Etude expérimentale et numérique de modèle réduit bidimensionnel du creusement d'un tunnel. Développement

Dolzhenko Nataliya

Description

Outils numériques Partie IV SIMULATIONS NUMÉRIQUES 225 Outils numériques Chapitre VIII Simulations numériques des essais sous chargement simple 226 Outils numériques Table des matières I. OUTILS NUMÉRIQUES........................................................................................................................ 228 I.1. INTRODUCTION...................................................................................................................................... 228 I.2. DESCRIPTION DU CODE DE CALCUL FLAC............................................................................................. 228 I.2.1. Les différences finies. .................................................................................................................. 228 I.2.2. Schéma de résolution explicite.................................................................................................... 228 I.2.3. Equations générales......... 229 I.2.4. Passage du problème continu à la discrétisation........................................................................ 230 I.2.5. Elément d’interface.......... 231 II. SIMULATION NUMÉRIQUE DES ESSAIS SOUS CHARGEMENT SIMPLE ............................. 233 II.1. ESSAI BIAXIAL ....................................................... ...

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Outils numériques

         

 

 

                                       

                       

SIMULATIONS NUMÉRIQUES

 

 

225

Outils numériques

       

 

 

                                             

Chapitre VIII

                       

Simulations numériques des essais sous chargement simple

226

Outils numériques

       

       

I.

Table des matières

OUTILS NUMÉRIQUES........................................................................................................................ 228

I.1. I NTRODUCTION ...................................................................................................................................... 228 I.2. D ESCRIPTION DU CODE DE CALCUL FLAC............................................................................................. 228 I.2.1. Les différences finies. .................................................................................................................. 228 I.2.2. Schéma de résolution explicite. ................................................................................................... 228 I.2.3. .................................................................................................................... 229 générales Equations I.2.4. du problème continu à la discrétisation........................................................................ 230 Passage I.2.5. Elément d’interface ..................................................................................................................... 231

II.

SIMULATION NUMÉRIQUE DES ESSAIS SOUS CHARGEMENT SIMPLE ............................. 233

II.1. E SSAI BIAXIAL .................................................................................................................................. 233 II.1.1. Maillage utilisé et Interface ........................................................................................................ 233 II.1.2. Paramètres du modèle MMC ...................................................................................................... 233 II.1.3. Contraintes .................................................................................................................... 234 initiales II.1.4. Simulation de l’essai de compression isotrope............................................................................ 234 II.1.5. Application du déviateur ............................................................................................................. 234 II.1.6. Résultats des essais biaxiaux....................................................................................................... 235 II.2. E SSAIS OEDOMÉTRIQUES .................................................................................................................. 238 II.3. V RÉALISÉS SUR LE MATÉRIAU ANALOGIQUE PAR DALIDATION DU MODÈLE SUR DES ESSAIS ’ AUTRES CHERCHEURS ................................................................................................................................................... 239

III. INFLUENCE DES PARAMÈTRES DU MODÈLE MMC SUR LA SIMULATION DES ESSAIS D’IDENTIFICATION ...................................................................................................................................... 241

III.1. III.2. III.3.

IV.

                           

P ARAMÈTRES ÉLASTIQUES ................................................................................................................ 242 P ARAMÈTRES À LA RUPTURE ............................................................................................................. 243 S YNTHÈSE DES RÉSULTATS ............................................................................................................... 245

CONCLUSIONS...................................................................................................................................... 246

227

Outils numériques

I.

Outils numériques

I.1.Introduction   La modélisation numérique des géomatériaux est une étape indispensable pour le dimensionnement des ouvrages. Ces méthodes numériques fournissent les champs de déformation et des contraintes ainsi que les mécanismes de rupture. Le code de calcul FLAC 2D  dans nos modélisations est basé sur la méthode des utilisé différences finies. Les créateurs de ce code ont utilisé un concept appelé «méthode des éléments Lagrangiens». Il consiste en une application non traditionnelle de la méthode des différences finis explicites. (Billaux [1993]). Une courte description de cette méthode et du logiciel FLAC 2D est présentée au début de ce chapitre. La loi élastoplastique, nommée MMC, développée au cours de ce travail de thèse à été implantée dans le code de calcul FLAC 2D . Par la suite, toutes les simulations numériques présentées seront effectuées avec cette loi.

