,
fait
considérons
déjà
m
a
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titre
plusieurs
le
ério
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qui

le
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dèle
Les
une
v
ério
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c
3
our
o
P
s
.
tons
dans
applications
aleurs
u
v
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aléatoires
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est
t
soumis
i
risque
ndép
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endan
ble
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et
ossib
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de
tiquemen
titres
t
noté
distribuées
con
et
t.
es
a
ariabl
é
v
Nous
de
e
suite
ons
,
titres
une
long
6
in
Soit
alle
sinon.
temps
,
en
et
p
de
des.
ério
our
p
titre
la
uméro
t
(
endan
t
p
),
,
v
taminé
y
con
tre
été
la
a
aleur
titre
si
,
e

fait
A3.
directemen
La
p
con
t
tamination
p
le
de
si
(
survien
a
t
taminé
si
être
au
p
moins
il
un
P
aleur
ce
v
lorsqu'il
la
fait
prend
défaut
qui
façon
ariable
(
v
de
,
le
i X Y = 1 j2
j = ij ji
j X = 1 Y = 1j ji
" #
X
pqkP Z =k = C ;i n nk
i2

k 1X
pq k n k k(n k) i i n i i k i i(n k) = p (1 p) (1 q) + C p (1 p) (1 (1 q) ) (1 q) :knk
i=1
fX; i2
gi
8 i2
P [X = 1] =p p2]0; 1[i
2Y ; (i;j)2
ij
8 i;j2
j =i P [Y = 1] =q q2]0; 1[ij
C X Y = 1 j2
j =ii j ji
n

=f1;:::;ng T
ii i2
X 1t
t t2f1;:::;Tg 0
iX = 0t
iC 1t
it 0 fZ ; i2
g f0; 1gt
i ii2
Z = 1 t Z = 0t t
ifZ ; t = 1;:::;Tgt
i i i i i iZ =Z + (1 Z )[X + (1 X )C ]; 2tT;t t 1 t 1 t t t
i i i iZ =X + (1 X )C :1 1 1 1
i iZ = 1 i t 1 Z = 1t t 1
i iX = 1 C = 1 tt t
t2f1;:::Tg

i t = i2
; Z = 1t t t
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009nous
titres,
ne
4
p
l'ensemble
in
des
Da
titr
qui
es
de.
n
mais
'ayant
ne
p
u
as
yp
fait
moins
défaut
ério
à
de
la
1
n
fait
de
sein
la
t
p
our
ério
plusieurs
de
othèses,
eet.
c
:
t
réel
domino,
un
our
oir
de
v
qui,
a
tenons
à
tamination)
t
othèses
commencen
ects)
taminations
t
con
t
les
e
desquels
2
partir
atoir
à

critiques
,
seuils
es
de
sont
,
Lo,

nous
mpte
ort
co
dèle
rendre
de
le
ues,
nombr
des
e
par
de
l'on
titr
son
es
De
ayant
t
fait
endan
défaut
,
dir
fait
e
même
ct
t
p
p
endant
t
la
sous
p
:
ério
orelle
de
cteurs
mieux
ério
:
façon
de
ceux
susceptible
mutuel
t
dép
égalemen
c
est
cteur.
t
orelle
plissemen
es
assou-
e
cet
titres
ailleurs,
,
ar
De
P
indép
,
les

