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Application de la th´eorie des∗ondelettesVal´erie PerrierLaboratoire de Mod´elisation et Calcul de l’IMAGInstitut National Polytechnique de GrenobleValerie.Perrier@imag.fr∗Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images num´eriques, Tunis,ENIT, 14-18 mars 20050-0D´ebruitage par ondelettes orthogonalesR´ef´erences : articles de Donoho et JohnstoneMesures bruit´ees :X[n] =f[n]+W[n], n = 0,N −1X : donn´ees mesur´ees,f : signal (inconnu) de taille N contamin´e par le bruitW : bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d’´ecart type σ.˜L’objectif est de construire un estimateur F =D(X) de f minimisant lerisque :N−1n o n oX2 2˜ ˜r(D,f) =E kf −Fk = E |f[n]−F[n]|n=0Estimateurs non lin´eaires sur basesN NSoit B ={g ∈R ; k = 0,N −1} une base orthonorm´ee deR . Onkd´ecompose les donn´ees sur B :N−1XX[n] = g [n]k kk=0et les produits scalaires v´erifient := +k k kRemarques :2• () est ´egalement un bruit blanc gaussien de variance σk(car B est orthonorm´ee).2 2• E{} =|| +σk kOp´erateurs diagonauxUn op´erateur diagonal D dans la base B conduit `a un estimateur de laforme :N−1X˜F =DX = d () gk k kk=0ou` les d sont des fonctions d’att´enuation des coefficients bruit´es.kEstimateur id´eal (i.e. qui minimise le risque r(D,f))N−1X˜F =DX = θ(k) gk kk=0avec8<1 si ||≥σkθ(k) =:0 si ||<σkDans ce cas, l’op´erateur D est un ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Applicationdelathe´oriedes ondelettes
Vale´riePerrier
LaboratoiredeMod´elisationetCalculdelIMAG Institut National Polytechnique de Grenoble Valerie.Perrier@imag.fr
Enseignement UNESCOnsmuamegedislateques´eriduntgnsiaiTrmete, Tunis, ENIT, 1418 mars 2005
00
D´ebruitageparondelettesorthogonales
R´ef´erences:articlesdeDonohoetJohnstone Mesuresbruit´ees:
X[n] =f[n]+W[n],
n= 0, N1
Xsmesur´e:donn´ee,se f(inconnu) de taille: signal Nonctrbiurael´npeatim W:bruit blancendgeamussienenuoyendt´lleettpyceraσ.
˜ L’objectif est de construire unestimateurF=D(X)defminimisant le risque : N1 n o n o X 2 2 ˜ ˜ r(D, f) =EkfFk=E|f[n]F[n]| n=0
Estimateursnonlin´eairessurbases N N SoitB={gkR;k= 0, N1}ederm´etroeonohnusabeR. On d´ecomposelesdonn´eessurB:
N1 X X[n] =< X / gk> gk[n] k=0 etlesproduitsscalairesv´erient:
Remarques :
< X / gk>=/ g< f k>+/ g< W k>
2 (< W / gk>se´t)menegelaruittunbcgaublanvedneissecnairaσ (carBes´neohrom.rtet)o
2 2 E{/ g< X k>}=|< f / gk>|+σ
Op´erateursdiagonaux Unare´poagdiurtealonDdans la baseBaocdniu`taunestimateurdel forme : N1 X ˜ F=DX=dk(/ g< X k>)gk k=0 ou`lesdke´.surtitnbsciescoeondeuatine´ttadsnoitcnosfdentso
Estimateurid´eal(i.e.qui minimise le risquer(D, f))
N1 X ˜ F=DX=/ g< X k>θ(k)gk k=0 avec 8 < 1si|/ g< f k>| ≥σ θ(k) = : 0si|< f / gk>|< σ Danscecas,lop´erateurDnlno´einreai.tseponuare´ruet
Estimateurs par seuillage Un estimateur par seuillage dans la baseBnurdonn´epaestruetare´poD diagonal: N1 X ˜ F=DX=dk(< X / gk>)gk k=0 o`ulesdksont des fonctions de seuillage (Tun seuil): 8 < x si|x|> T(seuillage ”dur”) dk(x)=ρT(x) = : 0si|x| ≥T 8 ou bien xxT si T(seuillage ”doux”) > < dk(x)=ρT(x) =x+xT si ≤ −T > : 0si|x| ≤T Question: comment choisirTpour approcher le risque minimal de lestimateurid´eal? R´eponsechoix: le T=σ2 logN`aitriuncduon`etruesqerg`´esltneme e supe´rieur(th.deDonohoJonstone).
Seuillage dans une base d’ondelettes Onchoisitcommebase(casp´eriodique): j J B={ϕ, ψj,k; 0jJ1, k= 0,21}(N.2=at=leilsdden´ons)ee L’estimateur de seuillage sur base d’ondelettes est :
J J1 21 X X ˜ F=ρT(/ ϕ >< X )ϕ+ρT(/ ψ< X j,k>)ψj,k j=0k=0
2 Estimation de la varianceσdu bruitW:
Sifamitsenu,xuaecrormpaerligu´etresuc´l`eaetsectlauitrobusteurdubr partir de la´emandieneicdstsedeoclelachelnepluselttnoedle´sea`: J1N {< X / ψJ1,k>}c2 = k=0,21:2oefficients d’ondelettes des J1 donn´eesa`le´chellelaplusne.  Si/ ψ< f J1,k>est petit (fstetdepporuselrusreiluge´rψJ1,k), on a :/ ψ< X J1,k>< W / ψJ1,k>.  Si< f / ψJ1,k>spond`auelacorreratie´edenisgnluargtc,dnsef,
mais sifststr´ere`ilugeaecrom/edeeu,puxencieco< X / ψJ1,k> sontaect´es`alapluspetitee´chelle. 2 Donc< X / ψJ1,k>l´eableaariaunevcneraaideveosttrieσ.
J1 On calcule alorsσpar la formule (exacte dans le cas deP= 2 variablesal´eatoiresgaussiennesinde´pendantes,demoyennenulles,etde 2 varianceσ) : MX σ0,6745 ou`MXtlamesaned´ediocseicestne{< X / ψJ1,k>}k=0,21a` J1 le´chellelaplusne.
Exemple :f(x) =|cos 2πx|+bruit 10 (discre´tis´eesur1024=2valeurs)
−1
0
−3
−2
−5
−4
−7
−6
0.8
0.9
1
1
0.7
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−10 0
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
−1
0.2
0.1
0.9
0.7
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1
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1
1.1
1
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2
0.5
0.7
3
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1
−0.5
0
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1
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0
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0.2
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−1
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0.1
ExempledeprogrammeWaveLabded´ebruitage %Ge´n´erationdunsignaly n=1024;dx=1/n;x=(0:n1)/n; alpha=0.1 % rapport du bruit y=sqrt(abs(cos(2*pi*x))); ou y=MakeSignal(’PieceRegular’,n);
% y=y+alpha*randn(size(y)); % ajout d’un bruit gaussien plot(x,y)%tracedusignalbruit´e
%D´ebruitageparseuillage"dur"surbaseorthonormeeSymmlet4out=ThreshWave(y); plot(x,out)%tracedusignalde´bruite´
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