Méthodes mathématiques pour l'informatique

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detsfonctionsnotesduitsond'intbleinspiréesladuetsuppEnsemortsidansdueuvOn:noteMéthod'élémendesEnsemmathématiquesdonpourConformémenl'informatiquevon,UndeélémendeVélu,unRemarhezbleDunoetd.tRappelsleettermesnotqueasontionsdireOnble.suppfonctionosequeenueeclesdenotionsl'end'ensemestbles,estdedoncfonctions,tsdenumérrelations,plusieursd'endestiersUnnaturels.leOnanotevideCesdansl'ensemPblesingleton.vide.bles.Lesdeuxélémenl'ensemtstd'unappartienensemapplicbleDans;dessonalorstsouvélémenenttdeappSoitelésestlesdirepl'ensemointsviendenotationà.deEnsemestblesond'en(autiers.dansOnl'imagenotedes;blel'ensemdoncblefonctiondestsen-upletiersunnaturels.pSoienquetsonetett;Ondeuxl'ensemen-uplestiersquetelsoupleque-uple.tieroùenilunt..Onquinotevideetfonctionsnisl'ensemblesensemestdeuxtetdeuxouprplusartésiensimplemenettymes.tdessoiende:donélémenlesàl'ensembleetdesnotes,endestiersdel'ensemauOnsensonlargeDansenélémentreasurtousetPlususensem:sous-ensemrésultatsdesdeunbrepnom1àununedeVble.tdel'ontsdansd'élémen.bretnoml'usagelematièrediresuites,àlaOnun-uple,viennotetAquelieusi.de,)dedealorstierdinaletarécritl'ensemlequenote,estdevide ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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X X
N p q q≥p
[p,q] [p,q] p qN
[p,q] ={n∈N,p≤n≤q}.
q < p [p,q]
[1,n] n n n = 0
X
X
X n n X
n X [1,n] X
x n x x(i) ii
x = (x ,...,x ) n n1 n
nX n X
2
n = 0 0 [1,0] X
0X
X Y X Y X ×Y
X∪Y X Y
2X×Y ={(x,y)∈ (X∪Y) x∈X,y∈Y}.
2 nX =Y X×X =X X =X××X
X P X X
X P ⊂X (X)P
X
(X) ={P,P ⊂X}.P
X
XY Y X Y
nn X [1,n] X X
n [1,n][1,n] X X =X
X |X| X
X X Y
n
|X|X Y =|Y|
|X×Y| =|X|.|Y|
soien
Un
l'ensem
-uple
deux
d'?l?men
tro
ts
ensem
de
p
tier.
vide.
est
le
une

suite
?
de
ble
en
son
p
ble
oin
tiers
ts
d'un
de
et
un
hez
,
.

est
?
les
dire
.
une
On
fonction

de
t
l'ensem
.
ble
est
et
est
ble
ec
ensem
d'ensem
un
ensem
Soit
?
dans
de

nis
.
our
Conform?men
son
t
parties.
?
artie
l'usage
de
en
ble
mati?re
t
de
alors
suites,
tiers
si
ble
duit
Ensem
est
ble
un
fonction
pro
Soien
-uple,
On
on
de
note
a

oin
uples,
d'un
(au
donc
lieu
fonctions
de
de
T
l'on
.
donc
vide

fonction
Soit
)
note
l'image
de
de
bre
l'en
un
tier
sur
la
d.
et
en
on
de
?crit
M?tho
el?e
supp
app
On
,
ble
dans
que
vide
Une
ble
de
l'ensem
sous-ensem
de
,
fonction
un
une
t
t
ts
exactemen
ts
a
on
.
t
Un
note
y
des
-uple
parties
est
l'ensem
donc
d'en

de
un
el?s
ensem
fonctions.
ble
les
?
applic
il
synon
?l?men
app
ts
ensem
sauf
en
que
des
les
dans
?l?men
que
ts
que
son
de
t
de
num?r
fonction
ot?s
?l?men
et
ble
p
l'ensem
euv
ble
en
On
t
relations,
appara?tre
A
plusieurs
notation
fois.
t
On
on
note
de
ble
les
ensem
.
l'ensem
ble
ble
est
des
ni.
tout
tions
-uples
ar
d'?l?men
,
ts
le
de
ts
our
V
.
nom
Un



ouple
Rappels
est
ensem
un
Duno
p
;
-uple.
V?lu,
Dans

le
math?matiques


o?

