Comment factoriser une expression

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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION ? 1) La méthode du facteur commun : Le principe : Si tous les produits d’une même somme contiennent un même facteur ,on appelle ce facteur, le facteur commun. On applique alors la formule: ka + kb = k(a + b) Exemples Commentaires 3x + 12 Dans cette somme le facteur commun est le nombre 3 On met en évidence le facteur commun =3x + 3 ×4 On met en facteur 3 =3(x + 4) 24x + 2xDans cette sommun est l’expression 2x On met en évidence le facteur commun, 2x est le produit de 2x par 1 =2x ×2x + 2x × 1 On met en facteur 2x =2x (2x + 1) (3x + 1)(x + 2) – (x + 2)(x – 5) Dans cette expression le facteur commun est l’expression (x + 2) =(x + 2)[(3x + 1) – (x – 5)] On met en facteur (x + 2) =(x + 2)( 3x + 1 – x + 5) On développe à l’intérieur des crochets =(x + 2)(2x + 6) On réduit, 2 est le facteur commun de la somme 2x + 6 = 2(x + 3) =(x + 2)[2(x + 3)] =2(x + 2)(x + 3) 2(x + 3) + 2(x + 3) (x + 3) est le facteur commun 2=(x + 3)(x + 3) + 2(x + 3) a est le produit de a par a, on met le facteur commun en évidence =(x + 3)[(x + 3) + 2] on met (x + 3) en facteur =(x + 3)(x + 5) on développe et on réduit à l’intérieur des crochets (x – 5)(x + 2) – (x – 2) Il n’y a pas de facteur commun dans cette expression 2) Les identités remarquables 2 222 2222ab+= a+2ab+b ab− =−a 2ab+b ab− =−aba+b () () ( ) ( ) Exemples Commentaires 2 22x - 6x + 9 ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.frCOMMENT FACTORISER  UNEEXPRESSION ? 1) Laméthode du facteur commun : Le principe : Si tous les produits d’une même somme contiennent un même facteur ,on appelle ce facteur,le facteur commun. On applique alors la formule:ka+kb =k(a+b) Exemples Commentaires 3xDans cette somme le facteur commun est le nombre 3+ 12 =3x+ 3×4 Onmet en évidence le facteur commun =3(x+ 4)On met en facteur 3 2 4x+ 2x Danscette somme le facteur commun est l’expression 2x=2x×2x+ 2x×1 Onmet en évidence le facteur commun, 2xest le produit de 2xpar 1 =2x(2x+ 1)On met en facteur 2x(3x+ 1)(x+ 2) – (x+ 2)(xDans cette expression le facteur commun est l’expression (– 5)x+ 2) =(x+ 2)[(3x+ 1) – (xOn met en facteur (– 5)]x+ 2) =(x+ 2)( 3x+ 1 –x+ 5)On développe à l’intérieur des crochets =(x+ 2)(2xOn réduit, 2 est le facteur commun de la somme 2+ 6)x+ 6 = 2(x+ 3) =(x+ 2)[2(x+ 3)] =2(x+ 2)(x+ 3) 2 (x+ 2(+ 3)x+ 3)(x+ 3) est le facteur commun 2 =(x+ 3)(x+ 3) + 2(x+ 3)aest le produit deapara, on met le facteur commun en évidence =(x+ 3)[(x+ 3) + 2]on met (x+ 3) en facteur =(x+ 3)(xon développe et on réduit à l’intérieur des crochets+ 5) (x– 5)(x+ 2) – (x– 2)Il n’y a pas de facteur commun dans cette expression 2) Lesidentités remarquables 2 2 2 22 22 2 (a+b)=a+2ab+b(ab)=a2ab+bab=(ab(a+bExemples Commentaires 2 2 2 x- 6x+ 9On vérifie si cette expression est une de la formea2ab+b2 2 22 =(x– 3) axb 9 =(x– 3)(x– 3)axb3 On vérifie le double produit 2ab= 2x×3 = 6x2 2 2 On a bien à faire à une identité remarquablea2ab+b=(ab)2 22 2 4x+ 12x+ 9a4xb 9 2 =(2x+ 3)a2xb3 =(2x+ 3)(2x+ 3)On vérifie le double produit 2ab= 2(2x)×3 = 12x2 2 2 On a bien à faire à une identité remarquablea+2ab+b=(a+b)2 22 x+ 4x+ 16ax²b 16 axb4 On vérifie le double produit 2ab= 2x×4 = 8x2 2 2 Ce n’est pas une identité remarquablea+2ab+b=(a+b)2 2 2 4x- 9On reconnaît la formeab=(ab(a+b=(2x– 3)(2x+ 3) 2 22 a4xb9 a2xb3 2 2 2 4(x- 9– 3)On reconnaît la formeab=(ab(a+b=[2(x– 3) – 3][2(x– 3) + 3]2 22 a4(x– 3)b9 =(2x– 6 – 3)(2x– 6 + 3) a2(x– 3)b3 =(2x– 9)(2x– 3) 2 4x+ 9Il n’y a ni facteur commun ni identités remarquables Page 1/3