indép
2007).
les
Mori,
indép
le
n
nombr
de
e
supp
de
ces
titr
con-
es
(2001).
en
extension
situation
de
de
n
défaut
d
à
caractériser,
la
est
n
utation
de
,
la
v
p
le
ério
nomme
de
ce
and
con
:
requises
ado
le
isak
les
H
euv
ata,
taminer
Sak
titre
oir
une
(v
donnée
és
t
observ
on
t
éfaut
.
t
P
ério
our
soit
tout
en
réellemen
(direct
phénomènes
r
les
v
ter
p
résen
nous
p
h
re
an
mieux
othèse
à
endance
façon
défauts
,
es
considérons
atoir
les
A
v
même
ariables
p
aléatoires
,
de
on
tamination,
forcémen
con
,
de
indép
,
existe
othèse
es
yp
diér
h
osantes
tte
chaque
ce
othèse
lir
endance
assoup
con
r
hangeables)
u
cteurs
à
autres
v
taminer
aleurs
ouv
dans
et
o
cas
p
streignons
oies
n
v
t
d'autres
mutuel
représen
et
tan
iden
t
alé
l'indicatrice
tes
de
t
la
ariables
con
des
tamination
change
du
de
t
dèle
ème
construisons
titre
vis
v
dèle
ers
.
le
que
duisen
placerons
ème
h
p
les
endan
tes
t
ar
la
et
p
mo
ério
une
de
Notre
tro-
p
.
de
P
à
ar
nom
conséquen
la
t
ces
les
t
v
les
ariables
du
in
p
qui
l'ensem
osées,
Le
(
'autres
prop
a
été
ec
leurs
exemple
)
c'est-à-dire
son
l'eet
t
1
de
que
la
(au
forme
deux
d'ail
taminations
t
t
on
p
tes
engendrer
récen
défaut).
très
plus,
généralisations
titres
D'autres
p
lieu.
en
oir
con
v
le
a
ème
t
p
ourron
t
p
p
tions
de
tamina-
compte
n
son
co
ceux

soit
breuses
t
est
d
une
direct
fonction
endan
de
la
nom
p
trop
de
de
,
tiques,
étaien
iden
déjà
t
situation
v
défaut
ers
ou
restan
a
paramètres
con
s
a
e
an
l
cette
et
ério
s'accroît,
Nous
titres
plaçons
représen
les
te
yp
l'ensem
suiv
ble
tes
de
Hyp
titre
2.
susceptibles
(Indép
de
temp
con
des
taminer
dir
le
L
titre
ve
de
alé
.
es
Nous
insi
supp
de.
osons
p
ici
la
qu
endan
e
directe
bre
de
nom
défaut
le
t
si
qui
que
t
t
pas
facilemen
son
imagine
sont
on
lement
;
endants,
tamination
il
con
des
de
endanc
de
entr
mo
les
le
entes
eet
omp
en
au

ne
lir
ve
d'assoup
Hyp
t
2.
ortan
(Indép
imp
temp
être
des
eut
taminations
p
terc
Il
L
etc.
ve
titre
alé
.
es
P
s
ar
l
exemple,
con
d
an
a
p
n
les
s
1
le
particulier
mo
au
dèle
pas
originel
re-
le
ous
tamine
plus,
con
distribuées.
tour
tiquemen
son
sont
a
lement
(donc
endants
seulemen
p
t
tout
les
,
titres
variables
a
atoir
y
et
an
endan
t
plus
fait
son
défaut
et
de
v
façon

directe
ério
p
inter
ouv
ables,
aien
endantes
t
p
con
à
taminer
mo
l
u
e
nous
s
et
autres)
Da
et
originel
qui
mo
titre
a
le
Nous
tamine
oserons
con
lorsque
1
nous
il
sous
défaut,
deux
fait
yp
c'est-à-dire
toutes
qu'au
lois
moins
join
une
de
con
rapp
tamination
P
cause
Lo
le
vis
défaut.
dèle
Dans
du
notre
,
mo
est
dèle,
mo
on
.
p
ério
eut
haque
imaginer
et
des
de
cas
la

défauts
le
bre
titre
u
ème
loi
titre
othèses,
fait
h
défaut
sous
seulemen
son
t
conn
s'il

se
de
v
papier
oit
désignen
con
une
taminé
erm
par
de
un
ble
nom
but
bre
.
donné
de
d


it = i2
; Z = 0 =t t t

t
P
D D iN t N = Xt t ti2 t 1P
iN t N = Zt t ti2

ji 2t2f1;:::Tg Y ((j;i)2
) f0; 1gt
j i t
iC i2
t
0 1
X
jii @ AC =f Y ;t t
j2Ft
f f0;::;ng f0; 1g Ft
D 2i card(F ) = g(N ; N ); g : N !f0;::;ngt t 1 t
DF =N1 1
f(i) = i>1
i
f(i) = i>2
i t
t
~X =t
1 n(X ;:::;X ) t2f1;:::;Tgt t
11 12 nn~Y = (Y ;Y ;:::;Y ) t2f1;:::;Tg tt t t tn o
ji 2 iY ; (j;i)2
X ; t = 1;:::;T; i2
t t
2(1) (n ) ()1 n(X ;:::;X ) t2f1;:::;Tg (Y ;:::;Y ) Yt t t t t
ij 2Y (i;j)2
t
Nt
t

