correction de certains des exercices du cours

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CORRECTION DE CERTAINS DES EXERCICES DU COURS nº 13 p 320 → → →D'après la relation de Chasles, on a AC = AB + BC relation qui prouve que les → → →vecteurs AB , AC et BC sont coplanaires nº 16 p 321 → → → →1. On a d'après la relation de Chasles : MN = ME + EA + AN → → → → →1 1 1Or EM = EH donc ME = HE = DA 3 3 3→ →1et AN = AB 3→ → → → →1 1donc ME + AN = ( DA + AB ) = DB 3 3→ → →1Par conséquent MN = EA + DB 3→ → → → → → →2. a. On a DB = DH + HB = AE + HB ( car DH = AE ) D'après la question précédente on a donc → → → → → →1 4 1MN = EA + ( AE + HB ) = EA + HB 3 3 3→ → →b. MN s'écrit comme combinaison linéaire de EA et HB : on peut donc → → →affirmer que les vecteurs MN, EA et HB sont coplanaires. (Rem: les points A, B, E, H, M et N sont non coplanaires puisque M ∈ (EH) et N ∈ (AB)et que (EH) et (AB) ne sont pas coplanaires) nº 17 p 321 3 + 2 5 − 1 2 + 3 5 5a. Le milieu de [AB] a pour coordonnées ( ; ; ) soit ( ; 2 ; ) 2 2 2 2 2→ →b. AB ( 2 − 3; − 1 − 5; 3 − 2) soit AB ( −1; − 6 ; 1) 21 p 321 →1. A( − 1 ;3;0) et u ( 2; −1;3) → →2. B est Δ si AB et u sont colinéaires → → →Or AB ( 4; −2; 6). Les coordonnées sont proportionnelles et AB = 2 u , donc B est sur Δ nº 35 p 322 → → → →Appelons u le vecteur 3 OA − 2OB + OC →Alors x = 3 x − 2 x + x = 3 × ( − 2) − 2 × 0 + 6 = 0 u A B c→ →De même on trouve y = 0 et z ...
Publié le : vendredi 23 septembre 2011
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CORRECTION DE CERTAINS DES EXERCICES DU COURS nº 13 p 320 → → → D'après la relation de Chasles, on aAC = AB + BC relationqui prouve que les → →→ vecteurs AB, AC et BC sontcoplanaires nº 16 p 321 → → → → 1.On a d'après la relation de Chasles : MN = ME +EA + AN → →→ → → 1 11 Or EM =EH doncME =HE =DA 3 33 → → 1 et AN =AB 3 → →→ →→ 1 1 donc ME + AN =( DA + AB) =DB 3 3 → →→ 1 Par conséquent MN =EA +DB 3 → → → → →→ → 2. a.DB = DH + HB = AE + HB ( On a)car DH = AE D'après la question précédente on a donc → →→ →→ → 1 41 MN =EA +( AE + HB) =EA +HB 3 33 → →→ b.MN s'écrit comme combinaison linéaire deon peut doncEA et HB : → →→ affirmer que les vecteurs MN,EA et HB sontcoplanaires. (Rem: les points A, B, E, H, M et N sont non coplanaires puisque M(EH) et N (AB)et que (EH) et (AB) ne sont pas coplanaires)nº 17 p 321 3 + 25 − 12 + 35 5 a.; ; )soit (Le milieu de [AB] a pour coordonnées (; 2 ;) 2 2 22 2 → → b.2 − 3; − 1 − 5; 3 − 2) soitAB (−1; − 6 ; 1)AB (
21 p 321 1.1 ;3;0) etA( −2; −1;3)u ( → → 2.B estΔsi AB et u sontcolinéaires → →Or AB (4; −2; 6). Les coordonnées sont proportionnelles etAB =2 u, donc B est surΔnº 35 p 322 → →→ → Appelons ule vecteur 3OA −2OB +OC Alorsx u= 3xA− 2xB+xc× ( − 2) − 2 × 0 + 6 = 0= 3 → → De même on trouvey u= 0 etz u= 0. → → →2.OA −2OB +OC = 0 cequi prouve puisqu'on peut alors écrireOn a donc 3 → →→ →→ → OC =− 3OA +2OB queles vecteursOC ,OA et OB sontcoplanaires donc que les4points O, A, B et C sont coplanaires. nº 37 p 322 2 22 Puisque le repère est orthonormal, on a ||u || =2 +(− 2)+ 3= 17 nº 40 p 322 → 2 On aAC (− 7 ; 3 ; − 1) donc AC= 59 → 2 BC (− 5 ; 5 ; −3) et BC= 59 Donc C est dans le plan médiateur de [AB]