que
inspir?es
t
Ces
vien
.
il
Ensem
y
des
a
Soit
exactemen
un
t
ble.
un
p

tels
On
tiers
;
un
uple
ble
vide
en
,

qui
dire
est
ensem
la
don
fonction
tous
vide
?l?men
de
son
vide.
?l?men

de
F
;
.
?crit
our
et
dans
Soien
p
On
.
naturels.
P
en
ar
l'ensem

des
t
de
particulier
:
en
note
est
tiers.
un
bles
singleton.
.
Soien
oints
t
les
,
Ensem
et
des
tier
Dans
deux
notes,
ensem
termes
bles.
et
Le
ation
pr
t
o
ymes.
duit
t

et
art?sien
deux
de
bles.
en
note
et
souv
tout
ble
not?
fonctions
our
t
p
son
tiers
Remar
est
On
l'ensem
vu
ble
un
des
-uple

p
d'?l?men
ts
ts
ensem
de
une
en
de
t
ts
exactemen
Les
don
dans
t
,
le
que
premier
note
?l?men
l'ensem
t
des
appartien
de
t
naturels.
?
d'en
t
dans
et
.
le
v

la
?
que
tien
vien
:
d'in

duire
ble
a
l'ensem
fonctions,
que
bles,
fait
notions
le
ue
ec
ose
v
Cardinal
a
ensem

ni.
est
supp
tion
un
en
ble
v
On

On
Cette
a
vide.

tel
dinal
que
not
est

alors
dire
si
nom
que
d'?l?men
t
de
vien
.


On

:
bre
Dans
r?sultats
le
us

les
o?
:
et
t
tre
et
en
deux
on
bles
a
et
large
un
sens
tier
au



tiers

en
,
.
l'informatique
Plus
p
g?n?ralemen
des
t
;
des
:
ble
du
l'ensem
ort
t
du
simplemen
t
plus
notes
ou
note
-uple,
1
lenn|X | =|X|
|X|| (X)| = 2P
X Y
0n n = 1
XY X Y
X2 X
X
X {0,1}
n
n nP
n = 0
n = 0
n nX Y
x = 0, x = 1,i i
i=1 i=1
n n[ \
x =∅, x =X.i i
i=1 i=1
P(X) X

de
l'in
la
vides,
derni?re
l'addition
?quation
exemple
on
toutefois
trouv
par
e
Dans
souv
l'?l?men
en
justie
t
p
la
tion
notation
d?nie
t
ersion
son
le
p
ble
our
est
l'ensem
l'op
ble
quand
des
).
parties
tier
de
en
?quations
vide
.
Dans
On
ose
v
?ration
erra
la
plus
-aire
loin
d?not?e
que
des


?quation
our
se
en
justie
de
par
neutre
le
:
fait
p
qu'une
notation
partie
premi?re
de
son
Ces
on
est
tout

arithm?tique
t

d?termin?e
adoptan
par
la
sa
v
fonction


on
ar

act?ristique
notre
qui
;
est
exemple
une
v
fonction
fonctions
de
de
.
est
dans
par

signe
;
.

le
.
o?
vraies,
l'ensem
,
la
un
v
ensem
tion
ble
toujours
?
prendre
deux
t
?l?men
de
ts.
?ration
Op
par
?rations
si
dans

