af-cours

Publié par

Chapitre 4ESPACES DE DISTRIBUTIONSVersion du 12 juillet 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 23174.1 Une maniŁre d interprØter la notion de dualitØ4.1 Une maniŁre dinterprØter la notion de dualitØExemple physiqueSoient F un ensemble de fonctions-test sur un espace mØtrique X et m une intØgrale denRadon sur X , canoniques pour le problŁme considØrØ, par exemple un ouvert X de R etl intØgrale de Lebesgue λ . Une fonction m-mesurable f sur X dØcrivant un certain phØnomŁneest en gØnØral connue par lintermØdiaire de moyennes pondØrØes de f :Zhϕ|f •mi := ϕ•fdm;ce sont des mesures de f l aide des appareils ϕ . La forme semi-linØairehƒ|f •mi : ϕ hϕ|f •mi ,i.e.l intØgralededensitØ f par rapport m,estdoncplusnaturellequelafonctionf elle-mŒme.Ceci va nous conduire la thØorie des distributions. Voici une maniŁre de comprendre lanØcessitØ de leur utilisation, et le r le tout fait naturel qu elles jouent. ConsidØrons une boulede billard et le problŁme de la rØßexion sur une bande :Admettonsque, pour tout a,b∈R tels quea 0 , dØpendant de la vitesse et de l angle dincidence, et τ le tempsdu choc.Si ce phØnomŁne est dØcrit par une fonction force de composante F , la loi de Newton F = pœentrane Z Z Zb bp(b)−p(a)= pœ = F = 1 •F .[a,b]a a232 ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
Lecture(s) : 12
Nombre de pages : 59
Voir plus Voir moins
lCuaed
ESPACES
oPtrenier
Chapitre 4
DE
ANALYS
DISTRIBUTIONS
EFONCTIONNELLE
Version du 12 juillet 2004
231
4.1
Une manière dinterpréter la notion de dualité
4.1 Une manière dinterpréter la notion de dualité
Exemple physique SoientFun ensemble de fonctions-test sur un espace métriqueXetmune intégrale de Radon surX, canoniques pour le problème considéré, par exemple un ouvertXdeRnet lintégrale de Lebesgueλ. Une fonctionm-mesurablefsurXdécrivant un certain phénomène est en général connue par lintermédiaire de moyennes pondérées def: hϕ|f·mi:=Zϕ·f dm;
ce sont des mesures defà laide des appareilsϕ. La forme semi-linéaire h ¦|f·mi:ϕ7−→hϕ|f·mi, i.e. lintégrale de densitéfpar rapport àm, est donc plus naturelle que la fonctionfelle-même. Ceci va nous conduire à la théorie des distributions. Voici une manière de comprendre la nécessité de leur utilisation, et le rôle tout à fait naturel quelles jouent. Considérons une boule de billard et le problème de la réßexion sur une bande :
Admettons que, pour touta, bRtels quea < b, il existe un appareil qui, entre les temps aetb, mesure la variation de la seconde coordonnépde limpulsion. On obtient p(b)p(a) =½α0siasi6noτn6b pour un certainα>0, dépendant de la vitesse et de langle dincidence, etτle temps du choc. Si ce phénomène est décrit par une fonction force de composanteF, la loi de NewtonF=pú entraîne p(b)p(a) =Zabpú=ZabF=Z1[a,b]·F.
