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2-cours-droites-systemes.doc EQUATIONS DE DROITES − SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soit d une droite non verticale quelconque. Cette droite n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l’on appellera B et elle a également un vecteur directeur d’abscisse 1 que l’on appellera u. 1Appelons b l’ordonnée du point B et a celle de u. On a alors : B(0 ; b) et u(1 ; a) 1 1 d u 1 a B b 1j O 1i Soit M(x ; y) un point quelconque du plan. M(x ; y) ∈ d ⇔ B4M(x ; y − b) est colinéaire à u(1 ; a) 1 ⇔ x × a − (y − b) × 1 = 0 ⇔ a x = y − b ⇔ y = a x + b Conclusion : • La relation y = a x + b permet donc de déterminer si un point appartient ou non à d. Cette relation caractérise donc la droite d et on l’appelle équation de d. • Toute droite non verticale a donc une équation de la forme y = a x + b et est la représentation graphique d'une fonction affine. • b est l’ordonnée du point de d d’abscisse 0. On l’appelle donc ordonnée à l’origine de la droite d. • a caractérise la pente de la droite d. On l’appelle coefficient directeur de d. Deux droites non verticales sont donc parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. y − yQ P• Soient P et Q deux points distincts de d. Déterminons en fonction de a et b : x − xQ Py − y a x + b − a x − b a (x − x )Q P Q P Q Pd n’est pas verticale donc x ≠ x et : = = = a Q P x − x x − x x − xQ P Q P Q ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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2coursdroitessystemes.doc EQUATIONS DE DROITES − SYSTEMES LINEAIRES I) EQUATIONS DE DROITES 1) Les droites non verticales Soitdune droite non verticale quelconque. Cette droite n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point que l’on appellera B et elle a également un vecteur directeur d’abscisse 1 que l’on appellera1u. Appelonsbl’ordonnée du point B etacelle de1B(0 ;u. On a alors :b) et1u(1 ;a) d
u1aB
bj1Oi1
Soit M(x;y) un point quelconque du plan. ∈ ⇔4 M(x;y)d BM(x;yb) est colinéaire à u1(1 ;a) x×a− (yb) × 1 = 0 ax=yby=ax+bConclusion : La relationy=ax+bpermet donc de déterminer si un point appartient ou non àd. Cette relation caractérise donc la droitedet on l’appelle équation ded. Toute droite non verticale a donc une équation de la formey=ax+bet est la représentation graphique d'une fonction affine. best l’ordonnée du point dedd’abscisse 0. On l’appelle donc ordonnée à l’origine de la droited. acaractérise la pente de la droited. On l’appelle coefficient directeur ded. Deux droites non verticales sont donc parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. yQyP Soient P et Q deux points distincts deden fonction de. Déterminonsaetb: xQxP yQyPaxQ+baxPb a(xQxP) dn’est pas verticale doncxQxP= et := =axQxPxQxPxQxP Il est facile de lire graphiquement les valeurs de a et de b sur une figure. On peut donc très rapidement : soit lire graphiquement l’équation d’une droite dont on a le tracé, soit déduire le tracé d’une droite dont on a l’équation. Vidéoprojecteur : 2cmpequationdedroite.html
Salle informatiue : 2exoeuationdedroite.html
p279: 8, 9 (avec la méthode cidessus), 11, 14 p283: 38 p284: 42
2coursdroitessystemes.doc 2) Les droites verticales Soitdune droite verticale quelconque. Cette droite étant parallèle à l’axe des ordonnées, on ne peut définir ni le point B, ni le vecteur u1du paragraphe précédent ! Appelons donc C le point d’intersection dedavec l’axe des abscisse et posonsxc=c. d
1jCO1i
Soit M(x;y) un point quelconque du plan. M(x;y)dC4M(xc;yj) est colinéaire à1(0 ; 1) (xc) × 1 −y× 0 = 0 x=cConclusion : L’équation dedest doncx=c. Toute droite non verticale a donc une équation de la formex=c. Une telle droite n'a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l'origine et ne représente graphiquement aucune fonction. L’inconnueyn’apparaît même pas dans l’équation ded! En effet, pour savoir si un point appartient ou non àd, peu importe son ordonnée, seule compte son abscisse.