e.fr M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.freEXERCICE CORRIGE Factorisezau maximumles expressions suivantes : 1)(x+2(2x3+(x+2(5x+(57 2)+2)(2x1)(5x+2)(5x) 3) 4x(x+3)+2(x+3) 4)x(x+4)2x(2x+3) 5) 3x+2+(x+4)(3x+2) 6)(4x+6 (x1)+2x+3x9 2 2 7)(2x+7)+(2x+7) (6x+8) 8)x4+(x+2(3x5 2 9) (2x5)(x+1)+(52x)(2x1) 10)3(4x)+(x+2)(x4) 22 22 11)(53)(x+1)+6x10x+(35x) 12)(2x+1)4x2+4x1 2 2 2 13)(2x4)3x+96 14)+12x+42x(3x+2+(49x)CORRECTION 1)Facteur apparent2)Facteur apparent (5+2) (2x1)(5x+2) (5x) (x+2)(2x3+(x+2)(5x+7     facteur facteur facteur communfacteur commun commun commun =(x+2)(2x3)+(5x+7) =(5x+2)(2x1)(5x)    facteur communattention facteur au signe -commun devant la =(x+2) (2x3+5x+7) parenthèse=x+2 7x+4 ( )( )=(5x+2)[2x15+x] =(5x+2)(3x6) =(5x+2)(3(x2))factorisation au maximum =3(5x+2)(x2) 3)Facteur apparent 4)Facteur apparent4x(x+3)+2 (x+3)x(x+4)2x(2x+3) N N facteur facteur facteur facteur commun commun commun commun =x(x+42(2x+3)) =(x+3)(4x+2)N  facteur facteurcommun commun =x(x+44x6) =(x+3)(2(2x+1)) =x(5x2) =2(x+3) (2x+1) =x((1)(5x+2)) facultatif,mais limite = −x(5x+2) le nombre de signes -5)Facteur apparent 6)Faire apparaître le facteur commun+ ++ + 3x2 (x4)(3x2)(4x+6 (x1)+(2x+3(x9 astuce P=(2(2x+3)(x1))+(2x+3)(x9) =(3x+2)×1+(x+4) (3x+2) à retenir :  =2(2x+3) (x1)+(2x+3)(x9) =(3x+2)×1+(x+) (x+)3x+2=(3x+2)×1 4 32     facteur facteur facteur communfacteur communcommun commun =(3x+2)1+(x+4) =(2x+3)2(x1)+(x9)    facteur commun =(2x+3)(2x2+x9) =(3x+2)(x+5) =(2x+3)(3x11)
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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.fr7)8)Identités remarquablesidentité reNmarquable 2 2 x4+(x+2(3x5 (2x+7)+(2x+7)(6x+8) =(2x+7) (2x+7)+(2x+7) (6x+8)ab=a+b ab 2 2 ( )( )      facteur commun "exemplairefacteur commun ( )( )( )( supplémentaire"=x+2x2+x+2 3x5)  facteur facteur commun commun   =(2x+7)(2x+7)+(6x+8) =(x+2)((x2)+(3x5))     facteur commun"exemplaire restant" =(x+2) (x2+3x5)   =(2x+7) (2x+7+6x+8)=(2x+7) (8x+15)=(x+2) (4x7) 9)Transformations d’écriture 10)Transformations d’écriture2 (2x5(x+1+(52x(2x13 4+− +24 (x) (x) (x) =(2x5)(x+1)+(2x+5) (2x1) 2 =3(x+4)+(x+2) (x4)  à retenir : factorisation par -1 pour faire apparaitre2 2 2 le fa= − −+x+4=x4 cteur commun3((x4))(x+2)(x4)( )( ) 2 2 =(2x5) (x+1)+(1) (2x5) (2x1) =3(1) (x4)+(x+2) (x4)  facteur communfacteur commun =3(x4) (x4)+(x+2) (x4) =(2x5)(x+1)+(1)(2x1)  facteur facteur facteur commun commun commun =(2x5)[x+12x+1] =(x4)3(x4)+(x+2) =(x4) (3x12+x+2)    =(2x5)(x+2)facteur commun =(x4(4x10=(x4(2(2x5=2(x4(2x5 11)Faire apparaître le facteur commun12)Identités remarquables2 2 2 2 + −− +(5x3) (x+1)+6x10x+(35x)(2x1 4x2(4x1)  =(2x+1)(2x+1)2(2x+1)+(2x+1)(2x1)      =(1)×(35) (x+1)+2x(35x)+(35x) (35x) facteur facteurfacteur   communcommun commun facteur communfacteur communfacteur commun =(2x+1)(2x+1)2+(2x1)  =(35x)(1)×(x+1)+2x+(35x)  =(2x+1)(2x+12+2x1)=(2x+1) (4x2) =(35x)[x1+2x+35x]=(35x)(4x+2) =(2x+1)(2(2x1))=2(2x+1)(2x1) =(35x)(2(2x+1))=2(35x) (2x+1) 13)Faire apparaître le facteur commun14)Identités remarquables2   (2x43x+6   2 2 9x+12x+42x(3x+2)+49x =(2x4)(2x4)3(x2)     identité remarquableidentité remarquable 2 22 2 2 ab=(ab)(a+b) =(2(x2))(2x4)3(x2)  a+2ab+b=(a+b) 2 =(3x+2)2x(3x+2)+(23x) (2+3x) =2(x2)(2x4)3(x2)facteur facteur =(3x+2)(3x+2)2x(3x+2)+(23x) (3x+2)commun commun    facteur facteurfacteur =(x2)2(2x4)3commun communcommun   =(3x+2)(3x+2)2x+(23x)=(x2) (4x83)=(x2)(4x11)  =(3x+2)(3x+22x+23x)=(3x+2)(2x+4) =(3x+2)((2) (x2))= −2(3x+2) (x2)
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