CAPES des sciences physiques tome 1 - physique cours et exercices

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1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL1.1. Grandeurs cinétiques fondamentalesPour un point matériel M, de masse m,animéd’uneM−→vitesse v par rapport à un référentiel R donné, ondéfinit les grandeurs cinétiques suivantes :* Quantité de mouvement : pO−→−→p = m v R* Moment cinétique en un point A :−→→−−→s = AM∧ pA(moment en A de la quantité de mouvement).* Énergie cinétique :1 2E = mvc 21.2. Principe de l’inertie; référentiels galiléensre(1 loi de Newton)Principe : Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité demouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvementrectiligne uniforme).Cette loi fait des droites des objets cinéma-y y1 2tiques privilégiés. Ce sont aussi des objetsgéométriques privilégiés (dans un espaceeuclidien).Les référentiels galiléens sont en transla- Vx x1 2O O1 2tion rectiligne uniforme les uns par rap-port aux autres. L’opérateur qui permet R R1 2z zde passer d’un référentiel à un autre est 1 2la transformation de Galilée G(V ). Ellecontient l’homogénéité et l’isotropie del’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’informationest supposée infinie. Dans l’hypothèse où R est en translation rectiligne uniforme de2vitesse V par rapport à R , dans la direction parallèle à Ox (Fig. ci-dessus), la relation11. MÉCANIQUE 15 entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL 1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales Pour un point matériel M, de massem, animé d’une vitessevpar rapport à un référentiel R donné,on définit les grandeurs cinétiques suivantes : * Quantité de mouvement : p=m v
* Moment cinétiqueen un point A :
sA=AMp
(moment en A de la quantité de mouvement). * Énergie cinétique :
1 2 Ec=mv 2
O R
1.2. Principe de l’inertie; référentiels galiléens re (1 loide Newton)
M
p
Principe :Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité de mouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvement rectiligne uniforme).
Cette loi fait des droites des objets cinéma y y 1 2 tiques privilégiés. Ce sont aussi des objets géométriques privilégiés (dans un espace euclidien). Les référentiels galiléens sont en transla x Vx 1 2 O O 1 2 tion rectiligne uniforme les uns par rap port aux autres. L’opérateur qui permetR R 1 2 z z de passer d’un référentiel à un autre est 1 2 la transformation de GaliléeG(V). Elle contient l’homogénéité et l’isotropie de l’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’information est supposée infinie. Dans l’hypothèse où R2est en translation rectiligne uniforme de vitesseVpar rapport à R1, dans la direction parallèle à Ox(Fig. cidessus), la relation
1. MÉCANIQUE15
entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O1, O2et les trois axes de directions fixes associés) :     x11 0 0V x2 y100 1 0y2 = z1 0 0 10 z2    t10 0 01t2
Matriciellement, cette relation s’écrit :   [X1]=G(V) [X2]   Il est facile de montrer que l’ensembleG(Vtransformations de Galilée a une) des structure degroupe:     "G(V)G(V)=G(V) oùV=V1V
Les lois de la mécanique classique sont invariantes dans les transformations du groupe de Galilée.
1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentiels e galiléens (2loi de Newton)
Principe :Dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport au temps est égale à la somme des forces qu’il subit.   −→ dp−→ =f dt Rgal
Dans un autre référentiel galiléen, le principe fondamental appliqué à ce point s’écrit exactement de la même façon, puisque deux référentiels galiléens ne sont pas accélérés l’un par rapport à l’autre. Dans le cas oùla masse du point est constante, ce principe s’écritm a=f
e 1.4. Principe des actions réciproques (3loi de Newton) −−→ Principe :Si un point matériel 1 exerce sur un point matériel 2 une forceF12, alors le point matériel 2 exerce sur 1 une force opposéeF21=F12
Cette loi suppose une transmission instantanée de l’information. Ainsi, le principe des actions réciproques n’estil plus valable dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte.
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1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens R2est en translation par rapport à R1 y yM 1 2 (translation non rectiligne uniforme).
Principe :Le principe fondamental de la dynamique dans R2non galiléen s’écrit : x x 1 2 O O 1 2   dp=f1fie(M) dt R2 z z R R 1 2 1 2 Galiléen entranslation non rectiligne uniforme fie(M) est la force d’inertie d’entraînement du par rapport à R point M due à l’accélération de R2par rapport 1 à R1galiléen.