232
ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude Portenier
Une manière dinterpréter la notion de dualité
SiFest continue, voire mêmeFLolc1(R), le théorème de Lebesgue montre que Z1[a,b]·F−→0sia6τ6betba−→0,
4.1
ce qui est absurde. Il nexiste donc pas de fonction force. Par quoi faut-il la remplacer ? En fait lexpérience nous fournit la correspondance 1[a,b]7−→α·1[a,b](τ), puis α·ετ:ϕ7−→α·ϕ(τ) :E(R)−→C, E(R)désigne lespace vectoriel des fonctions en escalier surR. Cela nécessite évidemment une caractérisation convenable dun appareil par une fonction, dite test, laddition de deux fonctions sexprimant par un certain amalgamme des appareils correspondants. Remarquons en outre que dans le cas classique, lopération de moyenne pondérée deF ϕ7−→Zϕ·F, est plus proche de la réalité expérimentale, une fonction nétant connue ponctuellement que par certaines limites de telles moyennes. Ceci montre quil est plus général et plus naturel de considérer des formes linéaires (semi-linéaires si lon travail sur le corps des nombres complexesC) que des fonctions. Lespace vectoriel des fonctions-test peut être de nature très diérente suivant les besoins : E(R)pour les probabilités (théorie de la mesure) K(R)pour lanalyse (théorie de lintégration) D(R)ouS(R)pour lanalyse fonctionnelle (théorie des distributions). Nous allons dans la suite concentrer notre attention sur le dernier cas, la théorie de linté-gration ne suélectrodynamique, il est nécessaire de pouvoir dériversant pas. Par exemple en les intégrales de Diracετpour formaliser la notion de dipôle.
Exemple économique On interprèteF(=Rn) comme un ensemble decorbeilles (de biens)quun certain fabricant pourrait produire. Le vecteur n ϕ=Xϕj·ej j=1 désigne la corbeille contenantϕjduj-ième bien. Le dualF0(=Rn) est interprété comme un ensemble déconomies:
µ(ϕ)est leprixde la corbeilleϕréalisable dans léconomieµ. La linéarité deµtraduit bien la manière de payer On se donne une !fonction de coûtf:F−→ e R:
f(ϕ)est lecoût de productionde la corbeilleϕ.
Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS
233
4.1
Une manière dinterpréter la notion de dualité
Alors µ(ϕ)f(ϕ)est leproÞtfait sur la corbeilleϕdans léconomieµ, donc f(µ) := supϕF[µ(ϕ)f(ϕ)] est leproÞt maximumréalisable dans léconomieµRemarquons que dans certains cas il existe. une corbeilleϕmaxtelle que f(µ) =µ(ϕmax)f(ϕmax), qui engendre donc le proÞt maximum dans léconomieµ. Le nombreµ(ϕ)f(µ)est le coût de production idéal de la corbeilleϕquil ne faudrait pas dépasser pour réaliser le proÞt maximum dans léconomieµ, donc f◦◦(ϕ) := supµF0[µ(ϕ)f(µ)] est le plus grand coût idéal de production de la corbeilleϕ. Nous avons vu en 3.9 quefetf◦◦sont des fonctions convexes s.c.i.. Sifest convexe et s.c.i.6=, alors le théorème de Fenchel (théorème 3.9) exprime que f=f◦◦ , donc que le coût de la corbeilleϕest égal au coût idéal maximal deϕ.
234
ESPACES DE DISTRIBUTIONS
Claude Portenier
Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 4.2 Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées Dans ce paragrapheXdésigne un espace localement compact. ú DEFINITION 1Siµest une intégrale de Radon positive, nous désignerons parN(µ)les-pace vectoriel des fonctions localementµ-négligeables et nous poserons Loc1l(µ) :=Loc1l(µ)±Nú(µ); Remarquons que sif=glocalementµ-p.p. , alorsϕ·f=ϕ·g µ-p.p. pour toutϕK(X), puisqueϕ·fetϕ·gsontµ-modérées (cf. lemme 1.16). DEFINITION 2Nous munironsLl1co(µ)de la topologie localement convexe déÞnie par les semi-normes f7−→Z|ϕ·f|pourϕK(X). Les semi-normes f7−→Z|f|pourKK(X) K forment un système équivalent, car Z|ϕ·f|6kZsuppϕ ϕk· |f|, et ZK|f|6Z|χ·f|en choisissantχK(X)telle queχ>1K. LEMMELes applications canoniques K(X)−→L2(µ),Locl1(µ) sont continues et dimage dense. En eet, pour toutKK(X)etϕK(X, K), on a kϕk22=Z|ϕ|26µ(K)· kϕk2, ce qui prouve la continuité de la première application. Elle est dimage dense daprès le théorème de densité pourL2(µ)(cf. cours dAnalyse [17], théorème 15.15). Quant à la seconde, elle est injective par le lemme 1.16.iv et continue, car pour toutϕK(X)etξL2(µ), on a Z|ϕ·ξ|6kϕk2· kξk2. Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS235
4.2
Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées
Pour la densité soitfLclo1(µ),KK(X)etε>0. On a1K·fL1(1K·µ)et, puisque [K(X)]est dense dansL1(µ), il existeψK(X)L2(µ)tel que ZK=Z|ψ1K·f| ·1Kd |ψf|µ6ε, ce quil fallait démontrer. Rappelons lexemple 3.4.8.