-aire.
alors
y
la

?quation
?
La
que
Remar
un
et/ou
ble
t
2
a
binaire
gr?ce
asso
en

our
e,
que
par
tion
exemple
v
l'addition,
la
on
t
d?nit
(en
en
fonction
g?n?ral
sur
une
en
notation

p
le
our
de
la
tersection
v
supp
ersion
que
de
est
-aire
sur
de
?
l'op
?tan
o?
t
est
donn?e
ensem
une
x?.
op
?rationX x y
X z x y
z x y z≥x z≥y
z x y u u≥x u≥y u≥z
x y ≥ ≤
X X
x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z)
x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z)
N p n q
n = pq
0 1
X X
X
X
{∅,{1},{2},{3},{1,2,3}}
X
x y x∨y x∧y
x∨y =
y∨x (x∨y)∨z =x∨(y∨z)
d?nition
de
orne
si
et
admet
treillis
une
b
b
et
orne
p
inf?rieure
tiers)
et
n'est
une
d?sormais
b
es
orne
sup
sup
?l?men
?rieure
des
on
grand
dit
et
que
est
et
un
est
et
un
)
treillis
op
.
p
Si
:
de
r?union
plus
tersection.
la
lui-m?me,
b
ble
orne
.
sup
n'a
?rieure
ble
distribue
t
sur
orne
la
a
b
our
orne
Prop
inf?rieure
alors
et
(ou

;
quemen
(ou
t,
b

inf?rieure
?
es
dire
,
si
?
l'on
joran
a
b
:
est
de
la
e
est
?rieur
plus
sup
est
orne
le
b
est
la
L'ensem
est
nies
que
?galemen
dit
mais
On
de
.
t.
de
bles
ts
par
?l?men
en
deux
de
,
la
et
m?me
ordonn?
.
ble
treillis
ensem
mais
un
distributif.
Soit
Soit
treillis.
On
inf?rieure,

et
sup
?rieure
de
sup
est
orne
la
b
dire
ordonn?s,
;
bles

Ensem
sup
Treillis
b
1.1
t
ol?en

o
asso
b
est
alors
tout
le
:
treillis
,
est
de
dit
etit
distributif
la
.
orne
Exemple.
?rieure
L'ensem
la
ble
et
Calcul
b
des
inf?rieure
en
l'in
tiers
Le
naturels
grand
ordonn?
t
par
1.1
la
et
relation
plus

etit
divise
l'ensem

vide.
(
ble
1
parties
divise
de
Chapitre
est
ts
t
un
3
distributif,
existe
il
d'?l?men
pas
tel
plus
que
?l?men
paire
L'ensem
toute
(d'ensem
Si
d'en
)
:
)

est
rempla?an
un
ma
treillis
jore
:
inf?rieure
la
b
b
de
orne
la
inf?rieure
de
est
On
le
et

un
et
p
la

b
il
orne
pas
sup
1.2
?rieure
osition
est
,
le
treillis.
pp
a

:
;
la
le
orne
plus
?rieure
grand
inf?rieure)
?l?men

distributif
alors
est
unique
treillis
on
et
notera
le
?
plus
et
p
et
etit

est
;
reillis,
la
.
orne
Est-il
?rieure
distributif
la
?
orne
Si
son
(T
des
est
?rations
une
utativ
ensem
et
ble,

l'ensem
:
ble
si
des
le
parties
our
de
et
D?nition
dire
ordonn?

par
plus

p
est
t
un
ma
treillis
distributif
t
;
si
ilX ⊤ 1
x∧⊤ =x x
x∨⊤ =⊤ x
X ⊥ 0
G +
G 0 x G
−x
A + A
+ +
x(y +z) =xy +xz.
1
B x B
y
x∨y =⊤
x∧y =⊥
B
N
{0,1}
X X
X
X X X
cB x B x
x y B
c c(x ) =x
c c c(x∨y) =x ∧y
c c c(x∧y) =x ∨y
A A
xx =x
x A
distributif,
un
),
ensem
de
ble
:
neutre
alg?bre
m
absorban
uni

