Contribution à l'étude numérique du comportement du béton et des structures en béton armé soumises

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-srLŁL-¶r¶j-¶¶r¶r-r¶k¶e-j÷æł¶öyçys‡Łyæy¶y¶k-e÷ełçö‡Annexe C Formulation thermodynamiqueANNEXE CFORMULATION THERMODYNAMIQUE(INTERACTION THERMO MECANIQUE NEGLIGEE)Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de cemodèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieuxcontinus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.gradTj=:-r()y +sT-q.‡0 (C.1)s eTeoù y=y(), D, L,k est l'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'étatdu système.On peut décomposer la dissipation (équation C.1) en la somme de deux termes:j=s:e-r()y+sT (C.2)1gradTj = q 0 (C.3)2Toù et représentent respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la1 2dissipation thermique, associée au transport de chaleur.Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principede la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant ladifférentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), onobtient :e p : + : s + T D 0 (C.4)e T Dexpression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans laformulation thermodynamique des modèles thermo élasto ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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Annexe CFormulation thermodynamique
ANNEXE C FORMULATION THERMODYNAMIQUE (INTERACTION THERMO-MECANIQUE NEGLIGEE)
Afin de définir clairement et séparer les différents couplages entre les variables d'état de ce modèle, il est intéressant d'utiliser le cadre théorique de la thermodynamique des milieux continus. Rappelons tout d'abord l'expression de la dissipation totale du système.
gradT j1 s:e%r(y#sT!%q.³0 T
(C.1)
e y1y(e,D,>,k! estl'énergie libre du système, fonction des différentes variables d'état du système.
On peut décomposer la dissipationj(équation C.1) en la somme de deux termes:
j11 s:e%r(y#sT!
gradT j1 %q³0 2 T
(C.2)
(C.3)
j j 1 et2respectivement la dissipation intrinsèque (mécanique) et la représentent dissipation thermique, associée au transport de chaleur.
Sous l'hypothèse du découplage entre dissipation thermique et mécanique, le second principe de la thermodynamique impose que la dissipation mécanique soit positive. En remplaçant la différentiation de l'énergie libre par rapport aux variables d'états dans l'inégalité (C.2), on obtient :
æ ¶yö æyö ¶yyy  e p ç s%r÷:e #s:e %rçs# ÷T%rk%rD%r> ³0 e è ¶eø èTø ¶kD¶>
(C.4)
expression où l'on remarque que les quatre premiers termes sont classiquement définis dans la formulation thermodynamique des modèles thermo-élasto-plastiques et conduisent aux équations d'état suivantes:
-200-
Annexe CFormulation thermodynamique
yyyy s 1r1 %r;s1 %;A1r e p ¶e ¶eT¶k
(C.5)
Elles définissent le tenseur de contraintes, l'entropieset le tenseur force d'écrouissageA comme les forces thermodynamiques associées aux évolutions des variables de déformation plastique, de température et d'écrouissage.
Auxquels vient s'ajouter deux équations supplémentaires définissant la force thermodynamiqueYassociée aux évolutions de la variable d'endommagement mécaniqueD et la force thermodynamiqueXaux évolutions de la variable d'endommagement associée thermique> modélisantau niveau macroscopique les phénomènes physique à l'origine des effets du chargement thermique et mécanique : y Y1 %r(C.6) D
y X1 %r(C.7) ¶> En élasto-plasticité (ou viscoplasticité), les déformations n'interviennent que sous la forme de leur partition, soit : pqe e%e %e 1e(C.8)
L’énergie libre peut se mettre sous la forme :
e y1y(e,q,D,>,k!
(C.9)
Cette dernière équation peut s’exprimer en fonction du potentiel thermodynamique du matériau non endommagé par :
e y1(1%d!y(e,q,k! avecd1(1%D!(1%>! 0
(C.10)
Intéressons nous maintenant à l'expression de l'énergie libre. Nous adoptons dans tout ce qui suit l'hypothèse du découplage entre les effets d'écrouissage et autres. Le potentiel thermodynamiqueys'écrit sous cette hypothèse sous la forme :
e ep y1y(e,q!#y(k! 0 00
le potentiel thermodynamique élastique du matériau vierge est donné par :
-201-
(C.11)
Annexe CFormulation thermodynamique
2 e e1ee e1q ry0(e,q!1 e:E0:e %qm:e%C 0 0 2 2T 0
(C.12)
C dans lequel0représente la chaleur spécifique,T0la température de référence du système et
Ele tenseur de rigidité initial du matériau non endommagé. 0
Le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo-mécaniquemest donné par : 0
m13Ka×1 0 0
(C.13)
Ketadésignent respectivement le module de compressibilité volumique et le coefficient de 0 dilatation thermique,1représente le tenseur unité.
Le potentiel thermodynamique plastique associé à la contrainte effective est étendu à la thermoplasticité est donnée par (Lee 1998) :
k k t c æ ~ ~ p p ç ÷ ry(k!1 s:de %t(k,T!dk#t(k,T!dk òçò ò÷ 0c ct t è ø 0 0
(C.14)
La donnée de ces potentiels thermodynamiques permettent d'écrire les lois d'états: y e e s 1r1 %e % e(1d!(E0:qm0!(C.15) e
yæC e0e s1 %1(1%d!ç#m0:e÷ q T T è0ø
Y1(1%>!y0
!y X1(1%D0
~ ìt(k,T!ü t t A1 % í ý ~ t(k,T! î þ c c
En remplaçant les équations (C.15 à C.19) dans l’équation (C.4), on obtient :
~ ~ p   s:e #{(1%>!D#(1%D!>}y#{t(k,T!k#t(k,T!k}³0 0c ct tt c
L’inégalité (C.20) est positive si et seulement si :
-202-
(C.16)
(C.17)
(C.18)
(C.19)
(C.20)
Annexe CFormulation thermodynamique
p   Le potentiel plastique est une fonction convexe (s:e),D³0 et> ³0 ,égalementk³0 . x Ainsi la dissipation intrinsèque est toujours positive.
-203-
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