I.2.

Description du code de calcul FLAC.

I.2.1.Les différences finies.   La méthode de différences finies est l’une des plus anciennes méthodes de résolution numérique d’un système d’équations différentielles avec conditions initiales et, conditions aux limites (Desai & Christian [1977]). La plupart des méthodes utilisant cette technique adoptent une discrétisation du milieu en mailles rectangulaires exclusivement. L’approche en différences finies utilisée dans Flac est basée sur la méthode de Wilkins [1964] et permet de formuler les équations des différences finies pour des éléments de forme quelconque. On peut donner n’importe quelle forme aux limites et, faire varier les propriétés d’un élément à l’autre. De ce point de vue elle est donc aussi performante que la méthode des éléments finis, avec des éléments triangulaires à 3 nœuds. Dans la méthode des différences finies, toute dérivée présente dans le système d’équations est directement remplacée par une expression algébrique écrite en termes de variations en des lieux discrets de l’espace. Ces variables sont indéterminées partout ailleurs, contrairement aux éléments finis pour lesquels des fonctions de forme décrivent les variations (contraintes et déplacements) dans tout le massif.  

I.2.2.Schéma de résolution explicite.   La présentation de la méthode de résolution implantée à l’intérieur du code est limitée à son mode de fonctionnement. Le lecteur intéressé peut se reporter à Marti & Cundall [1982] qui décrit la procédure en détails. Basé sur le fait que dans la réalité, une partie de l’énergie de déformation accumulée par le système est convertie en énergie cinétique qui va se propager et se dissiper dans le matériau environnant, le schéma de résolution explicite intègre ce phénomène en prenant en compte les équations dynamiques du mouvement. Le déséquilibre induit en une zone va se propager dans l’ensemble du massif. L’objectif de la méthode aux éléments lagrangiens n’en reste pas moins la résolution d’un problème statique ou quasi-statique par l’intermédiaire de la dynamique.

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Le mode incrémental de résolution du système assure la stabilité du schéma numérique puisque, même si le système est instable à certains instants les chemins de contraintes et de déformations sont resp nce de calcul utilisée.

  Figure 1: Séquence de calcul générale (Billaux [1993]).   Le principe fondamental de la résolution explicite est que chaque boîte de la Figure 1 remet à jour toutes les variables qu’elle doit traiter à partir de valeurs connues et qui restent fixées durant les calculs dans l’autre boîte. La procédure de résolution explicite n’étant pas inconditionnellement stable, il est nécessaire que la vitesse du front de calcul soit plus grande que la vitesse maximale de propagation de l’information, pour cela le choix du pas de temps est important en effet il doit être plus petit qu’un certain pas de temps critique (Billaux [1993]). Le critère de convergence pour contrôler la fin des cycles de calcul est simplement basé sur l’état d’équilibre de l’ensemble des éléments. Le programme teste pour chacun des éléments le déséquilibre de force et retient la force maximale non équilibrée. L’utilisateur définit la force en dessous de laquelle la convergence est supposée suffisante. Ainsi formulée, la méthode de résolution implémentée dans FLAC présente des avantages et des inconvénients si on tente de la comparer à d’autres méthodes bien connues telle que la méthode implicite généralement utilisée en éléments finis.  

I.2.3.Equations générales   L’équation du mouvement de Newton est exprimée par l’équation différentielle suivante :   ij ρ ∂ ∂ u & t i ∂ ∂ = x + ρg i   j Avec : ρla masse volumique tle temps u & le vecteur vitesse le vecteur position accélération due aux forces de volume Les taux de déformationse & ij  ensuite déduits et la loi de comportement du matériau est sont utilisée pour calculer de nouvelles contraintes et forces déduites des taux de déformation, chaque séquence de calcul formant ainsi un cycle de calcul. Les taux de déformations incrémentales :

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Avec :

 

⎟ e & ij = 1 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ∂ ∂x u & i j + ∂ ∂ u x & j i ⎠ ⎟ ⎞     σ n =fσ p , e & , K

σ n Contraintes nouvelles σ p Contraintes au cycle de calcul précédent K Paramètre d’écrouissage & u ij déplacements incrémentaux x ij  les axes  

I.2.4.Passage du problème continu à la discrétisation.   Le milieu continu est discrétisé par des quadrilatères, chacun d’eux étant divisé en deux paires d’éléments triangulaires (a et b, c et d) à déformation uniforme comme indiqué sur la Figure 2. La force exercée sur un nœud est prise comme la moyenne des forces pour les deux paires de triangles, ce qui permet d’assurer une réponse symétrique à un chargement symétrique.  

