[cel-00339827, v1] Cours de mécanique statistique Master 1ere annee

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´COURS DE MECANIQUE STATISTIQUE` ´MASTER PREMIERE ANNEE´UNIVERSITE LYON-1Monique Combescure3 janvier 1970cel-00339827, version 1 - 19 Nov 2008TABLE DES`MATIERES´ ´I] QUELQUES NOTIONS ELEMENTAIRES EN STATISTIQUEI-1 Variables al´eatoiresI-2 Distributions de Probabilit´es `a plusieurs VariablesI-3 Sommes de Variables Al´eatoires´II] RAPPELS DE MECANIQUE CLASSIQUEII-1N Particules Classiques de massemII-2 L’Espace de PhaseII-3] L’´equation de LiouvilleII-3-1 Le Rˆole de l’Ensemble en M´ecanique statistiqueII-3-2 Le Flux dans l’Espace de PhaseII-3-3 Les Ensembles Stationnaires´III] LES ENSEMBLES D’EQUILIBREIII-1 IntroductionIII-2 L’Ensemble MicrocanoniqueIII-3 L’Ensemble CanoniqueIII-4 L’Ensemble Grand-Canonique´ ´IV] L’EQUIVALENCE DES ENSEMBLES D’EQUILIBREIV-1 La Limite ThermodynamiqueIV-2 L’Extensivit´e des Propri´et´es ThermodynamiquesIV-3 La Dispersion (les “Fluctuations”) de l’´energie dans l’Ensemble canoniqueIV-4 Relation entre les Ensembles Microcanonique et CanoniqueIV-5 La M´ethode de la Phase Stationnaire (parenth`ese math´ematique)IV-6 Relation entre les Ensembles Canonique et Grand-CanoniqueV] LES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE´V-1 L’Equilibre entre deux Syst`emes en ContactV-2 Le Deuxi`eme Principe de la ThermodynamiqueVI] APPLICATION AUX OSCILLATEURS HARMONIQUES1cel-00339827, version 1 - 19 Nov 20082VI-1 La Fonction de Partition Canonique de l’Oscillateur Harmonique` ´VII] LES SYSTEMES MAGNETIQUESVII-1 Syst`emes ...
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´COURS DE MECANIQUE STATISTIQUE
` ´MASTER PREMIERE ANNEE
´UNIVERSITE LYON-1
Monique Combescure
3 janvier 1970
cel-00339827, version 1 - 19 Nov 2008TABLE DES
`MATIERES
´ ´I] QUELQUES NOTIONS ELEMENTAIRES EN STATISTIQUE
I-1 Variables al´eatoires
I-2 Distributions de Probabilit´es `a plusieurs Variables
I-3 Sommes de Variables Al´eatoires
´II] RAPPELS DE MECANIQUE CLASSIQUE
II-1N Particules Classiques de massem
II-2 L’Espace de Phase
II-3] L’´equation de Liouville
II-3-1 Le Rˆole de l’Ensemble en M´ecanique statistique
II-3-2 Le Flux dans l’Espace de Phase
II-3-3 Les Ensembles Stationnaires
´III] LES ENSEMBLES D’EQUILIBRE
III-1 Introduction
III-2 L’Ensemble Microcanonique
III-3 L’Ensemble Canonique
III-4 L’Ensemble Grand-Canonique
´ ´IV] L’EQUIVALENCE DES ENSEMBLES D’EQUILIBRE
IV-1 La Limite Thermodynamique
IV-2 L’Extensivit´e des Propri´et´es Thermodynamiques
IV-3 La Dispersion (les “Fluctuations”) de l’´energie dans l’Ensemble canonique
IV-4 Relation entre les Ensembles Microcanonique et Canonique
IV-5 La M´ethode de la Phase Stationnaire (parenth`ese math´ematique)
IV-6 Relation entre les Ensembles Canonique et Grand-Canonique
V] LES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
´V-1 L’Equilibre entre deux Syst`emes en Contact
V-2 Le Deuxi`eme Principe de la Thermodynamique
VI] APPLICATION AUX OSCILLATEURS HARMONIQUES
1
cel-00339827, version 1 - 19 Nov 20082
VI-1 La Fonction de Partition Canonique de l’Oscillateur Harmonique
` ´VII] LES SYSTEMES MAGNETIQUES
VII-1 Syst`emes Magn´etiques
VII-2 M´ecanique Statistique du Mod`ele d’Ising
