Cours Mathématiques - Série ES/S : Les fonctions

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Fiche de révision Mathématiques : Les fonctions
Quelles sont les limites, dérivation et les continuité d'une fonction ?

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• Publié par: Studyrama
• Publié le: 26 février 2014
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Nº : 32002

Plan de la fiche

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

I -Limites, comportement asymptotique
II -Dérivation
III -Continuité

I - Limites, comportement asymptotique

Série S

Définitions
Une fonctionfa pour limite+ ∞en+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite+ ∞en− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
suffisamment grande.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
− ∞x∞→ −
Une fonctionfa pour limite− ∞en+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf= −∞oulimf(x)∞= −.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite− ∞en− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue
suffisamment grande.
On notelimf= −∞oulimf(x)= −∞.
− ∞x→ −∞
Une fonctionfa pour limite un réelen+ ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à droite ;
• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande.
On notelimf=oulimf(x)=.
+ ∞x→ + ∞
Une fonctionfa pour limite un réelen− ∞lorsque :
• la fonctionfest définie sur un intervalle illimité à gauche ;
• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur
absolue suffisamment grande.
On notelimf=oulimf(x)=.
− ∞x∞→ −
Une fonctionfa pour limite+ ∞en a réel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;
• tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf∞= +oulimf(x)= +∞.
ax→a
Une fonctionfa pour limite− ∞en a réel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;
• tout intervalle illimité à gauche contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf= −∞oulimf(x)= −∞.
ax→a
Une fonctionfa pour limite un réelenaréel lorsque :
• la fonctionfest définie soit sur un intervalle qui contientaun intervalle ouvert dont, soit suraest une borne ;

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Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

• tout intervalle ouvert contenantcontient aussi les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment proche dea.
On notelimf=oulimf(x)=.
a x→a

Asymptotes
• Asymptote horizontale : lorsquelimf=oulimf=(réel), la courbe représentative defadmet la droite d’équationy =
+ ∞− ∞
pour asymptote horizontale.
• Asymptote verticale : lorsquelimf∞= +oulimf∞= −(aréel), la courbe représentative defadmet la droite d’équationx = a
a
a
pour asymptote verticale.
• Asymptote oblique : lorsquelim(f(x)−(αx+ β))=0 oulim(f(x)−(αx+β))=0courbe représentative de, la fadmet la
x∞→ −
x→ +∞
droite d’équationy = αx + βpour asymptote oblique.

« Montrer qu’une droite est une asymptote oblique »,Méthode :fiche exercices n°2 « Les fonctions ».

Limites et opérations
La lettreadésigne soit un réel,soit+ ∞, soit− ∞lettres. Leset’ désignent des réels.

Somme
• Silimf=etlim g='alorslim(f+g)=+'.
a
a a
• Silimf=etlim g∞= +alorslim(f+g)= +∞.
a aa
• Silimf=betlim g= −∞alorslim(f+g)= −∞.
a aa
• Silimf∞= +etlim g= +∞alorslim(f+g)= +∞.
a aa
• Silimf= −∞etlim g= −∞alorslim(f+g)= −∞.
a aa
Produit
• Silimf=etlim g='alorslim(fg)= '.
a aa
• Silimf=>0etlim g= +∞alorslim(fg)= +∞.
a aa
• Silimf=>0etlim g∞= −alorslim(fg)∞= −.
a
a a
• Silimf=>0etlim g= +∞alorslim(fg)∞= −.
a a
a
• Silimf=>0etlim g∞= −alorslim(fg)= +∞.
a aa
• Silimf= +∞etlim g= +∞alorslim(fg)∞= +.
a
a a
• Silimf= +∞etlim g= −∞alorslim(fg)= −∞.
a a
a
• Silimf= −∞etlim g= −∞alorslim(fg)∞= +.
a
a a
Inverse
1 1
=
• Silim get≠ 0alors= lim=.
a
a
g
1
=
• Si0lim getg > 0alors= lim∞= +.
a
a
g
1
=
• Si0lim getg < 0alors= lim= −∞.
a
a
g
1
Silim g∞= −alo
• rs= lim=.
0
a
a
g
1
= +∞
• Silim galors= lim=0.
a
a
g

Il est essentiel de garder à l’esprit que ces théorèmes sont des conditions suffisantes.Les cas non envisagés sont
des « formes indéterminées » qui demandent à être étudiées cas par cas.