  Quadrilatères superposés.

  Vecteurs vitesse.   Figure 2: Discrétisation mixte.

  Vecteur force nodale.  

  Les équations aux différences finies sont déduites du théorème de divergence de Gauss : = ∂ d A   ∫ S n i f ds ∫ A ∂x f i   Où : s périmètre de l’élément de surface A. n vecteur unitaire normal à s. f scalaire, vecteur ou tenseur défini sur A et son périmètre.

∂f est calculée en fonction des valeurs de f sur La valeur moyenne du gradient de f sur A ∂x i , le périmètre s : ∂ ∂ x f i = 1 A ∫ S n i f ds     Appliquée à un élément triangulaire, cette relation devient :

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∂ = ∂x f1 A ∑ f n i ∆s   i S   où : La sommation s’applique aux trois côtés du triangle.   f moyenne de f sur un côté valeur ∆s longueur du côté L’équation suivante permet d’écrire le tenseur taux de déformatione & en fonction des vitesses aux nœuds : ∂ ∂u & i ≅ 2 1 ∑ u & i (a) +u & i (b) n j ∆s   x j A S Où a et b sont les nœuds extrémités d’un côté du triangle.   L’utilisation d’éléments triangulaires élimine le problème de déformations non restreintes qui se pose avec les éléments quadrilatères à déformation uniforme. Ce problème, pour les polygones à plus de trois sommets, tient au fait qu’il existe des combinaisons de déplacements nodaux qui ne produisent aucune déformation, et donc ne sont restreints par aucune force. Un autre problème de la modélisation de matériaux en plasticité n’est pas résolu par l’utilisation d’éléments triangulaires : il s’agit de la formulation de la condition d’incompressibilité lors de l’écoulement plastique.  

I.2.5.Elément d’interface   Les éléments d’interface sont utilisés pour représenter de manière simplifiée le comportement des zones de localisation des déformations soit en cisaillement (surface de glissement) soit en traction (fissures).  

  Figure 3: Détail des composants d’un élément d’interface (Itasca [1994]).   Pour les caractéristiques de frottement, cohésion, dilatance et traction limite, on prend généralement celles du matériau le moins résistant, éventuellement réduites en cas d’interface « lisse » (frottement sol/acier par exemple). Les raideurs k n et k s sont plus difficiles à estimer. Afin de simuler le comportement rigide plastique dans un premier temps, nous avons retenu les valeurs recommandées par les auteurs de FLAC consistant à prendre k n et k s dix fois plus

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élevées que la raideur équivalente de la zone voisine la plus raide. La raideur apparente de ladite zone dans la direction normale étant donnée par la relation suivante :   4 ⎤ max ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎜ ⎝ ⎛ K ∆ + z m 3 in G ⎥ ⎥ ⎥ ⎟ ⎠ ⎞   ⎦⎥   Avec∆z min  plus petite dimension de la zone contigue dans la direction normale (voir la Figure 4.)  

  Figure 4: Dimension de la zone utilisée pour le calcul des raideurs (Itasca [1994]).   Les tests ont permis de montrer la sensibilité assez faible sur les résultats de ces deux paramètres. Cette recommandation permet de ne pas pénaliser les temps de calcul lors de la prise en compte d’une interface.            

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Simulation numérique des essais sous chargement simple

II. Simulation numérique des essais sous chargement simple   Dans cette partie nous présentons une étude de simulation numérique des essais biaxiaux et oedométriques avec la loi MMC à l’aide du logiciel FLAC 2D . Les simulations numériques seront effectuées avec les paramètres déterminés à partir des méthodes présentées dans le chapitre précédent.

II.1.Essai biaxial   Afin de simuler les essais biaxiaux nous avons décidé de reproduire numériquement toutes les phases expérimentales effectuées.