VII-3 Calcul de la Fonction de Partition Canonique d’un Syst`eme Magn´etique Simple :
spins sans interaction
VIII] LES TRANSITIONS DE PHASE
VIII-1 Observations Exp´erimentales
VIII-2 L’Approximation de Champ Moyen pour un Ferromagn´etique
VIII-3 L’Approximation de Champ Moyen pour un gaz
´ `IX] MECANIQUE STATISTIQUE DES SYSTEMES QUANTIQUES
IX-1 Rappels en M´ecanique Quantique
IX-2 La Matrice Densit´e
IX-3 Les Matrices-Densit´e Stationnaires
X] LES GAZ PARFAITS QUANTIQUES
X-1 L’Hamiltonien du Gaz Parfait et ses Fonctions Propres
X-2 Caract´erisation `a l’aide des Nombres d’Occupation
X-3CalculdelafonctiondePartitiond’unSyst`emeQuantiquedeParticulesInd´ependantes
´XI] GAZ DE FERMIONS INDEPENDANTS
´XI-1 Caract´erisation de l’Etat Fondamental
XI-2 Thermodynamique `a Tr`es Basse Temp´erature
´XII] GAZ DE BOSONS INDEPENDANTS
XIII] GAZ DE PHOTONS
´XIII-1 Les Equations de Maxwell
´XIII-2 Quantification des modes de Vibration du Champ Electromagn´etique
´XIII-3 Le Corps Noir : un Syst`eme de Photons `a l’Equilibre
` ´XIV] SYSTEMES MOLECULAIRES
XIV-1 Gaz monoatomiques
XIV-2 Gaz de mol´ecules diatomiques
XIV-3 Conclusions
cel-00339827, version 1 - 19 Nov 2008Chapitre 1
´Quelques Notions El´ementaires en
Statistique
1.1 Variables Al´eatoires
Exemple 1 :
On jette un d´e. Le r´esultat sera 1 ou 2 ou... ou 6, mais ne peut ˆetre pr´edit : c’est une
variable al´eatoire (D´e se dit ALEA en latin).
SoitP(n) la probabilit´e que le r´esultat soitn (n = 1,2,...,6). Pour un d´e “non-pip´e”,
on a ´evidemment
1
P(n) = ,∀n= 1,2,...6
6
tandis que pour un “d´e pip´e” lesP(n) peuvent ˆetre diff´erents de 1/6. Mais dans tous les
cas on aura
0≤P(n)≤ 1
6X
P(n)≡P(1)+P(2)+...+P(6) = 1
1
Cette condition dite “de normalisation” exprime qu’on est suˆr que n prendra l’une des
valeurs 1,2,...,6.
Plus g´en´eralement une variable al´eatoire (discr`ete)n est sp´ecifi´ee par :
(i) L’ensembleX des valeurs qu’elle peut prendre
(ii) Une fonctionP(n) telle que
0≤P(n)≤ 1, ∀n∈X
3
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(iii) la condition X
P(n) = 1
n∈X
On appelleP(n) la loi de probabilit´e den.
Exemple 2 :
OnmesureladirectionduventausommetdelaTourEiffel.Ler´esultatestunangleentre0
et2π (0 est le Nord par convention), mais ne peutˆetre pr´edit : c’est une variable al´eatoire.
SoitP(ϕ )Δϕ le probabilit´e que la direction du vent se situe dans l’intervalle0 0
[ϕ −Δϕ , ϕ +Δϕ ]. Il est sous-entendu que Δϕ est suffisamment petit pour que0 0 0 0 0
la variation deP(ϕ) dans cet intervalle soit n´egligeable.
La probabilit´eP(ϕ )Δϕ est ´egale `a l’aire hˆachur´ee sur la figure.0 0
φ>
Elle a une valeur comprise entre0 et1. Afin d’obtenir la condition de normalisation, il
faut diviser l’intervalle [0,2π] en petits sous-intervalles de longueur Δϕ et sommer sur0
`les aires hˆachur´ees correspondantes. A la limite Δϕ → 0 ceci donne0Z 2π
dϕP(ϕ) = 1
0
comme condition de normalisation (c’est l’aire sous la courbe).
Plus g´en´eralement, une variable al´eatoire continuex est sp´ecifi´ee par
(i) L’ensembleX des valeurs qu’elle peut prendre
(ii) Une fonctionP(x) non-n´egative telle queZ
dxP(x)= 1 normalisation
X
Remarquer qu’il n’y a pas de borne sup´erieure pour P(x). La fonction x7! P(x) est
appel´ee la loi de probabilit´e ou la densit´e de probabilit´e.
