Apports de la modélisation mécanique à l'étude de matériaux polymères multiphases

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ANNEXE 1 MODELES MECANIQUES 157 Annexe 1 Modèles mécaniques Cette annexe regroupe quelques expressions des différentes approches permettant laprédiction du comportement mécanique, et donc viscoélastique, des systèmes polymèresmultiphasés.Les fractions volumiques sont notées V et les modules d'élasticité respectivementK (compressibilité), E (Young) et G (cisaillement).Les indices c et d se rapportent aux phases continue et dispersée. I Les méthodes variationnelles [I100] [I101] I.1. Bornes de VOIGT et REUSS 1 V Vc dEV=+EVE et =+Voigt c c d dE E EReuss c d[I103] I.2. Bornes de HASHIN et ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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M
- 157 - 
ANNEXE
1
 
 
 
 
ODELES MECANIQUES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                
Cette annexe regroupe quelques expressions des différentes approches permettant la prédiction du comportement mécanique, et donc viscoélastique, des systèmes polymères multiphasés.
Les fractions volumiques sont notéesV et les modules d'élasticité respectivement K (coés)s,i bmiplirteE (Young) etG).ntmelielicas( 
Les indicescetdse rapportent aux phases continue et dispersée.
                                                                                                                                                                                                           
- I -Les méthodes variationnelles                                                                                                                                                                                                            
- I.1. -
Bornes de VOIGT[I100]et REUSS[I101] EVoigt1VcEc#VdEdet
E
1 V 1c#Vd ReussEcEd
- I.2. - Bornes de HASHIN et SHTRICKMAN[I103] (Kd+ Kc) (3 Kc+ 4 Gc) Vd K–= Kc+ + 3 Kc4 GcK3+dVc G–= G K + 9c+ 8 Gc+56VVdc(GK(dc – +2 Gc)GcG()(K3cc/G4+d+)Gc6V)d(Kc+ 2Gc) c Les bornes supérieures K+ G et+ s'obtiennent en inversant les indices c et d dans les -expressions donnant les bornes inférieures K et G-.
- 158-
Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                            
- II -Les méthodes phénoménologiques
                                                                                                                                                                                                           
- II.1. - Modèles de TAKAYANAGI[I104-I106]
· itai noacossSP-raréeiellaèl
· n ioaticossaPae-èlllraéSire
E
E
%1 1% Β Β 1 # êéëEc1% lEc# lEdùé#Β 1(1% l)Ecëêl#E1%cΒEdù%1
avec, pour les deux modèles, la condition Vd1 l.Β
- II.2. - Modèle de KRAUSS et ROLLMANN[I108] éù%1 1(1%)2##(1%)2#2 (1c%)#2c)(Ed · ModèleIsotropique AEEcaEbbdêêëêêEbaaE(1%)baa%#aa1 % % ù · ModèleIsotropique BEêë1éa(2b%a)Ed)(1aa2Ec#a2Eda()b)a(12Ec#(E1cb)% # % # %
avec, pour les deux modèles, la condition Vd1a2(
159--
3b%2a
)
Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                            - III -Les méthodes auto-cohérentes
                                                                                                                                                                                                           - III.1. - Modèle de HASHIN[I102]ou KERNER[I110]
(Kd+ Kc) (3 Kc+ 4 Gc) Vd  K = Kc+ 3 Kc+ 4 Gc3+KdVc
- III.2. - CHRISTENSEN et LO[I113]
K = K (Hashin, ou Kerner)
G est donné par la solution de l'équation quadratique :
avec
é AêëéGGcù2#BêGGc#ùC10 ë
A = 8 Gd– 1 (4 – 5Ηc)Δ1V3/d01– 2 GcG36Gcd– 1Δ2+ 2Δ1Δ3Vd7/32GG+25cd– 1Δ2Vd5/3 – GG05 d 12– 1 (7 –Ηc+ 8Η2c)Δ2Vd+ 4 (7 – 10Ηc)Δ2Δ3 c B =  –G4Gcd– 1 (1 – 5Ηc)Δ1V3/01d–G364Gcd– 1Δ2+ 2Δ1Δ3Vd7/3–04G5Gdc– 1Δ2V/53d +1  5G0d (– 1 Gc3–Ηc)Δ2ΗcVd+ 3 (15Ηc– 7)Δ2Δ3 C  G= 4d– 1 (5Ηc– 7)Δ1Vd10/3–62G3Gdc– 1Δ2+ 2Δ1Δ3Vd7/3G–2G52cd– 1Δ2Vd3/5 Gc + 2 5 Gd– 1 (Η2c– 7)Δ2Vd– 5(7 +Ηc)Δ2Δ3 Gc
Δ1 = (49 –50ΗcΗdG)GdcGG1+35–dc(Ηd– 2Ηc) + 35 (2Ηd–Ηc) Δ2 = 5ΗdGd–7G8+Gdc+ 4 Gc Δ3 =GGd(8 – 10Ηc – 5) + (7Ηc) c
- 160-
Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                - III.3. - Modèle de HERVE et ZAOUI[I114]
 K = K(n)eff= Kn1(R+R33n–1/R–Rn3n–13) 31 K(–n)1fef– Kn+nR33 Kn+ 4 Gn n
G est donné par la solution de l'équation quadratique : AêëéGcù2#BêëéGGc#ùC10 G
Avec
A = 4 R0n1(1–2Ηn) (7–10Ηn) Z12+ 20 Rn7(7–12Ηn+ 8Ηn2) Z42+ 12 R5n(1–2Ηn) (Z14– 7Z23) + 2 0 R3(1–2Η)2 16 (4–5Z +Η) (1–2Η) Z           
B = 3 R10n(1–2Ηn) (15Ηn– 7) Z12+ 60 Rn7(Ηn–3)ΗnZ42–24 Rn5(1–2Ηn) (Z14– 7Z23) – 40 R3(1–2Η)2Z – 8 (1–Η5 ) (1–2Η) Z           
1   C = – Rn0(1–2Ηn) (7+ 5Ηn) Z12+ 10 R7n(7 –Ηn2) Z42+12 Rn5(1–2Ηn) (Z14– 7Z23) + 2 0 R3(1–2Η)2 (7– 8Z –Η (1–25 )Η) Z           Za = Pa–n(1)1P(n2–1)– P1–1(n)P(an2–1)aveca Î1,4 etÎ1,4
P(n )=PnM(j) = 1
M ( k)–(115=Η1) * k+   c3k*R2k(3 b*k– 7 ck*–)12ak*4(fk*2–7ak*)3 5 (1 – 2Ηk)R5k 2 –15 (1Ηk) Rk (1+1) bk* – 2–20 (1Ηk+1)* –12 2 (1 –Ηk+1)ak* ak 07–(12–Ηk2Ηk) 7 Rk77 R5k 2(1 –Ηk) R5kak*7(2 ak*+ 147a* *R2k(105(1 –Ηk+1)+12ak*(7 – 10Ηk+1)–7ek*) k) dk 2 –Rk70 (1 – 2Ηk) 7 35 (1 – 2Ηk) –56(1–2Ηk +1) R3kak*2–2(11(7Η–k+21Η)k)R5kak*31(20–(1–Ηk2+Η1)ke)k*
Avec   * ak*= (*k) (7 + 5Ηk) (7 – 10Ηk+1) – (7 – 10Ηk) (7 + 5Ηk+1) k+1
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