Cours Mathématiques - Série ES/S : Probabilités

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Fiche de révision Mathématiques : Probabilités

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• Publié par: Studyrama
• Publié le: 26 février 2014
• Nombre de lectures: 182
• Langue: Français

Extrait

Nº : 32010

Plan de la fiche

I - Les parties d’un ensembleE
II - Probabilité
III - Probabilité conditionnelle
IV -Variable aléatoire
V - Lois discrètes usuelles
VI - Loi continue

I - Les parties d’un ensemble E

Fiche Cours

Opérations sur les parties d’un ensemble

MATHEMATIQUES

∩ =∅
A∪B A∩BB A

Partition
Les partiesA,A, …,Aconstituent une partition deEsi elles sont non vides, deux à deux disjointes et si leur réunion est égale
1 2n
àE.

Exemple
Dans un jeu de trente deux cartes :pique, cœur, carreau, trèfleest une partition car il n’existe pas de carte qui soit
à la fois pique et cœur,pique et carreau… Ces ensembles sont bien deux à deux disjoints ;si on réunit ces quatre
ensembles, onobtient le jeu de trente deux cartes.
Une autre partition du jeu de cartes et de considérer les huit hauteurs :sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi, as.

► ÀSAVOIR
Les événements

SoitE ={x1, x2,....., xk}l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
• On appelle événement toute partieAdeE.
• Un événement noté{xi}réduit à un seul élément est un événement élémentaire.
•∅désigne l’événement impossible.
•Edésigne l’événement certain.
•Adésigne le contraire deA.
•A∩Bsignifie que les deux événementsAetBsont réalisés simultanément.
•A∪Bsignifie que l’un au moins des deux événementsA,Best réalisé.

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Fiche téléch

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Nº : 32010

II - Probabilité

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Loi de probabilité
Lorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues,on définit sur l’ensembleE ={x1, x2,..., xk}(appelé aussi univers)
i=k
1 2k 12 k ∑
une loi de probabilité en se donnant des nombresP,P, …,Prespectivement associés àx,x, …,xque. telsPi≥ 0etPi=1.
i=1
Equiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité d’apparition.

Exemple
a) Tirerune carte au hasard dans un jeu de 32.Le groupe de mots « auhasard » nous indique l’équiprobabilité :chaque
carte a la même probabilité 1/32 d’être tirée.
Dans ce cas,pour tout événementA:
nombre d'éléments deAnombre de cas favorables
P(A)= =
nombre d'éléments deEnombre de cas possibles
b) Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés. Un client prend deux cartons au hasard. Quelle
est la probabilité que ce client soit mécontent ?
Il suffit de dénombrer les cas possibles et les cas favorables.
L’ordre dans lequel il choisit ses cartons n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles (il prend deux
cartons obligatoirement distincts).
n
Donc on dénombrera avec.
 
p
 

Méthode :« Calculer une probabilité simple »,fiche exercices n°10 « Probabilités ».

► ÀSAVOIR
Opérations sur les probabilités

•0≤P(A)≤1
•P(∅)= 0
•P(E) = 1
( )
•P A = 1 – P(A)
•P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
• Dans le cas particulier oùAetBsont disjoints(A∩B= ∅):P(A∪B)=P(A)+P(B).

Exemple
On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32.Calculer la probabilité d’obtenir trois rois ou une
dame.
La solution sera de la forme :
P 3∪1=P 3+P(1ame)−P((rois)∩(dame))
(( )( ))( )
rois damerois d3 1.

fiche exercices n°10 « Probabilités ».« Opérations sur les événements et probabilité »,Méthode :

III - Probabilité conditionnelle

Formule des probabilités conditionnelles
SoitAun événement de l’ensembleE, tel queP(A) ≠ 0.
P(A∩B)
On appelle probabilité conditionnelle deBsachant queAest réalisé le nombrePA(B)=P(B A)=.
P(A)

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Fiche téléch

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Nº : 32010

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

Exemple
On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32.
Calculer la probabilité pour qu’une main contenant le roi de pique contienne également la dame de pique.
Attention à l’énoncé :« une main contenant le roi de pique ».
Il s’agit de calculer la probabilité qu’une main contienne la dame de pique sachant qu’elle contient déjà le roi de
pique.
C’est-à-direP(Dp / Rp)oùDpdésigne l’événement « tirer la dame de pique » etRpdésigne l’événement« tirer le
roi de pique ».
P(Dp∩Rp)
P(Dp / Rp)=.
P(Rp)

« Calcul d’une probabilité conditionnelle »,Méthode :fiche exercices n°10 « Probabilités ».
« Reconnaître une probabilité conditionnelle »,Méthode :fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Probabilités composées
AetBsont deux événements quelconques
P(A∩B)=P(A B)×P(B)=P(B A)×P(A).

« Probabilités composées »,Méthode :fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Probabilités totales
SoitA,A, …,Ades événements de probabilité non nulle,réalisant une partition de l’universE.
1 2n
Alors, pourtout événementB:P(B)=P(B A1)×P(A1)+P(B A2)×P(A2)+....+P(B An)×P(An).
{ }
Un cas particulier important est celui où la partition se réduit àA, A.
( )( )( )( )( )
La formule devient :P B=/ AP B×P A+/ AP B×P A .

Méthode :« Utiliser la formule des probabilités totales »,fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Indépendance
On dit que deux événementsA etBsont indépendants lorsqueP(A∩B)=P(A)×P(B).

IV - Variable aléatoire

Définir une variable aléatoire
Une variable aléatoireXest une fonction deEdans .

Exemples
• Quand on compte les points aux cartes (à chaque carte on associe un nombre).
• Quand on jette deux dés :à chaque jet,on associe la somme des chiffres apparus sur les faces supérieures.

Loi de probabilité d’une variable aléatoire
L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireXest noté{x1, x2,..., xk}avec les probabilités respectivesp1, p2,..., pkdéfinies
parpi=P(X=xi).
Donner la loi de probabilité deX,c’est donner la valeur de chaquep.
i

Fonction de répartition
La fonction de répartition deXest notée Fet définie parFX(x)=P(X≤x).
X

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Nº : 32010

Fiche Cours

MATHEMATIQUES

► ÀSAVOIR
Espérance mathématique,variance, écart type
Espérance mathématique
i=k
L’ espérance mathématique deXest le nombre notéE(X)=xi×pi(cette notion correspond à celle de moyenne
∑
i=1
arithmétique).
Variance
La variance deXest le nombre réel positif notéV(X).
i=k i=k
 
2 2
2
( )i( )i(i)i(( ))
V X=x−E X×p=x×p−E X.
∑( )∑
i=1i=1
Ecart-type
L’écart-type est le nombreσX=V(X).

Propriétés de l’espérance,de la variance,de l’écart type
•E(aX)=aE(X);E(X+b)=E(X)+b;
2
•V(aX)=a V(X);V(X+b)=V(X);
•σ =aσX;σ =σX.
(aX)(X+b)

fiche exercices n°10 « Probabilités ».« Etude d’une variable aléatoire discrète »,Méthode :

V - Lois discrètes usuelles

Loi de Bernoulli
On considère une épreuve aléatoire à deux issues contraires (épreuve de Bernoulli) notéesS(pour succès) de probabilitépetE
(pour échec) de probabilité1 – p.
Xest la variable aléatoire à valeurs dans{0,1}définie ainsi :
•X = 0si l’issue de l’épreuve estE;
•X = 1si l’issue de l’