iX ; i2
tn o
ij 2Y ; (i;j)2
t
f(i) = i>1
i j
k
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009d
des
défaut
Outils
p
de
e
l
p
'assurance-vie
an
Dans
2.1
cette
P
partie
Lemme
nous
de
présen
er,
tons
nom
quelques
tous
outils
armi
utilisés
es
p
p
our
de
la
Si
ca
articulier
ractérisation
sont
de
e
la
n
loi
diéren
du
endan
nom
années.
bre
désigne
de
l
défauts.
éléments
Nous
e
dénissons
bl
les
nous
co
cha
ecien
preuv
ts
dinal
d'ordre
endantes
5
atoir
p
ule
our
le
l'ensem
alé
ble
dèles
aléatoires.
et
ariables
de
v
simplier
de
Un
bles
de
sem
e
-
qu'elles
en
survie
a
tiquemen
v
u
ec
oir
deux
à
ces
somme
,
teu
our
ons
p
de
d'ordre
pris
ts
éléments
ecien
.
,
les
co
alé
les
v
duisons
ce
de
sont
la
ables,
manière
tout
suiv
:
a
alors
n
c
te
un
:
li
Dénition
de
2.1
variables
Soit
W
tro
(F
in
o
.
as
Pour
les
tout
es
Nous
risque
aussi.
les
t
enda
son
distribué
le
Bernoul
ariables
ar
v
,
les
en
,
tils
à
classique
t
vie
,
éte
le
un
c
p
o
(de
ecient
t
d'or
rées
dr
duelles
e
et
conditionnellemen
distribuées),
(
de
alors
après
les,
allons
ab
ces
ge
F
n
r
)
la
p
sur
our
les
l'ensemble
ec
a
le
h
choix
terc
ossibles
in
y
t
distincts
son
p
ariables
les
v
d
,
l'ensemble
noté
Remarque
les
Si
Comme
varia
:
es
que
atoir
tel
o
,
ren
est
résultat
déni
e
p
e
ar
inter
mble
nge
se
alors
n
our
e
ensemble
-
la
sous
our
tout
1
our
,
p
ar
alors
de
,
sous-ensemble
ables,
et
change
dép
inter
Bernoul
li
typ
Bernoul
es
e
alé
typ
désignent
de
aring)
es
de
atoir
orm
alé
2.2
variables
qués.
désignent
Dans
Si
c
2.2
p
Remarque

89).
variables
page
atoir
8.6,
év
hapitre
de
c
de
(1995),
mo
er
t
Gerb
indép
exemple
ntes
par
identiquement
oir
es,
(v
loi
actuaires
li
des
p
monde
amètr
le
considérablemen
dans
alors
utilisée
t
très
euv
uette-Nesbitt
traditionnels
h
.
Sc
problème
de
e
e
actuariat
cell
est
est
d
ule
rmin
form
parmi
cette
group
de
de
extension
ersonnes
(y
tes
c
sorte
ompris
n'on
s
pas
i
du
Une
de
106).
rési
ge
indép
a
tes
L
iden
e
t
symb
le
ole
bre
p
surviv
.3,
ts
V
quelques
I
Nous
hapitre
v
(c
que
(1968)
o
ler
el
2.1

ik X ; i2
card( ) kt
k2N

t2f1;:::;Tg k k card( )

iX ; i2 ( )k;tt
h iX1 j j1 k ( ) = P X = 1\:::\X = 1 ; 1kcard( ) ;k;t t tkC
card( ) j <j <::<j1 2 k
j ;:::;j 21 k
( ) = 1 = ;):0;t
X
kC k
card( )
j <j <::<j1 2 k
j ;:::;j 21 k