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>5
Souvent on ne fait pas la distinction entre les cas continu et discret et on dit que :
“P(x) est la probabilit´e d’obtenir la valeurx”
quand on devrait dire :
“P(x)Δx est la probabilit´e d’ontenir une valeur dans l’intervalle [x−Δx,x+Δx]”.
Ce l´eger abus de langage est permis quand on a compris ce qu’est une distribution de
probabilt´e.
Les variables al´eatoires en physique :
Les variables al´eatoires telles qu’on les a d´efinies ci-dessus pourraient ˆetre consid´er´ees
comme des objets purement math´ematiques. On serait alors libre de choisir la fonction
P(x) sans aucune contrainte. Cependant comme le sugg`erent les exemples donn´es plus
haut,onconsid´ereraparlasuitecertainesgrandeursphysiquescommedesvariablesal´eatoires,
par exemple :
3- Le nombre d’atomes dans un sous-volume d´elimit´e de 1 cm `a l’int´erieur d’un r´ecipient
contenant un gaz
- Le nombre de d´esint´egrations par seconde dans un ´echantillon donn´e d’un mat´eriau ra-
dioactif
- La vitesse d’une particule sp´ecifi´ee dans un gaz contenu dans un r´ecipient
De fac¸on g´en´erale il s’agit de grandeurs bien d´etermin´ees, mais dont la valeurx varie
rapidement avec le temps, sans qu’on puisse (ou veuille) mesurer cette variation exacte-
ment. On introduit alors une loi de probabilit´eP(x), cens´ee r´esumer nos connaissances sur
la grandeur en question `a chaque instant.
Il est ´evident que les lois P(x) d´ecrivant des grandeurs physiques ne peuvent ˆetre arbi-
traires. Elles doivent ˆetre compatibles avec les lois fondamentales de la physique. Les lois
de probabilit´e employ´ees dans ce cours seront :
- ou bien d´eduites de quelques postulats de base plus les lois de la physique
- ou bien postul´ees sans aucune d´emonstration, parce qu’elles sont “plausibles”.
Dans tous les cas on les consid´erera comme justifi´ees si les r´esultats de la th´eorie sont
conformes aux r´esultats exp´erimentaux.
Finalement, si la grandeur physique en question est telle qu’on peut l’observer directement
dansuneexp´erience,onpeutend´eterminerladistributiondeprobabilit´eexp´erimentalement.
P(x) sera connue avec une pr´ecision d’autant plus grande que le nombre d’observations
est grand.
´EXEMPLES DE LOIS DE PROBABILITES :
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6
6
• distributions continues :
1) distribution exponentielle :
−axP(x)=ae , x∈X := [0,∞), a> 0
2) Loi de Lorentz ou de Cauchy
1 a
P(x) = x∈R, a= 0
2 2πx +a
3) distribution uniforme sur un intervalle :
1
P(x) = , a<b, x∈ [a,b]
b−a
4) Loi Gaussienne (ou loi normale) :
(Gauss 1809, Laplace 1790, De Moivre 1733)
21 (x−a)
P(x)= exp − , b = 0, x∈R√
22 2b2πb
R
Exercice 1 : V´erifier que dans tous les cas on a bien dxP(x)= 1
X
• Distributions discr`etes :
(la variable al´eatoire est appel´een au lieu dex)
5) loi de Poisson :
na−aP(n) =e , n∈N
n!
6) loi binomiale :
N n N−nP(n) = p (1−p) , 0<p< 1, n∈{1,2,...,N}
n P
Exercice 2 : V´erifier que dans ces derniers cas P(n) = 1n
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`D´efinition 1.1.1 A partir de la loi de probabilit´eP(x), on peut d´efinir les quantit´es
suivantes : R
moyenne de x :x¯≡hxi= dxxP(x)R
moyenne d’une fonctionx7!g :g¯= dxg(x)P(x)R
m mmi`eme moment dex :hx i = dxx P(x), m∈N
l’´ecart `a la valeur moyenne dex : Δx =x−x¯
l’´ecart quadratique moyen, ou variance :
2 2 2σ =h(x−x¯)i =h(Δx)ix
la d´eviation standard ou ´ecart-type :σx
2 2 2Exercice 3 : Montrer queσ =hxi−hxi
x
Exercice 4 : Les d´efinitions ci-dessus ont ´et´e donn´ees pour une distribution de proba-
´bilit´e continue. Ecrire les d´efinitions analogues pour une loi de probabilit´e discr`ete.