p279: 12 p283: 28, 33, 39, 40
2coursdroitessystemes.doc 3) Déterminer l'équation d'une droite ya) Connaissant deux points BEx :Déterminer l'équation de la droite (AB) ci contre : 1jAO1ière 1 méthode:xAxBdonc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+b  A(AB)yA=axA+b0 = −2a+b(1)2 = 2b(1)+(2)a= 1/2   B(AB)yB=axB+b2 = 2a+b(2)2 = 4a(2)−(1)b= 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 2 méthode:xAxBdonc (AB) n'est pas verticale et a donc une équation de la formey=ax+byByA2 12 − 0 aveca= == = xBxA2 − (−2)4 2 1 1 de plusA(AB) doncyA=xA+b doncb= 0 −(−2) = 1 2 2 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 ème 3 méthode:Soit M(x;y) un point quelconque M(AB) A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à A3B(4 ; 2) xA4MyA3ByA4MxA3B= 0  (x+ 2) × 2 −y× 4 = 0  2y=x+ 2 y= 1/2x+ 1 (AB) a donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 b) Connaissant un vecteur directeur et un point Ex :dpasse par A(−2 ; 0) et u1(2 ; 1) est l'un de ses vecteurs directeurs. Déterminer son équation. Soit M(x;y) un point quelconque Md A4M(x+ 2 ;y) est colinéaire à1u (2 ; 1)yu1 xA4My1uyA4Mxu1= 0  (x+ 2) × 1 −y× 2 = 0  2y=x+ 2j1Ay= 1/2x+ 1i O1da donc pour équation réduite :y= 1/2x+ 1 c) Parallèle à une droite passant par un point 1 Ex :Déterminer l'équation deΔparallèle à la droite' laΔ d'équation :y=xpassant par C(1 ; 0)+ 1 2 ΔetΔ' étant parallèles, elles ont le même coefficient directeur, doncy1 l'équation deΔ' est de la formey=x+b2 j1i11 11OCde plusCΔ' doncyC=xC+b doncb= 0 −(1) = − 2 22 1 1 Δ' a donc pour équation réduite :y=x2 2 p279: 10, 13 p283: 30, 31 p284: 43, 46
2coursdroitessystemes.doc II) SYSTEMES DE 2 EQUATIONS LINEAIRES A 2 INCONNUES 1) Qu'estce qu'un système "2 × 2" ? Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la forme : ax+by=c a'x+b'y=c' Remarques : Siaetbsont tous les deux nuls, peuton encore parler d'un système de deux équations ? On convient donc que : aetbne doivent pas être nuls en même temps a'etb'ne doivent pas être nuls en même temps a c Sib0 alorsax+by=cby= −ax+cy= −x+ b b c Sib= 0alorsa0 etax+by=cax=cx= a On voit donc qu'une équation linéaire à deux inconnues peut toujours se mettre soit sous la formey= mx+ p, soit sous la formex= k … tout comme une équation de droite !! Conséquence : De même que deux droites ont pour intersection :De même un système 2 × 2 aura pour solutions : soit un unique point d'intersectionsoit un unique couple solution (les droites sont sécantes) soit aucun point d'intersectionsoit aucun couple solution (les droites sont strictement parallèles) soit tout point de l'une est aussi un point de l'autresoit tout couple solution de l'une est aussi solution de  l'autre (les droites sont confondues)(les deux équations sont équivalentes)
p284: 47, 48, 50
2coursdroitessystemes.doc 2) Déterminer le nombre de solutions d'un système 2 × 2 Peuton savoir à l'avance si un système linéaire 2 × 2 admet un unique couple solution ou non ? Dans le cas oub0 etb'0, on a : a c y= −x+  ax+by=cby= −ax+bc b   a'x+b'y=c'b'y= −a'x+c' a'c' y= −x+ b' b' Comme on l’a vu dans le paragraphe précédent, ces deux dernières équations sont de la même forme que des équations de droites nonverticales. Or on sait que deux droites nonverticales ont un unique point d'intersection si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents. Par analogie, on peut donc en déduire que : ax+by=c aa'  a un unique couple solution −a'x+b'y=b'c' b a a' b b' ab'a'bab'a'b0 Remarques : a a' Pourquoi avoir transformé le critère enab'a'b0 ? b b' a a' Parce qu'on ne peut compareret quesibetb'sont non nuls : ce qui n'est pas toujours le cas ! b b' En revanche, on peut montrer que le critèreab'a'b0 est toujours valable. abOn appelle le nombreab'a'bdéterminantdu système et on le note : a'b' Bilan :
ax+by=cabLe systèmeadmet un unique couple solution si et seulement si0 a'x+b'y=c' a'b'
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2coursdroitessystemes.doc 3) Résoudre un système a) Les trois possibilités :    x− 2y= 1L1x− 2y= 1L1x− 2yL= 11    (S1) (S2) (S3) 3x+ 6yL= 323x− 6yL= 323x− 6yL= − 42 Le déterminant de (S1) estLe déterminant de (S2) estLe déterminant de (S3) est 1 −2 1 −2 1 −2= 6 + 6 = 12= −6 + 6 = 00 =−6 + 6 = 0 3 63 −63 −6 Il y a donc un seul couple solutionOr on remarque que L2= 3×L1 Oron remarque que (1 ; 0) est x= 2y+ 1solution de LLes deux équations sont donc1et n'est pas solution (S1)12yL= 02−3×L1+L2de Léquivalentes donc :2. Les deux équations sont donc incompatibles : x= 1(S2)x− 2y= 1x= 2y+ 1 y= 0 0 )}S = S= {( 1 ;S = {( 2α+ 1 ;α)} avecα réel quelconque Remarques : ; )}S = {(N'oubliez ni les {}, ni les ( ) : Ne pas parler de droite ou de point d'intersection dans la rédactionp284: 51, 54, 55, 56, 59, 60, 61, 62 p285: 66, 67, 68Vérifier le résultat !  p286:81, 83  p287:87,89,90b) Pourquoi utiliser des équivalences ? x+y= 10L1 A la question :Résoudre : (S1)x+ 2yL= 52xyL= 93 Un élève a répondu :L2– L1donney= – 5  ord'après L3on ax=y+ 9 doncx5 + 9 = 4= –  doncS = {(4 ; – 5)} Qu'en pensezvous ? c) Systèmes non linéaires se ramenant à un système linéaire via un changement de variable : 3 x+ =− 1 y 1 (S1) Pourtoutx>0 etypose :0, onX =xY = et 1 y 2x− =5 y Résolvons (S2) : X + 3 Y = −1 L11 3 (S2) est linéaire et a pour déterminant := – 1 – 6 = – 7 0L2 X − Y = 522 −1   7X = 14L1L1+3× L2X = 2   (S2) admet donc un couple solution unique et équivaut à :L7Y = −722× L1− L2Y = −1   x= 2 x= 4 (>0) donc (S1) 1S = {(4 ; – 1)} donc  =−1y( 0)= −1 y p284: 63, 64
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