iX ; i2
t

h i
1 k ( ) = = P X = 1\:::\X = 1 ; 1kcard( ) :k;t k;t t t

iX ; i2
t
kp =pk;t
1 nX ;:::;X nt t
f1;:::;ng card( ) = mn
" #
m k
X X
i k j j
P X =k = C C ( 1) ( ) :km j+k;tt m m k
i2 j=0
1 nX ;:::;X nt t
iM = i :X = 1 E f1;:::;ng card(E ) =kX k kt
" #
n h iX
i k 1 k k+1 n k
P X =k =C P X = =X = 1; X = =X = 0 =C P [M =E ]:X kt n t t t t n
i=1
n o
ij 2 DY ; (i;j)2
N ;Nt 1t t

iC ; i2
kt
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009onjointe
prop
om
2.2
2.
Pour
,
tout
haque
6
l
ne
loi
autre
en
et
endantes
p
Remarque
our
ne
tout
qui
un

ers
,
v
ar
titre
Nous
d'un
te
tamination
es,
con
atoir
de
variables
indicatrices
P
les
en
,
ariables
le
v
c
terc
o
La
ecient
quelc
d'or
t
dr
et
e
c
et
est
(
L
direct
ainsi
défaut
ecien
de
2.3
ndicatrices
loi
i
identiquement
)
sont
p
(y
our
ris
l'ensemble
Si
les
ce

dénition,
cas
ariable
le
est
dans
de
Lo
est
et
de
vis
re
Da
t
de
ables.
résultat
i
,
et
noté
nous
le
une
d'étendre
end
ermettra
avons
p

,
e
est
p
déni
Dans
p
e
ar
ve
nous
loi
qui
ecteur
de
ouv
ério
des
p
les
seule
v
une
et
à
Prop
dèle
Bernoul
mo
de
d'un
distribué
donc
et
git
indép
a
es
s'
alé
Il
c
.
p

si
cas
les
le
2.3
dans
.
défauts
endi
de
ar
re
c
b
v
nom
App
du
ée
loi
u
la
fonction
caractériser
v
de
donn
est
osition
section
cette
cette
e
de
u
De
p
la
son
même
in
manièr
hange-
e
La
n
o
ous
de
déni
1
s
1
sons
avons
but
onque,
Le
fonction
de
Pour
ério
dép
p
seulemen
une
de
à
nous
dèle
Dénition
Mo
articulier
2.2
d
onque,
la
quelc
de
fonction
as
une
le
our
1.
p
p

donné
,
cteur
,
du
1
c

a
articulier
)
p
.
as
p
c
ons
le
établir
dans
relations

tre
et
co
alors
ts
,
du
e
conjoin
amètr
(Loi
ar
osition
p
.
de
1
li
2
t2f1;:::Tg k k card( )
n o
ij
Y ; (i;j)2 k;tt
h i
(1) (k)
=P Y = 1\:::\Y = 1 ; k 1;k;t t t
=1:0;t
h i
1 k D
(g(u;l)) =P C = 1\:::\C = 1 N =u;N =l ; k 1;t 1k;t t t t
(g(u;l)) =1 g(u;l) = 0):0;t
n o
jiiC Y ; j2Ftt t
(1) (card(F ))t1 n(C ;:::;C ) card(F ) (Y ;:::;Y )tt t t t
(z) znk;t k;t
1 k(C :::C )t t
1 k(C :::C )t t
2 3
X X
j1 jk4 5 (z) = P f( Y ) = 1\:::\f( Y ) = 1 card(F ) =z ; 0kn; 0zn k:k;t tt t
j2F j2Ft t
f(i) = i>1
k ziX X
i i+
(z) = C C ( 1) :k;t ;tk zi
i=0 =0
f :f0;:::;ng!f0; 1g
zk zkX X
j j (z) = () C ( 1) ;k;t k;z j+;tzk
=0 j=0
X
x1 () = f( )C ( ); (x) = f(x)C (x) = :k;z 1 k 1;z 1 1;z xz 0;z x=0z z
2f0;:::;zg1
1
n o
ij 2Y ; (i;j)2
; t2f1;:::;Tgt
kq =qk;t
z kf(i) = (z) = (1 (1 q) )i>1 k;t
zk
X
zk f :f0;:::;ng!f0; 1g (z) = ()q (1 q) :k;t k;z
=0
T = 1
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009Sous
b
dans
t
qui
pas
-
nécessairemen
form
t
Un
indép
défauts
endan
loi
tes.
ables.
Dans
2
le
et
cas
osons
particulier
er
o
défauts.
ù
-
7
2.2,
.
é
paramètre
défauts
,
t
le
Nous
mo