d'une
ensem
op
on
?ration
inf?rieure.
est
ole

l'alg?bre
m
b
utativ
?l?men
e,
une
asso
ble

ole
e,
des
admettan
l'ensem
t
partie
un
ni).
?l?men
t
t
Morgan)
neutre
orne
dans
p
t
(Anneau
not?
un
?l?men
our
et
oup
telle
ole.
que
d?j?
tout
es,
?l?men
une
t
le
grand

de
Group
plus
En
a
nies
un
de
opp
orne
os?
le
le
une
existe,
taire
.
On
L'?l?men
osition
t
et
neutre
sup
s'il
p
existe
(not?
est
la
unique,
orne
de
Soit
m?me
dit
p
ole
our
idemp
l'opp

os?.

Un
Un
anne
de
au
anneaux.

On
ommutatif
que
est
parties
un
un
ensem
?galemen
ble
de
S'il
d?nissan
m
taire
uni
P
d'une
l'ensem
op
nies
?ration
pas
d'addition
Bo
texte.

telle
des
que


une
est
ole
un
onie
group
une
e
don

taire
utatif
la
p
de
our
le
le
tout
et
est
d'une
notera
op
1.4
?ration
de
de
our
m
?rieure
ultiplication
Bo
asso
a

la
e,
est

ou
utativ
?l?men
e
un
et
m?me
distributiv
our
e
1.5
sur
Bo
selon
un
:
unitaire.
ou
p
notera
de
le
tous
on
son
;
ts
unique
m
est
dire

(
alors
e
t,
gr
?l?men
est
grand
alg?bre
plus
Bo
Si
Soit
la
un
m
ble.
ultiplication
a
admet
vu
un
l'ensem
?l?men
des
t
de
neutre,
est
not?
treillis
un

,
t
l'anneau
alg?bre
est
Bo
dit
en
unitair
t
e

.

1.2
l'imagine.
Alg?bre
ar
de
tre
Boole
ble
1.3
parties
D?nition
de
(alg?bre
n'est
de
une
Bo
de
ole)
ole.
Soit
rev
a
he
un
ble
treillis
parties
distributif
ou
a
de
v
est
ec
alg?bre
plus
Bo
grand
(une
et

plus
de
p
est
etit
partie
?l?men
b
t.
t
Supp

osons
est
que
Si
tout
est
?l?men
alg?bre
t
Bo
si
alors
de


de
est
?l?men
?lien
our
de
p
4
unique.
taire
le
?rieure
t
v
.
?rian
Prop
t
(Loi
:
de
sup
P
orne
tout
b
et
la
dans
our
de
p
ole
t
on
absorban
:
et
b
)
our
On
neutre
dit

alors
p
que
our
tout
t
est
etit
une
plus
alg?bre
a
ou
si
ab
De
).
our
tout
ou
p
un
inf?rieure
treillis
D?nition
de
de
Bo
ole)
ole
(
.
anneau
Exemple.
utatif
L'ensem
On
ble
que
ommutatif
est
ordonn?
anneau
par
Bo

si
divise
ses

ts
n'est
t
pas
oten
une
p
alg?bre
la
de
ultiplication,
Bo
?
ole.
si
L'ensem
our
ble
ordonn?
de
p
Bo
tout
ole
dans
a
.
un
{0,1} 0+0 = 1+1 = 0 1+0 = 0+1 = 1
Z/2Z
X
0 1
A
x A x x x+x = 0 x(1+x) = 0
x
2 2x+x = 0 (1+x) (1+x) = 1+x
2 2(1 + x) = 1 + x + x + x = 1 + x + x + x
1+x = 1+x+x+x 1+x 0 =x+x
x≤y A
x≤y x =xy.
≤ A
x∨y =x+y+xy x∧y =xy x∨y x
cy x∧y A x = 1+x
A x y
x≤ 1+y xy = 0.
B B
cx+y = (x∨y)∧(x∧y)
xy =x∧y
c c
x+y = (x∨y)∧(x ∨y )
c c= (x∧y )∨(y∧x )
B
m
seul
.
mais
tiers
en
main
d?v
l'on
eloppan
que
t
tous
(puisque
de
la
t
m
Bo
ultiplication
en
distribue
donn?
sur
Bo
l'addition)
our
on
ole.
a
a
le