THEOREME (i) Siµest une intégrale de Radon positive, alors lapplication f7−→f·µ:Lcol1(µ)−→M(X) est injective et continue. (ii) Si pour tout ouvertO6=, on aµ(O)>0, alors ϕ7−→ϕ·µ:K(X)−→M(X) est injective, continue et dimage dense.
¤
Démonstration de (i)Remarquons tout dabord, en écrivantfcomme combinaison linéaire de fonctions positives, quef·µM(X). Sif·µ= 0, on aRϕ·f dµ= 0pour toutϕK(X), doncf= 0localementµ-p.p. puisqueK(X)est un espace test (cf. exemple 1.16.2). La continuité découle du lemme 3.7 car on a |hϕ|f·µi|6Z|ϕ·f|.
Démonstration de (ii)K(X)se plonge injectivement dansL2(µ)(cf. remarque 1.2.1), donc dansLl1co(µ), et par suite dansM(X)par (i). Cette application est continue par le lemme. Finalement la densité découle du corollaire 3.10.ii car, pour toutψihψ| K(X)·µi= {0}, i.e.Rψ·ϕ= 0pour toutϕK(X), on obtientR|ψ|2=K0(X,)conds,ψ= 0.¤
REMARQUE 1Dans le cas général, on a K(X)−→L2(µ),L1loc(µ),M(X). Il ne faut pas oublier que limage[K(X)]deK(X)dansM(X)dépend de lintégraleµ, dite pivot, que lon a choisie. Sil faut préciser, on désigne cette image parK(X)·µ. On pourrait aussi écrireLclo1(µ)·µpour limage deLcol1(µ).
REMARQUE 2Sous lhypothèse de (ii), on a K(X),L2(µ),L1loc(µ),M(X) et toutes ces applications sont dimage dense. PuisqueM(X)est séquentiellement complet par le théorème de Banach-Steinhaus (corol-laire 3.1) et lexemple 2.13.2, cet espace est une complétion séquentielle deK(X)·µ(ou de Lcol1(µ)) pour la topologie induite par la topologie faibleσ(M(X),K(X))deM(X). Cela nous permet de dire que les intégrales de Radon sont desfonctions généralisées, les fonctions deLl1co(µ)étant identiÞées avec les intégrales de Radon de la formeLl1co(µ)·µcorrespondantes.
236
ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude Portenier
Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées 4.2 Remarquons que limage de la fonction1est1·µ=µ, doncµest la fonction (généralisée) 1!
EXEMPLE 1Pour toutxX, lintégrale de DiracεxÞnie par hϕ|εxi:=ϕ(x)pour toutϕK(X) est une fonction généralisée bien connue des physiciens. On représente souventεxcomme la limite dansM(X)dune suite(fk)kNLoc1l(µ); on écrit εx= limkfk, mais cette limite ne peut pas être représentée par une fonction ! Rappelons que, par déÞnition de la topologie faible surM(X), cela signiÞe que ϕ(x) =hϕ|εxi= limkhϕ|fk·µi= limkZϕ·fkpour toutϕK(X).
