Cours de statistiques : Echantillonage

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• Publié par: Upru
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Extrait

Chapitre 21

Statistiques : Échantillonnage

I Fluctuationsd’échantillonnage

Définition Un échantillon Lorsqu’on répètenfois, de façon indépendante, une même expérience aléatoireon obtient un échantillon de taillen. Exemples : On a obtenuavec un programme de la calculatricedes échantillons de taille10,100et1000du lancer de dé pour découvrir la fréquence d’apparition de la face 5. En TP informatique,avec un tableur, on a obtenu des échantillons de taille10 000et chaque appui de la touche F9 donnait un nouvel échantillon pour une pièce et un dé. Dans la suite, on utilisera l’exercice suivant comme exemple : Exercice : Livre : 43 page 338 Avec la calculatrice, créer des échantillons de taille 100 et les regrouper pour la suite.

Définition Fluctuation d’échantillonnage Lorsqu’on observe plusieurs échantillons de même taille, on constate que la fréquence observée varie : c’est la fluctuation d’échantillonnage. On l’observe sur un graphique où l’on représente tous les échantillons de même taille.

Exercice : Dans une usine de fabrication, un produit ne peut présenter que 2défauts : Le défaut A avec la fréquence de0,01et le défaut B avec la fréquence de0,025. Le fabricant prétend que moins de4% de ses produits présentent un défaut de fabrication. Réaliser des échantillons de la production pour vérifier son affirmation!

Avec notre exemple : Exercice : Livre : 43 page 338 Observer avec les échantillons obtenus sur un graphique pleine page. Prendre le relai avec un tableur pour observer le graphique fluctuer lorsqu’on appuie sur la touche F9.

•On a regroupé tous les échantillons de même taille dans un tableau, •On les a représenté sur un graphique type nuage de points, ◦On représente maintenant sur le même graphique la proportionpattendue et une bande autour dep qui regroupe tous les échantillons,

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CHAPITRE 21.STATISTIQUES : ÉCHANTILLONNAGE

◦On recherche ensuite une bande centrée autour dep, contenant au moins95% des points.

Définition Intervalle de fluctuation Soit une expérience aléatoire dans laquelle la probabilité d’un événementAest notéep. Pour un grand nombre d’échantillons de cette expérience, l’intervalle centré enp, qui contient au moins95% des échantillons est appeléintervalle de fluctuation des fréquences au seuil de 95%. Faire une phrase concernant notre exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Théorème Pour obtenir un intervalle de fluctuation des fréquences au seuil de95%, on peut ◮Soit réaliser un grand nombre (supérieur à 25) d’échantillons et en déduire un intervalle, ◮Soit utiliser une approximation de l’intervalle si0,26p60,8donnée par : ñ ô 1 1 p−;p+ n n

Démonstration:admis Exemple : Déterminer une approximation de l’intervalle de fluctuation pour des échantillons de taille 1000 pour l’expérience du lancer d’une pièce équilibrée.

II Applications

a) Prised’une décision

Propriété Principe de prise de décision On connait l’intervalle de fluctuation au seuil de95%, et on a un échantillon. L’échantillon est ditcompatible, non rejeté ou encore représentatif au risque de5 % sila fréquence observée sur l’échantillon appartient à l’intervalle de fluctuation.

Exemple : La fréquence des yeux bleus en France est d’environ0,31. La classe estelle un échantillon représentatif? Exercice : Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26% de défauts. Fautil s’inquiéter?

II. APPLICATIONS b) Estimationd’une proportion Propriété Sifest la fréquence sur un échantillon etpla proportion recherchée alors on a ñ ôñ ô 1 11 1 f∈p−;p+⇐⇒p∈f−;f+ n nn n

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Démonstration:Évident, revenir aux encadrements. On a donc : Propriété Principe d’estimation On ne connait pasp, mais on a un échantillon de taillen. Avecfdonnée par l’échantillon et au risque de5 %, on peut donner un encadrement dep,avec l’intervalle de confiance : ñ ô 1 1 p∈f−;f+ n n Exemple :Un sondage Pour gagner une élection au premier tour, un candidat doit obtenir au moins50% des voix. Un candidat fait réaliser un sondage sur un échantillon de1 068électeurs : 550déclarent vouloir voter pour lui. Déterminer l’intervalle de confiance au risque de5 %!. Commenter Exercice : Avant une campagne publicitaire, une société disposait de40% de part de marché sur l’un de ses produits. Après la campagne de publicité, un sondage sur un échantillon de taille200, donne48% de part de marché. Cette augmentation estelle due à la publicité?