Morgan
et
ble
de
idemp
nom
?rations
le
b
sous
Le
u
la

Dans
aussi
on
est
Pr
anneau
our
Cet
une
ole.
op
Bo
tersection
de
ar
anneau
dire
un
Remar
est
les
naturelle
on
mani?re
l'opp
la
osition
de
des
,

donc
Muni
ultiplication
ole
m
bien
la
inf?rieure
et
est
,
taire
et
prenan
:
que
par
Prop
l'addition
anneau
t
mon
d?nissan
p
et
et
en
sym?trique
a
p
joutan
et
t
t
l'opp
de
os?
d?nit
de
d'addition
en
ultiplication
ble
p
L'ensem
t
de
.

P
haque


tre
on
En
obtien
v
t
de
Exemple.
la
:
oit
ole
:
Bo
l'ensem
de
our
.
1.6
On
anneau
d?nit
t.
une
tier
relation
en
anneau
1.9
un

pas
de
sur

n'est
est
par
la
:
orne
usuelles
et
ultiplication
en
m
distributif.
ssi

la
est
et
par
l'addition
t
ec
di?rence
v
tre
1.7
1.8
Th?or?me
osition
La
un
relation
de
a
ole
ainsi
,
d?nie
a
est
our
une
On
relation
euve.
d'ordre.
.
Muni
tout
de
ssi

p
relation,
l'addition
l'anneau
Soit
de
tenan
Bo
l'in
ole
alg?bre
naturels
Bo
indi?remmen
On
anneau
deux
est
?rations
anneau
et
Bo
m
Une
sur
de
:
ole
our
eut
on
d?nit

de
P
Bo
la
ole
ultiplication.
qui
ar
soit
?
?galemen
,
t
est
un
de
a
que
on
jouan
et
a

ec
idemp
lois
ar
de
P
et
.
distributivit?,

v
.
que
On
a
p
os?
eut
,
alors
dans
v
tout
?rier
P
que
Prop
L'ensem
ole.
ble
de
des
un
est
Soit
bien
oten
la
n'est
b
en
orne
,
sup
et
?rieure
sauf
de
Th?or?me
parties
de
et
op
de
l'alg?bre
,
Bo
que
t
?tre
un

de
treillis
ole.
Bo
alg?bre
ou
Bo
anneau
p
Bo
donc
5
t
est
vue
une
un
alg?bre
de
de
ole
Bo
un
ole.
de
Pr
ole.
euve.
OnX Y ϕ :X 7!Y ψ :Y 7!X
′ ′ϕ(x)≤ ϕ(x ) x≤ xY X
′ ′ψ(y)≤ ψ(y ) y≤ yX Y
A X X A
X
B X B (X)P
X
B b ∈B B b B B0 0 0 0
⊥ b0
cb b ∧b0
B ={b∈B b≤b }.0 0
B B B b ⊥0 0 0
′ ′b b B b∧b B b0 0
′ ′ ′ ′b b≤b b ≤ b b∨b ≤b b∨b B0 0 0 0
′b b B0
B B B B0 0
′ cb∈B b =b ∧b B0 0 0
′ ′b ≤b b ∈B0 0
′ cb∧b =b∧(b ∧b ) =⊥∧b =⊥0 0
′ c cb∨b =b∨(b ∧b ) = (b∨b )∧(b∨b ) =⊤∧b b≤b ⊤0 0 0 0
′B ⊤∧b =b b∨b =b B0 0 0 0
B0
B B B
a ⊥
B a∈B
a =⊥
x∈B ⊥≤x≤a x =⊥ x =a
B B
B ⊥ ⊤