dèle
le
est
sous
celui
sont
de
son
Da
principaux
vis
e
et
du
L
du
o
titres
:
une
de
t
Bernoulli
une
loi
de
de
:
distribuées,
titres
t
du
tiquemen
a
iden
les
et
t
tes
en
endan
L
indép
Preuv
t
totales
égalemen
D'autre
t
othèse
son
A
et
change
paramètre
les
de
de)
ernoulli
conn
B
e

ce
loi
le
de
an
distribuées,
la
t
bre
tiquemen
2.4
iden
bre
et
v
tes
i.i.d
endan
dèle
indép
ério
t
Hyp
son
2.1
ariables
ér
v
alors
les
nombr

est
,
p
particulier
dèle
cas
terc
le
v
dans
bre
ts
2.5
u
g
a
terc
déf
ariables
de
cas
bre
loi
nom
déduisons
u
t
d
On
loi
2
(où
,
nous
son
a
D'après
v
des
ons
mme
noté
part,
la
2.2,
donne
de
qui
l'Hyp
t
lors,
an
les.
suiv
a
résultat
inter
le
variables
t
que
es
Supp
2.3,
io
).
t
Rapp
ues.
elons
d
que
résultats
dans
de
le
papi
mo
est
dèle
théorèm
originel,
suiv
les
t
auteurs
donne
se
loi
restreignen
nom
t
de
au
Théorème
cas
(Loi
particulier
nom

de
la
a
fonction
ec
Remarque
non
la
.
e
mo
d
à
et
p
1
de)
2.1
les
Remarque
o
la
hèses
.
et
Sous
si
l'h
p
yp
,
othèse
la
2.1,
du
les
e
v
défauts
ariables
donn
aléatoires
e
de
ar
2.4,
à
Théorème
mo
du
hangeables
conséquence
in
Une
ec
2.1.
a
que
de
emar
nom
ne
(Loi
son
Corollaire
t
e-
pas
n
forcémen
h
t
in
indép
son
endan
v
tes.

Nous
le
rapp
de
elons
la
égalemen
facilemen
t
en
que
que
les
remarquan
toutes
conclut
les
donne
lois
.
conjoin
emme
tes
le
de
Comme
R
part
la
.
dans
e:
duits
la
o
ule
intr
probabilités
sont
2.2,
ecients
Le
o
d'après
c
D'une
les

T = 1
i i i iZ =X + (1 X )C ; i2
;1 1 1 1
X
jii DC = f( Y ) card(F ) = g~(N ) g~(x) = g(0;x)t1 1 1
j2Ft
f(i) = i1
iX ; i2
1
2(1) (n )1 n(X ;:::;X ) (Y ;:::;Y )1 1 1 1
T = 1
r n r n k
X X X
r k j j
P [N =r] =C C C ( 1) (g~(k)) C ( 1) ( ) :1 +r k;1 j+k; 1n r n r n k
k=0 =0 j=0
rX
D DP [N =r] = P N =r N =k P N =k :1 1 1 1
k=0
n k
X
jD k jP N =k =C C ( 1) ( )j+k; 11 n n k
j=0
" # " #
nX X
D i i i D i DP N =r N =k = P X + (1 X )C =r N =k = P C =r k N =k1 1 1 1 1 1 1 1
i=1 i2A

iA = i2
:X = 0 :1
Pn rr kD card(A) =n k P N =r N =k =C C ( 1) (g~(k)):1 +r k;11 n rn k =0
r kk r kC C =C C : 2n n k n r
iN X ; i2
1 1

iX ; i2
1
r n r n kX X X
jr k j
P [N =r] =C C C ( 1) (g~(k)) C ( 1) ;1 n r n r +r k;1 j+k; 1n k
k=0 =0 j=0
j; 1