Dans le cas d’unetranslation, l’accélération d’entraînement du point M ne dépend ni de sa position par rapport à R2ni de sa vitesse par rapport à R2et on a :
  2−−−→ d O1O2 fie(M)=m ae(M)=m a(R2/R1)=m 2 dt
a(R2/R1) est l’accélération de R2dans sa translation par rapport à R1.
R2est en rotation autour d’un axe par rap port à R1
Principe :Le principe fondamental de la dyna mique dans R2non galiléen s’écrit :   −→ dp−→−→ −→ =f1fie(M)1fic(M) dt R2 −→ fie(M) est la force d’inertie d’entraînement du x point M due à la rotation de R2par rapport à R11 −→ galiléen etfic(M) la force d’inertie de Coriolis du point M.
R 1 z 1 H
z 2
O
R 2 x 2
M y 2
y 1
L’accélération d’entraînementdu point M comporte deux termesdépendant de la posi tion de M dans R2. L’un d’entre eux est la cause de la célèbre force d’inertie centrifuge, l’autre n’intervient que si la rotation de R2par rapport à R1est non uniforme. SiV(R2/R1)
1. MÉCANIQUE17
désigne le vecteur rotation (ici parallèle à Oz1) de R2par rapport à R1, on a : 2dV(R2/R1) fie(M)=m ae(M)=mVHMmOM    dt force d’inertie 2 centrifuge (en mVr)
où H est le projeté orthogonal de M sur Oz1 L’accélération de Coriolisdu point M dépend de lavitesse de M dans le référentiel −→ entraînéR2,vR2(M) −→ fic(M)=2mV(R2/R1)vR2(M)
1.6. Théorème du moment cinétique
Théorème :La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M en un point fixe O d’un référentiel galiléen est égale à la somme des moments en ce point des forces subies par M :   −→ dsO=MO(f) où MO(f)=OMf dt Rgal
Pour utiliser le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter à la somme des moments les moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis, soit OMfie(M) et OMfic(M).
1.7. Théorème de l’énergie cinétique Cas d’un référentiel galiléen Théorème :Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique du point M entre deux instantst1ett2est égale à la somme des M 1 travaux des forces subies par M entre ces deux instants. O −→ DEc=Ec2Ec1=W12(f) R gal M 2 M2 W12(f)=fdOM M1 Sivdésigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la forcefà un instant donnéest : dWP(f)= =fv dt
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Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance def entre deux instants : t2 W12(f)=P(f)dt t1 Cas d’un référentiel non galiléen: il faut ajouter à la somme des travaux des forces, les travaux des forces d’inertie d’entraînement.
Remarque :la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaque instant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance est toujours nulle) : −→ P(fic(M))=fic(M)vR2(M)=0, (t)
1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique Forces conservatives: une force est conservative si son travail lors du déplacement du point matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particulier sur un contour fermé quelconque : fdOM=0,C, fermé C Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe une fonction scalaireEp(x,y,z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que : f(x,y,z)=gradEp(x,y,z) On a alors WAB(f)=Ep(A)Ep(B) L’énergie potentielleEp(x,y,z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forcesf dérive d’un potentiel. −→ Etant donné un champ de forcesf, il est donc conservatif si rot(f)=0 Conservation de l’énergie mécanique :en appliquant le théorème de l’énergie ciné tique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que : Théorème :L’énergie mécaniqueEm=Ec1Epd’une particule soumise uniquement à des forces conservatives ne dépend pas du temps : dEm =0 dt Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussi soumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à condition que cellesci ne travaillent pas.C’est en particulier le cas en l’absence de frottements, mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse à tout instant.
1. MÉCANIQUE19
1.9. Forces centrales Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’action de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’une énergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales aux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écritF=f(r)ur, oùurest le dEp vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avecf(r)=. dr Propriétés :Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. On observe les propriétés suivantes : −→ – Lemoment cinétique en OsO(M) du point matériel est conservatif. −→ – Lemouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire àsO(M) et passant par O. On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires. – Lemouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une duréeDtdonnée, le rayon vecteur OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M. −→ −→ – L’énergiemécanique du point M dans un champ de forces centralF=f(r)urest conservative. Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressions générales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r,u) à des relations ne faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constante 2 des airesCparsO(M)=mC, on aC=r, et :     21    2 2 2d 1 d1C1r 2 2  v=C1a=1ur 22rdurr rdu
Voir exercices 1 à 15
2. OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION. OSCILLATIONS LIBRES 2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivant d’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écarte de cette position ; commeF=grad(Ep), cela se traduit par unminimum de l’énergie potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et de leur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologie compliquée (points selles,... )
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