II.1.1.Maillage utilisé et Interface   Notre maillage comporte 100 éléments (Figure 6) qui représentent l’échantillon de sol analogique. Les embases seront également modélisées avec 12 éléments chacune. Les Figure 5 et Figure 6 présentent le schéma expérimental et le maillage utilisé pour la modélisation.   Coussins en rface 210 Inte  mm caoutchoucEmbase supérieure

Echantillon

Embase inférieure

220mm

  Figure 5 : Schéma expérimental   Figure 6 : Maillage utilisé   Les deux embases sont parfaitement élastiques et leur déplacement est imposé : nul pour l’embase inférieure et égale au déplacement expérimental pour l’embase supérieure. Des interfaces ont été mises en place entre les embases et l’éprouvette. Pour l’interface nous avons utilisé les caractéristiques suivantes, afin de reproduire le glissement rouleaux/acier observé pendant les essais : cohésion nulle angle de frottement 3° k =1.0E9 Pa/m   n k s =1.0E6 Pa/m  

II.1.2.Paramètres du modèle MMC   En utilisant la technique de détermination des paramètres de la loi, nous avons effectué le calage sur les courbes expérimentales (triaxial et oedométrique). Les paramètres identifiés sont présentés dans le Tableau 1 :    

233

Simulation numérique des essais sous chargement simple

 

120

1200 0.9 0.25

22

3

0.65

8

0.5

Tableau 1 : Paramètres du modèle MMC pour le matériau analogique de Schneebeli

II.1.3.Contraintes initiales   Pour l’obtention des contraintes initiales dues à la gravité, les conditions aux limites sont les suivantes : dans la direction horizontale et verticale.Les embases sont bloquées Les deux côtés latéraux sont bloqués dans la direction horizontale. La contrainte verticale due à la gravité est calculée à partir de formule suivante (Figure 7) : σ v γz La composante horizontale est égale à :  h = 0 Kγz où : K 0  leexpériences nous avons obtenu une valeur coefficient des terres au repos. D’après nos de K 0 qui varie entre 0.65 de 0.74, nous avons retenu la valeur moyenne qui égale à 0.7. γle poids spécifique du sol analogique,γ=65 kN/m 3  

 

Grid plot

0 -stress contours  -1.25E+04  -1.00E+04  -7.50E+03 -5.00E+03     -2.50E+03  0.00E+00

1E -1

Contour interval= 2.50E+03

Y

  Figure 7 :Distribution des contraintes initialesσ v

II.1.4.Simulation de l’essai de compression isotrope   Dans l’expérience afin de simuler un essai biaxial il faut obtenir l’état de consolidation isotrope (σ 3 =σ 1 ). Pour obtenir cet état nous avons appliqué aux deux faces latérales une contrainteσ 3  et à l’embase supérieure une contrainte égaleσ 1 , après libération des déplacements correspondants, puis on laisse le système s’équilibrer.

II.1.5.Application du déviateur

  Une fois l’équilibre de consolidation isotrope obtenu, nous avons augmenté le déplacement vertical jusqu’à une valeur correspondant à une déformation de 4,5% de la hauteur initiale de l’échantillon. L’incrément de déplacement (ou vitesse) de l’embase supérieure à été pris égal à 0.5e-8 m par pas de calcul. La force maximale de déséquilibre, avec cette vitesse contrôlée

234

Simulation numérique des essais sous chargement simple

de déplacement tend rapidement vers zéro. La Figure 8 présente les forces de déséquilibre pendant le calcul.

II.1.6.

60

50

40

30

20

10

0 0

20000

40000

Nombre de pas

60000 80000 100000 120000

Figure 8 : Force maximale de déséquilibre

Résultats des essais biaxiaux

 

  II.1.6.1 D   éplacements   Les résultats finaux de la modélisation numérique sont illustrés sur les figures suivantes. La Figure 10 montre la forme finale de l’échantillon et les vecteurs déplacements obtenus à l’aide du logiciel FLAC. La confrontation entre les résultats expérimentaux conduit aux observations suivantes : L’éprouvette est en forme de tonneau Forte similitude entre les vecteurs expérimentaux et numériques (Figure 9 et Figure 10)  

  Figure 9 :Forme et déplacements numériques

  Déplacements expérimentaux

Déformation imposée

Forme d’échanti Figure 10 : Forme et déplacements expérimentaux

llon

 

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