iX ; i2
1n o
ij 2p Y ; (i;j)2
1
q
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009t
2.6,
la
2.6
nous
(Loi
e
du
ortan
nom
Après
bre
our
de
que
défauts
8
a
:
v
Théorème
ec
une
titres
).
indép
et
endan
Mo
ts
section
-
en
mo
décrite
dèle
la
à
Dans
une
sui
p
u
ério
yp
de)
de
Supp
défaut
osons
1
que
t
les
résultat
variables
en
Corollaire
fonction
situation
p
en
présen
es
considérons
titr
de
des
ério
l'ensemble
de
désigne
e:
défaut
p
sont
bre
indép
nous
endantes
2.7
et
an
identiquement
est
distribué
résultat
es,
un
de
les
loi
du
Bernoul
supp
li
qu'au
de
tamination
p
que
ar
form
amètr
,
e
en
à
Remarque
et
ons

Da
l'instant
(20
(voir
t
Notations
our
2.1)
tité.
et
Preuv

des
et
mo
ave
dans
c
te,
et
tenan
,
terv
.
est
sont
rs
é
et
galement
de
indép
titre
endan
l'équation
tes
décomp
et
de
i
d
dentiquem
défauts
en
du
t
téressons
distribué
suite
es,
(Loi
de
Théorème
loi
t
Bernoul
v
li
le
de
t
p
imp
ar
tre
amètr
a
e
2.4,
Le
Sous
.
h
A
othèses
lors
Corollaire
la
on
loi
ose
du
plus
nombr
moins
e
con
de
cause
défauts
(c'est-à-dire
est
le
donné
.
e
ule
p
de
ar
récurrence
premier
Alors
terme
utilisan
p
la
eut
2.3
être
retrouv
calculé
le
fac
de
i
vis
leme
Lo
n
01)
t
prenan
en
p
utilisan
p
t
la
la
iden
:
2.3
ar
dèle
p
plusieurs
e
ério
donné
Généralisan
est
le
défauts
dèle
de

e
la
nombr
précéden
du
nous
loi
main
la
t
2.2,
l'in-
et
alle
2.1
temps
hèses
divisé
t
plusieu
o
p
Hyp
des
les
qu
Sous
l'indicatrice
des)
défaut
ério
tout
p
est
T
par
à
:
dèle
Nous
mo
osons
-
,
.
ério
i.i.d
'une
non
n
titres
à
ec
de
v
nom

loi
a
à
défauts
in
de
nous
bre
la
nom
de
du
à

iX ; i2
1n o
ij 2p Y ; (i;j)2
1
q
r n rX X
r k k n k
P [N =r] =C C p (1 p) C ( 1) (g~(k));1 +r k;1n r n r
=0k=0
zuX
zu
(z) = ()q (1 q) :u;1 u;z
=0
f(i) = i>1
g~
i i i i i iZ =Z + (1 Z )[X + (1 X )C ]; 2tT; i2
;t t 1 t 1 t t t
i i i iZ =X + (1 X )C :1 1 1 1
t
t2f1;:::;Tg T > 1
X
P [N =r] = P [ = ];t t t

t
card( )=rt
tt
rX X
P [ = ] = P [ = = ]P [ = ];t t t t t 1 t 1 t 1 t 1
u=0 t 1 t
card( )=ut 1
r u n rX X X
j jP [ = = ] = (M ;
M ) C ( 1) (u;m);t t t 1 t 1 t t 1 t j+r u m;tn r
m=0 j=0M t t t 1
card(M )=mt

i i
(A; B) = P 8 i2A X = 1 8 i2B X = 0 8 A;B ;t 1t t
card( ) =r card( ) =u urt t 1
P [ = ]1 1
P [ = =;]:1 1 0
X
P [N =r] = P [ = ]:t t t

t
card( )=rt
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009es
Lemme
imp
utilisan
dernière
t
l'h
la
fait
form
men
ule
de
de
temp
probabilités
nous
totales
e
9
ord
:
son
obtenons
rf
nous
ables.
2.9,
endants,
Lemme
c
le
te
suite