Exercice 5 : Calculerx¯ etσ pour les exemples 1) `a 6) de lois de probabilit´es donn´eex
plus haut. Quel nouveau ph´enom`ene apparaˆıt dans le cas 2)? Pour les exemples 5) et 6),
adapter les d´efinitions dex¯ etσ .x
D´efinition 1.1.2 La transform´ee de Fourier deP(x)Z
+∞
ikxG(k) := dxe P(x)
−∞
s’appelle la fonction caract´eristique de la variable al´eatoire . Si X est stricte-
ment contenu dans R, par exemple un intervalle, il est clair qu’on prendraP(x) =
0, six∈/ X
Exercice 6 : Montrer les propri´et´es suivantes :
|G(k)|≤ 1, ∀k∈R
G(0) = 1
2 3(ik) (ik)¯2 ¯3G(k) = 1+ikx¯+ x + x +...
2! 3!
`aconditionquetouslesmomentssoientfinis.OnditqueG(k)estlafonctiong´en´eratrice
des moments.
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<
8
Exercice 7 Soit x une variable al´eatoire continue d´ecrite par une loi de probabilit´e
continue P(x). Soit α un param`etre r´eel. La quantit´e y≡ αx est aussi une variable
˜al´eatoire; montrer que sa loi de probabilit´eP(y) est donn´ee par
1 y
˜P(y)= P
α α
1.1.1 Distributions de probabilit´es `a plusieurs variables
X peut ˆetre un sous-ensemble d’un espace vectoriel. Si x et x sont deux variables1 2
al´eatoires,alorslecouple(x ,x )est aussiunevariableal´eatoire.Demˆeme pouruntriplet1 2
(x ,x ,x ), etc...1 2 3
Exemple 1 : Une particule dans une boite cubique d’arˆeteL. La variable al´eatoire est
la positionx := (x ,x ,x ) de la particule.1 2 3
x3
L
x1
x
2
L
3 3X := [0,L] ⊂R , P(x)≡P(x ,x ,x )1 2 3
et la condition de normalisation s’´ecrit :
Z Z ZL L L
P(x ,x ,x )dx dx dx = 11 2 3 1 2 3| {z }0 0 0
Probabilit´equelestroiscoordonn´eescart´esiennes
de la particule aient des valeurs entrex etx +dx ,x etx +dx ,x etx +dx .1 1 1 2 2 2 3 3 3
−3Exercice 1 : Montrer que siP(x ,x ,x ) est uniforme, alorsP(x ,x ,x ) =L1 2 3 1 2 3
3Exemple 2 : La variable al´eatoire est la vitesse d’une particule : X = R , x =
(v ,v ,v )≡~v.1 2 3
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<9
Uneloideprobabilit´eparticuli`erepourlavitessed’uneparticule,qu’onrencontrefr´equemment
en physique est la distribution des vitesses de Maxwell, d´enot´eeP :M
3/2 2m m~v
P (~v)≡ exp −M
2πk T 2k TB B
2 2 2 2ou`~v ≡v +v +v
1 2 3
m est la masse de la particule
T est la temp´erature
k est la constante de BoltzmannB
Cette loi sera d´emontr´ee plus tard dans ce Cours.
Exercice 3 : Montrer que la distribution de Maxwell est normalis´ee.
Exemple 4 : La variable al´eatoire est la paire (position, vitesse) d’une particule. Donc
6x≡ (~r,~v) = (x ,x ,x ,v ,v ,v )∈R1 2 3 1 2 3
3 3Exercice 3 : Montrer que la distribution particuli`ere dansX≡ [0,L] ×R
−3P(~r,~v) =L P (~v)M
est normalis´ee.
D´efinitions :
Onconsid´ereralecasd’unedistributionP(x,y)`adeuxvariablesr´eelles.Lesg´en´eralisations
`a plus que deux variables sont ´evidentes. Soitg(x,y) une fonction arbitraire dex,y.
Moyenne deg : Z Z
g(x,y) = dx dyg(x,y)P(x,y)
Moments : Z Z
m nm nx y = dx dyx y P(x,y)
Lois marginales :
Il arrive souvent que l’on consid`ere des fonctions g(x,y) qui ne d´ependent que de l’une
des variables, soit dex par exemple :g(x,y) =h(x). On a alors :Z Z
g(x,y)=h(x) = dxh(x) dyP(x,y)| {z }
≡P (x)1
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