nº 70 p 325 a.Un plan sécant à un plan est sécant à tout plan parallèle et les droites d'intersection sont parallèles. Ici leplan (ECJ) coupe (EFG) selon la droite (EG) donc va couper le plan (ABC) parallèle à (ECJ) selon une droite parallèle à (EG) passant par J puisque J est dans (ECJ) et (ABC). Cette droite parallèle à (EG) passant par J coupe (AB) en un point qui est dans (ECJ) et sur (AB) : c'est donc le point K, intersection de (ECJ) et (AB) → → 3 b.puisque (JK) // (EG) // ( AC), le théorème de Thalès dansOn aBC doncBJ = 4 → →→ → 3 1 ABC donneBK =BA c'està direAK =AB 4 4 → → → →→ →→ → → → 1 1 On alorsHI =HD +DI =EA +DC = EA +AB = EA + AK = EK 4 4 → → HI estdonc colinéaire ( et même égal) à un vecteurEK définià l'aide de deux points de (EGJ) : la droite (HI) est donc parallèle au plan (EGJ) nº 86 p 327 → → 1.Les vecteurs0; −1 ; −6) etCD (0;1;0) ne sont pas colinéaires donc lesCE ( points C,D et E ne sont pas alignés et définissent un plan. 2.Les points C, D et E ont leur abscisse nulle donc sont dans le plan (y o z) ce qui n'est pas le cas de A et B : (AB) n'est pas dans le plan (CDE). Elle serait parallèle → →→ si AB peuts'écrire comme combinaison linéaire deCD et CE. → →→ Cela revient à chercher s'il existe deux réels a et b tels queAB =a CD +b CE → Or commeAB (2;2;2),on devrait avoir pour l'abscisse, 2 = a × 0 + b × 0 ce qui → →→ est impossible.AB ,CD et CE nesont pas coplanaires La droite (AB) est donc sécante au plan (CDE) 3.Si H( x;y;z) est le point d'intersection de (AB) et (CDE) alors → →→ → AH et AB doiventêtre colinéaires: il existe k tel queAH =k AB → →→ et CH , CD et CE sontcoplanaires donc il existe a et b réels tels que → →→ CH =a CD +b CE
En traduisant cela au niveau des coordonnées, on obtient le système ( à vérifier) x− 1 = 2k y+ 1 = 2k z− 2 = 2k x= 0 y− 2 = −a+b z− 2 = − 6a 1 On directement x = 0 donc k = −et par conséquent y = − 2 et z = 1 2 Donc H( 0 ; − 2; 1) 4.H est un point de (ABC) et (CDE), de même que C. les plans (ABC) et (CDE) ont donc pour intersection la droite (CH) nº 49 p 322 I étant le milieu de [AB] on a en utilisant la relation du cours et en prenant M = D → →→ DA + DB =2 DI → → D'autre part, J milieu de [DC] donneDC =2 DJ → → →→ → Donc DA + DB + DC =2 DI +2 DJ Mais O étant le milieu de [IJ] donc barycentre de (I;2) et (J;2), on obtient directement → →→ → 2 DI +2 DJ =( 2 + 2)DO =4 DO nº 50 p 323 → →→ → →→ → → → → On a doncAB + AC− AD – AE = 0 soit DB + AE + EC− AE = 0 c'està dire → → → →→ → → → DE + EB + EC = 0 ouencore EB+ EC − ED = 0 cequi signifie que E est barycentre de (B;1) , (C;1) et (D; − 1) Le point E est donc dans le plan (BCD) autrement dit les points E, B, C et d sont coplanaires. nº 55 p 323 → →I milieu de [AD] est barycentre de(A;2) et (D;2) et la relationJB −3 JC =0 prouve que J est barycentre de (B; 1) et (C; −3). En utilisant les barycentres partiels, G barycentre de(A;2), (B;1), (C; −3) et (D;2) est aussi barycentre de(I ; 4) et (J; −2) ce qui prouve que G,I et J sont alignés
nº 104 p 329 M est barycentre de(I;2) et (J;2) (en remplaçant (A;1) et (E;1) par leur milieu I affecté de la somme des coefficients……..) . Donc M(IJ) de mêmeM peut être considéré comme le barycentre de( K;2) et (L;2) donc M(KL) N centre de gravité de ABE est barycentre de(A;1), (B;1) et (E;1). Donc M est barycentre de ( N;3) et (G;1) ce qui exprime que M(GN) Les droites (IJ), (KL) et (NG) sont concourantes en M A, B et C sont 3 points distincts. Déterminer l'ensemble des points M tels que || 2 AM − BM + 3 CM || = AB De l'usage du barycentre 2 − 1 + 3(A;2) , (B; − 1) et (C;3) ( G est déterminé0 : appelons G le barycentre de → →→ 1 3 par la relation vectorielleAG =− AB+ AC) 4 4 On alors → →→ → 2 AM − BM + 3 CM = 4 GM → 1 L'égalité proposée équivaut à ||4 GM || = AB c'est à dire : 4 GM = AB soit GM = 4 AB 1 L'ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayonAB 4
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