en
C'est
et
eut
totales
récursiv
probabilités
En
de
et
ule
que
form

la
ég
ord
s
d'ab
de
t
eur
utilisan
omp
En
mutuel
2.8
ve
Théorème
dir
du
2
e
s
Preuv
aléatoires
:
su
e
la

les
vér
c
est
2.7).
suivante
2.1,
elation
par
r
eux
la
t
,
Remarque
,
ite
,
nous
,
liés
que
défauts
tels
aux
et
i
ensembles
à
tous
p
our
yp
p
Finetti,
2.3,
le
et
inter
2.2
ve
othèses
au
Il
les
reste
in
donc
,
à
alé
calculer
L
le
in
terme
des
Hyp
(Indép
les
Hyp
Sous
suiv
2.9
oth
Lemme
érien
:
v
endice
le
App
enc
en
nou
tré
ourquoi
démon
n
t
te
an
de
suiv
induire
quand
relation
lemme
oir
le
l'Hyp
sur
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ose
est
rep
cteurs
théorème
du
ce
tre
e
utilisan
,
d'ab
d
la
e
2.2
reuv
ensu
p
le
La
2.2,
ar
obtenons
p
en
e
t
et
directs
donné
les
est
situations
défauts
t
de
te
e
est
nombr
ale
du
a
loi
a
la
'adapte
,
othèse
2.3,
h
et
cette
2.2
De
.
Théorème
ses
D'après
è
change
h
sont
t
ct
o
chaque
Hyp
sein
les
osantes
Sous
c
des)
mais
ério
dép
p
lement
T
sont
à
,
e
atoir
dèl
En
mo
es
-
hangeables)
hangeables
ter
terc
ects
in
défauts
titres
orelle
ec
endance
v
.3
a
othèse
défauts
:
de
an
bre
e
nom
è
du
yp
i
t
Lo
v
(
ariables
2.8
les
Théorème
cas
2.7.
r
Théorème
hons
du
p
particulier
s
cas
suite
un
dans
et
p
est
umériques.
t
applications
an
dans
suiv
ortan
résultat
calcul
Le
harge
l'économie.
une
de
toutefois
l'état
p
de
Cette
exemple
Théorème
par
(v
t
Sous
découlan
othèse
hé,
la
cac
de
n
relation
u
caractérisée
comm
une
facteur
d'un
rX X
P [ = ] = P [ = = ]P [ = ]:t t t t t 1 t 1 t 1 t 1
u=0 t 1 t
card( )=ut 1
P [ = = ]
card( ) = rt t t 1 t 1 t 1 t t
card( ) =u urt 1

i i i i iP [ = = ] = P 8 i2 ; X + (1 X )C = 1 8 i2
; X =C = 0 = :t t t 1 t 1 t t 1 t t 1 t 1t t t t t
P [ = = ]t t t 1 t 1
h i
P
i Dr u P C =r u m N =u;N =mX X t 1i2
M t tt 1 t
(M ;
M )t t 1 t r u m
Cn u mm=0M t t t 1
card(M )=mt
r u n rX X X
j j= (M ;
M ) C ( 1) (g(u;m)):t t 1 t j+r u m;tn r
m=0 j=0M t t t 1
2
Nt

iX ; i2
; t2f1;:::;Tgt
1 n~X = (X ;:::;X ) t2f1;:::;Tgt t t
n k r r k n rX X X X
jr k j+
P [N =r] = P [N =k]C C C C ( 1) (g(k;)):t t 1 + ;t j+r k ;tn k n rn k r k
=0 =0k=0 j=0

t t 1 t 1 t
card( ) =r card( ) =k krt t 1
r k
P [N =r N =k] =C P [ = = ]:t t 1 t t t 1 t 1n k
rX
P [N =r] = P [N =r N =k]P [N =k]t t t 1 t 1
k=0
r
X
r k
= P [N =k]C P [ = = ];t 1 t t t 1 t 1n k
k=0
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009vis
au
sont
our
en-
tous
de
ensem
e
bles
resp
oin
endan
p
La
et
des
certains
ar
en
u
3.1
nous
tels
v
que
bre
Algorithme
ério
de
bien
survie
identiquement
de
que
fonctions
in
les
distribué
sur
loi
que
2.3
,
ecteurs
ainsi
alors
,
quan
dans
le
le
m
défauts
2.10
de
v
bre
dèle
nom
que
,
le
du
Corollaire
ts
sont
momen
de
premiers
e
les
son
sur
v
endance
Nous
dép
en-
cette
Bernoul
,
.
de
de
l'impact
Hyp
ici
supp
.
lois
D'après
e
le
En
Théorème
alourdir
2.7,
de
erons
,
observ
10
Nous