B b ⊥0
⊤ B b B0 0 0
Notons
,
de
un
une
est
?l?men
est
plus
ordonn?
tien
;
tre
son
ourquoi
plus
une
grand
uni
?l?men
deux
t
tel
est
d'applications
Comme
le
que
de
et
soit
le
de
plus
:
p
t
etit
grand
est
preserv
tel
atomique
.
qui
Soien
.
t
in
a
est
et
th?or?me
on
p
d?nition
est
deux
est
?l?men

ts
de
de
de
ar
a
P
,
.
?
On
de
v
un
?rie
etit
tr?s


ole.
t
Bo
que
moins.
euve.
dire
Pr
un
.
de
est
app
est
ar
la
un
b
:
orne
p
inf?rieure
ordonn?s
dans
Un
t
tre
?l?men
ts
de
un
d'un
seul
et
ec
taire


est
.
main
De
plus
plus
?l?men

t
le
ble
laquelle
t,
dans
,
et
de
et
Th?or?me
est
ssi
grand
telles
plus
est
le
?l?men
,
l'ordre,
on
est
a
distributif,
est
plus
t
d'un
?l?men
t
etit
:
p
de
plus
Lemme
le
alg?bre
;
nie
on
ts
en
et
d?duit

que
l'autre
t
au
don
t
ole
un
Bo
;
est
t
la
un
b
euve.
orne
un
sup
est
?rieure
t
dans
tel
de
et
alg?bre
;
de
tout
une
,
et
ensem
est
en
Alors
utile.
.
On
L'ensem

ble
bre
.
etit
dans
atomique.
est
que
donc
alors
un
tre
treillis.
t
Comme
il
de
.
est
particulier
distributif
que
et
atome

Supp
les
t
ts

sous-ensem
deux
ts
une
nir
de
di?ren
ole.
et
?rieure
v
dans
ble
minoran
minoran
de
D'apr?s
des
th?or?me
son
t
t
ole

on
de
Bo
ble
alg?bre
,
Soit
on
1.10
v
donc
oit
ssi
que
que
l'ensem
dire
note
qui
est
le
?galemen
grand
t
t
distributif.

Finalemen
.
t
an
si
donc
on
treillis
;
m
et
d'un
ole
p
mon
et
trons
plus
que
?l?men
Bo
et
de
t?
alg?bre

une
alg?bre
Soit
Bo
Lemme
1.13
1.12
Soit
lemmes.
une
est
de
son
ole

?
taire
?l?men
dans
au
quelques
Alors
?tablir
est
:
,

?
tout
que
d'ab

ord
t
il
moins
est
?l?men

de
que
est
a

v
l'une
on
un
th?or?me
?l?men
le
est
donc
el?
er
atome
prouv
Pr
de
P
t
d?nition
an
atome
;
erse

donc
on
?l?men
a
v
v
,
A
que
.

de6
parties
paire
des

ble
our
l'ensem
une
,
et
?
si
isomorphe
bles
est
deux
que
alors
tel
isomorphisme
ni
ou
ble
tr?s
ensem
.
un
mon
existe
par
Il
sur
.
nom
;
d'?l?men

de
de
que
m?me
est
nie
Si
ole
n'a
Bo
deux
de
ts,
alg?bre
un
une
d'en
Soit
eux
ni)
di?ren
(Stone
de
Th?or?me
:
1.11
s'agit
Stone
v
de
Dans
Th?or?me

1.3
il
ole.

Bo
a
de
un
alg?bre
(p
une
?).
t
osons
?galemen
tenan
est
que
alors
a
,
t
et
que
tre
?l?men
en
et
d'ordre

isomorphisme
un
un
t
existe
t
S'il
a

di?ren
ordonn?.
de
ble
.
ensem
On
un
l'ensem
.
des
Comme
ts
et
Isomorphismes.
est
.
le
le
plus
pr?c?den
grand
?l?men
b
est
ornes
alg?bre
inf?rieure
Bo
et
6
sup

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