EXEMPLE 2Soitρune fonction croissante sur un intervalle ouvertJdeR. Il est clair que λρ:ϕ7−→Zϕ(x)dρ(x) est une forme linéaire positive surK(J)(cf. cours dAnalyse [17], exemple 14.6.2). Nous verrons dans les exemples 3 et 4 de 4.4 la correspondance réciproque entreλρetρ. On peut construire une fonctionρstrictement croissante et continue, qui déÞnisse lintégrale de Hausdorsur lensemble de Cantor. Rappelons que cet ensemble a une mesure de Lebesgue nulle ! Le graphe approximatif de cette fonction est
Comme exemple simple
Claude Portenier
λ:=λid:ϕ7−→Zϕ
ESPACES DE DISTRIBUTIONS
237
Les intégrales de Radon comme fonctions généralisées
4.2 est lintégrale de Lebesgue. On dit, pourtJ, que ht:= 1[t,[J est lafonction de Heavisideent. On a Zϕdht=ϕ(t) =hϕ|εti, ce qui montre queλhtest lintégrale de Diracεtent. Par commodité en écrithetδpourh0 etε0. EXEMPLE 3Voici encore un espace dintégrales, donc de fonctions généralisées, que nous rencontrerons. On pose Mb(X) :=C0(X)0. Linjection canoniqueK(X),C0(X)est évidemment continue et dimage dense par le théo-rème de Stone-Weierstraß. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ|K(X):Mb(X)−→M(X) est aussi injective, continue et dimage dense. On voit immédiatement que toute intégrale de Radonbornée, i.e telle que|µ|(X)<, déÞnit par ϕ7−→Zϕ:C0(X)−→K une forme linéaire continue surC0(X). On peut montrer que toute forme linéaire continue sur C0(X)est de cette forme (cf. Dieudonné, ibid., XIII.20). On a kµk=|µ|(X). Siµest une intégrale de Radon quelconque surXetfL1(µ), alorsf·µMb(X)et kf·µk=kfk1, ce qui montre que L1(µ),Mb(X)β=C0(X)0β est une isométrie et que L1(µ),Mb(X) =C0(X)0σ est continue.
238
ESPACES DE DISTRIBUTIONS
Claude Portenier
Les distributions
4.3 Les distributions
Dans tout les paragraphes qui suiventXdésigne un ouvert deRn.
4.3
DEFINITIONOn dit quune forme linéaire continueµsurD(X), i.e.µD(X)0, est unedistribution, ou unefonction généralisée. Nous considérerons toujours la semi-dualité +D(X)| D(X)0®Þnie par hϕ|µi:=hϕ, µi. Par déÞnition de la topologie localement convexeÞnale surD(X)(cf. exemple 2.10.3), la proposition 2.10 montre quune forme linéaireµsurD(X)est une distribution si, et seulement si, pour tout compactKX, la restriction deµàD(X, K)est continue, ce qui signiÞe quil existekNetcR+tels que |hϕ|µi|6c·pK,k(ϕ)pour toutϕD(X, K).
THEOREME (i) Linjection canoniqueD(X),K(X)est continue et dimage dense. Son application adjointe, qui est lapplication de restriction µ7−→µ|D(X):M(X)−→D(X)0, est aussi injective, continue et dimage dense. (ii) Il en est de même deD(Rn),S(Rn)etS(Rn),L2(Rn), ainsi que de leur application adjointe µ7−→µ|D(Rn):S(Rn)0−→D(Rn)0etξ7−→ξ·λ:L2(Rn)−→S(Rn)0. En outre, si lon prend lintégrale de Lebesgueλcomme pivot,D(X)est dense dans D(X)0, de même queD(Rn)dansS(Rn)0.