dérées.
son
consi
t
aléatoires
tes.
ariables
du
v
défauts
les
titres
tre
-
en
T
endances
Supp
dép
variables
des
de
par
retrouv
aectées
p
t
équation
notablemen
t
être
endantes
t
tribué
en
Bernoul
euv
ar
p
et
es
con
titativ
régis
quan
bles
mesures
aléatoires
certaines
rc
(2002),
pp
Utev
galement
Lefèvre,
et
it,
de
u
de
Den
e
et
lors
(2001)
nombr
Ribas
est
Dhaene,
ar
it,
2.2
u
ériées.
Den
en
par
que
d'assurance
ces
individuels
n'év
dèles
t
mo
du
de
an
cadre
ne
de
les
le
l'indice
dans
dans
qué
,
o
seron
év
emen
le
ts.
emp
cas
ex
les
par
ariables
est
t
ct
utuellemen
a
indép
d'imp
dan
e
Corollaire
yp
(Loi
t
nom
Ce
de
nations.
a
tami-
ec
con
indép
de
ts
total
mo
bre
à
nom
p
du
des)
olution
osons
Or,
les
sous
et
les
Da
Hyp
résultat
othèses
er
2
de
.
ermet
2
2.10
et
du
2.3,
dernière
l'év
tan
sur
les
taminations
indép
con
et
des
dis-
et
es,
directs
loi
défauts
li
des
p

amètr
hangeabili
défauts
terc
directs
l'in-
les
de
taminations
l'impact
t
d'étudier
par
an
ensem
umériques
de
n
ariables
applications
et
quelques
te
tons
hangeables.
présen
su
nous
oserons
section
é
cette
indép
Dans
dantes
umériques
identiquement
n
es,
Applications
loi
3
li
ul.
p
n
amètr
On
ainsi
conclu
A
t
la
en
du
remarq
e
u
défauts
a
donné
n
p
t
les
que
othèses
t
et
sûremen
v
presque
Nous
c
oserons
as
o
et
tre
,
les
in
de
terc
v
hangeable
aléatoires
Nous
olu
nous
n
placerons
pas
ici
l
dans
temps.
,
conséquence,
un
de
cadre
,

pas
ù
1
o
notations,
cas
omettrons
le
plus
Nous
Si
en
les
déduisons
tités
facilemen
et
t
qui
la
t
loi
ectiv
de
t
dans

Lo
dans
p

card( ) =r card( ) =k krt t 1 t 1 t t t 1
r k n rX X X
j jP [ = = ] = (M ;
M ) C ( 1) (g(k;)):t t t 1 t 1 t t 1 t j+r k ;tn r
=0M j=0t t t 1
card(M )=t
Pn k (M ;
M ) = C ( 1) :t t 1 t + ;t=0 n k
X

=C : 2
r k
M t t t 1
card(M )=t
Nt

iX ; i2
; t2f1;:::;Tgt n o
ij 2p Y ; (i;j)2
; t2f1;:::;Tgt
q
r r k n r
X X X
r k j n k j+P [N =r] = P [N =k]C C p (1 p) C ( 1) (g(k;));t t 1 j+r k ;tn rn k r k
k=0 =0 j=0
zuX
j zu j (z) = (j)q (1 q) :u;t u;z
j=0
f(i) = i>1
r r kX X
r k n k g(k; ) r k g(k; )(n r)
P [N =r] = P [N =k]C C p (1 p) (1 (1 q) ) (1 q) :t t 1 n k r k
k=0 =0
t = 1 g(k;) = N0
Nt
Nt
n o ijt 2X ; i2
Y ; (i;j)2
i t
t (z) k;t k;t k;t
hal-00374367, version 1 - 8 Apr 2009

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