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Nº : 32002

Pour déterminer des limites

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

► ÀSAVOIRFONCTIONS DE RÉFÉRENCE
nest un entier strictement positif.
n1
•lim x∞= +;lim x= +∞;lim=0;
n
x→ + ∞x→ + ∞x→ + ∞
x
1 111
n
•lim x=0;lim x=0;lim∞= +;lim∞= +;lim= +∞;lim= −∞;
n 2n2 n−1
x→0 x→0 x→0, x>0 x→0 x→0, x<0x→0, x<0
x xx
x
sin x
•lim=1;
x→0
x

A propos des notations :
1
•lim∞= +signifie que c’est la fonction
n
x→0, x>0
x


]0,+ ∞[→ ;

1
x

n
x
qui a pour limite+ ∞lorsque la variable tend vers zéro.
1
•lim= +∞signifie que c’est la fonction
2 n
x→0, x<0
x


]− ∞,0[→;

1
x

2 n
x
qui a pour limite+ ∞lorsque la variable tend vers zéro.

Méthode :« Calculer des limites »,fiche exercices n°2 « Les fonctions ».

Théorèmes de comparaison
La lettre a désigne soit un réel,soit+ ∞, soit− ∞. Leslettres et désignentLes lettresdes réels.f,g,u etvdes désignent
fonctions.

• Sif≤ gau voisinage deaet silimf= +∞alorslim g∞= +.
a a
• Sif≥ gau voisinage deaet silimf= −∞alorslim g∞= −.
a a
• Siu ≤f≤ vau voisinage deaet silim u=etlim v=alorslimf=(théorème des gendarmes).
a aa
• Sif≤ gau voisinage deaet silimf=etlim g='alors≤.

a a

Limite d’une fonction composée
Chacune des lettresa,etdésigne un réel,+ ∞ou− ∞lettres. Lesuetvdésignent des fonctions.
Silim u=etlim v='alorslim vu='.
a
a

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

Nº : 32002

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Série S

Exemples :
a)lim(1−x)∞= +etlim t∞= +entraînentlim 1−x= +∞.
x→ −∞t→ + ∞x→ + ∞
1
sin
1sin t1 1
x
b)lim=0etlim=1entraînentlim xsin=1carx sin=pourx > 0.
1
x→ + ∞→0x→ + ∞
xtx x
x

Fonctions et suites
• Silimf=alorslim(f(n))n.
=
+ ∞
=etlimf=a=
• Silim(un)nalorslim(f(un))n.
a

Exemples :
11
a) La suiten sinconverge vers1carlim xsin=1l’exercice précédent., d’après
x→ + ∞
n x
 n>0
1
sin
1sin x
n
 
b) La suite converge vers0et la fonctionxa pour limite1en0. Il enrésulte que la suite
1
nn>0x 
 
1.nn>0
converge vers
On retrouve le résultat ci-dessus.

II - Continuité

Définitions
• Une fonctionfdéfinie sur un intervalleIest continue enaappartenant àIlorsquelimf=f(a).
a
• Elle est continue sur l’intervalleIlorsqu’elle est continue en tout point deI.

Propriétés
• Toutefonction usuelle est continue sur tout intervalle sur lequel elle est définie.
• Une somme, un produit de fonctions continues surIest une fonction continueI. L’inversed’une fonction continue surIet qui
ne s’annule pas surIest continu surI.

Théorème des valeurs intermédiaires
Soitfune fonction continue sur un intervalleIet deux réelsaetbappartenant àIet tels quea < b. Pourtout réelkcompris entre
f(a)etf(b), il existeun réelccompris en