Démonstration de (i)La continuité est immédiate par la proposition 2.10, car pour toutKK(X), lespaceD(X, K)est continûment plongé dansK(X, K), la normek·k,K de ce dernier espace étant aussi par restriction une norme surD(X, K), et linjection ca-noniqueK(X, K),K(X)à la densité, elle découle du théorème deest continue. Quant Stone-Weierstraß, puisqueK(X, K)|K=C0(K)etD(X, K)|Kest une sous-algèbre invo-lutive séparant fortement les points deK. Calculons ladjointej:M(X)−→D(X)0de j:D(X),K(X): pour toutϕD(X)etµM(X), on a +ϕ¯jµ®D(X)=hjϕ|µiM(X)=+ϕ¯µ|D(X)®D(X), doù le résultat par le corollaire 3.10.iv. Démonstration de (ii)Pour toutKK(Rn)etϕD(Rn, K), on a pk(ϕ) = maxαNn,|α|16k°hidik·αϕ°6°hidik°,K·maxαNn,|α|16kkαϕk,K=
Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS
239
4.3 Les distributions =°hidik°,K·pK,k(ϕ), ce qui prouve la continuité deD(Rn, K),S(Rn), donc celle deD(Rn),S(Rn)par la proposition 2.10. Pour prouver celle deS(Rn),L2(µ), il sut de constater que, pour tout ϕS(Rn), on a kϕk22=Zhidi2k· |ϕ|2· hidi2kdλ6°hidik·ϕ°2·Zhidi2kdλ6 6µZhidi2kdλ·pk(ϕ)2 et que Zhidi2kdλ<2k >2n. Pour la densité considérons tout dabord la fonctionχD(R+)Þnie par 0 06x61 χ(x) :=0 26x e4·exp³(x1)·1(2x)´si1< x <2. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 χ On a Z12e4·expµ(x1)·(21x)dx'.38382 Þnissons alors la fonctionρD(R+)par ρ(x) := 1R01χdλ·Z0xχdλ. On a =61 ρ(x)0201=6x6x ]0,1[si1< x <2. 240 Portenier ClaudeESPACES DE DISTRIBUTIONS
Les distributions
4.3
Cette fonction nous permet alors de déÞnir les fonctionsρlD(Rn)pourlNpar ρl(x) :=ρÃ|x!. |2 l Pour toutϕS(Rn), nous allons montrer queϕ= limlρl·ϕdansS(Rn); pour cela estimons pk(ρl·ϕϕ) = max|α|16k°hidik·α[(ρl1)·ϕ]°6 6max|α|16kXα 06β6αµβ·°hidik·β(ρl1)·αβϕ°6 6X "06β6αµβα¶#·max|α|16k°hidik+1·αϕ°·max|α|16k°hidi1·α(ρl1)°. Le membre de droite tend vers0car on a °hidi1·(ρl1)°= supxRnρ³|xl|2´x21ρ ¯1 +| |¯= supyR+,y>1¯+(1y)l·y1¯61l et °hidi1·α(ρl1)°6kαρlk6cstlpour|α|16k,α6= 0. En eet par récurrence on obtient |x|2 αρl(x) =j|α=X|10Pjα(x)·µ2lj·jρÃl!, Pjαsont des polynômes tels queP00= 1,P0α= 0siα6= 0,degPjα61sij <|α|1et degP|αα|1=|α|1. Notre assertion est évidemment vraie pourα= 0. On a alors α+ekρl(x) =k|jα=X|10Pjα(x)·µl2j·jρÃ|xl|2!= =X |α|10"kPjα(x)·µl2j·jρÃ|lx|2!+Pjα(x)·µl2j·j+1ρÃ|lx|2!·2l·xk#= j= |α|1+1j =XPjα+ek·j|x j=0(x)·µl2ρÃl|2! en ayant posé Pxjαk·0+PjPαjα1sijj==1j,|.=.|1.0,+|α1|1. jα+ek=kP α CeciÞnit de prouver la densité deD(Rn)dansS(Rn). La densité deS(Rn)dansL2(Rn)découle de celle deD(Rn), qui elle provient de (i) et du lemme 4.2, ou bien directement de lexemple 1.16.3.
Claude Portenier ESPACES DE DISTRIBUTIONS
241
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi

suivant