Cours 0405

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CH.2 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES Pour bien commencer : ACTIVITE 1 : Un vocabulaire adapté. Le graphique ci-dessous représente l’évolution de la température extérieure sous abri dans une ville enregistrée par un thermomètre automatique pendant une journée du mois de Février : En lisant les informations nécessaires sur la courbe, compléter le tableau ci-dessous : Question Réponse en langage courant Réponse en langage mathématique A chaque instant de la journée, combien de valeur(s) de la température peut-on lire ? A quelle heure le thermomètre a-t-il commencé les mesures ? A quelle heure a-t-il terminé ? Quelle est la valeur de la température à midi ? Combien de fois la température de 3 degrés est elle atteinte ? A quelle(s) heure(s) ? Comment évolue la température entre 0H et 6H ? Comment évolue-t-elle ensuite ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus chaude ? Quelle est alors sa valeur ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus froide ? Quelle est alors sa valeur ? Préciser le signe de la température au cours de la journée. ACTIVITE 2 : Une situation concrète : p.58 Activité 2. 1. Notion de fonction numérique : DEFINITION (intuitive) : Lorsqu’à tout nombre réel x d’un intervalle I on associe un nombre réel et un seul noté f(x), on dit que l’on définit une fonction numérique sur I (notée f ). On écrit : f : x f(x) pour tout x˛I. ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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CH.2 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES  Pour bien commencer :  ACTIVITE 1 : Un vocabulaire adapté.  Le graphique ci-dessous représente lévolution de la température extérieure sous abri dans une ville enregistrée par un thermomètre automatique pendant une journée du mois de Février :  
  En lisant les informations nécessaires sur la courbe, compléter le tableau ci-dessous : Question Réponse en langage courant Réponse en langage mathématique A chaque instant de la journée, combien de valeur(s) de la température peut-on lire ? A quelle heure le thermomètre a-t-il commencé les mesures ? A quelle heure a-t-il terminé ? Quelle est la valeur de la température à midi ? Combien de fois la température de 3 degrés est elle atteinte ? A quelle(s) heure(s) ? Comment évolue la température entre 0H et 6H ? Comment évolue-t-elle ensuite ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus chaude ? Quelle est alors sa valeur ? A quelle(s) heure(s) la température est-elle la plus froide ?  
Quelle est alors sa valeur ? Préciser le signe de la température au cours de la journée.      ACTIVITE 2 : Une situation concrète : p.58 Activité 2.      
1. Notion de fonction numérique :  DEFINITION (intuitive) : Lorsquà tout nombre réelxdun intervalle I on associeun nombre réel et un seulnotéf(x), on dit que lon définit unefonction numérique sur I (notéef). On écrit :f :xf(x)pour toutxI.  DEFINITIONS : .xest appelée «variablede la fonctionf »  . appelé «I estintervalle de définition de la fonctionf». .Lorsque lon connaît une formule qui permet de calculer les valeurs def(x), cette formule est appelée «expression algébrique de la fonctionf » Exemples :  - Dans lactivité 1, la température est une fonction numérique du temps (qui est la variable) définie sur [0 ; 24] :  à chaque instant de cet intervalle correspond une valeur de la température et une seule.  On ne connaît pas lexpression algébrique de cette fonction. - Dans lactivité 2, laire de baignade est une fonction numérique de la variablexdéfinie sur [0 ; 80] :  à chaque valeur de la longueurxcorrespond une valeur de laire et une seule.  Lexpression algébrique de la fonctionAest :A(x) = x(160 – 2x). Vous connaissez déjà les fonctions suivantes : - Les fonctions linéaires : exemple :…………………. - Les fonctions affines : exemple :………………….  Exercices : p. 69 n° 18 – 6.  2. Représentation graphique dune fonction numérique :  DEFINITION :   Tracerla représentation graphiquedune fonction sur un intervalle I consiste à placer dans un repère du plan les points de coordonnées (x ; f(x)) pourxI. Exemples : - Dans lactivité 1, on connaît la fonction numérique donnant la température au cours de la journée grâce à sa  représentation graphique. - Dans lactivité 2, la donnée de lexpression algébrique de la fonctionApermet de tracer sa représentation  graphique. Vous savez déjà que : - La représentation graphique dune fonction affine est ……………………… - La représentation graphique dune fonction linéaire est ………………………  Exercice : p.75 n° 48. Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 1.3.5. et p. 75 n° 46.  3. Image et antécédent :  DEFINITIONS :Soientfune fonction définie sur un intervalle I , un nombrexI ety = f(x) On dit queyestlimagedexpar la fonctionf On dit quexestun antécédentdeypar la fonctionf. Exemples : - Dans lactivité 1, on peut lire sur la représentation graphique que 4 est limage de 12 et que 3 admet deux antécédents : 11 et 20. - Dans lactivité 2, pour tracer la représentation graphique de la fonctionA, on a calculé les images des nombres 0, 10 ,20, 30, 40,…,80 grâce à lexpression algébrique de la fonction. Grâce à cette représentation graphique on a pu déterminer des valeurs approchées des deux antécédents de 2500 par la fonctionA: environ 21et environ 59.  Exercices : p.68 n° 1-2-4 / p. 69 n° 8-9-10-13-14 / p. 70 n° 19-20-21-22 / p. 74 n° 40 - 41  
4. Tableau de valeurs :  DEFINITION: Un tableau dans lequel figurent plusieurs valeurs de la variable et leurs images est appelé « tableau de valeurs de la fonction». Exemples : - Pour la fonction de lactivité 1, la lecture de la courbe permet de compléter le tableau de valeur de la fonction sur [0 ; 24] avecun pas de 2(certaines valeurs des images étant des valeurs approchées) : x              f(x)             Pour la fonction de lactivité 2, lexpression algébrique de la fonction nous a permis de compléter le tableau de -valeur de la fonctionAsur [0 ; 80] avecun pas de 10(les valeurs images étant exactes). - Vous savez déjà que le tableau de valeurs dune fonction linéaire est………………………………………….  Utilisation de la calculatrice graphique : p.66 2. et p. 69 n° 11.  5. Sens de variation dune fonction numérique :  DEFINITIONS (intuitive ) : .On dit quune fonctionfestcroissantesur un intervalle I sif(x)augmente lorsquexaugmente dans I. .On dit quune fonctionfestdécroissantesur un intervalle I sif(x)diminue lorsquexaugmente dans I.   DFINITIONS (rigoureuse) :  .«La fonctionfestcroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a)  f(b).(« la fonction conserve lordre ») .« La fonctionfestdécroissantesur lintervalle I » signifie que : Pour tout nombreaetbde I,sia<b, alorsf(a)  f(b).(« la fonction inverse lordre ») Exemples : - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est décroissante sur [0 ; 6], croissante sur [6 ; 14] et décroissante sur [14 ; 24]. - Dans lactivité 1, le graphique de la fonction nous permet de lire ses variations : elle est croissante sur [0 ; 40] et décroissante sur [40 ; 80] .  Remarques :  - On résume habituellement les variations dune fonction dans un tableau appelé« tableau de variation ». Compléter celui de la fonction de lactivité 1:                              
 Exercices : p.70 n° 24-25 / p.74-75 n° 45 Utilisation de la calculatrice graphique : p. 70-71 n° 26-27  - Constater le sens de variation dune fonction numérique sur sa représentation graphiqueNE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile…  Exercices : p.75 n° 47-49-50.   
6. Extremum dune fonction :  DEFINITIONS :   .Une fonctionfadmet unmaximumenx = asur un intervalle I sif(x)f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «maximum de la fonctionf sur I».  .Une fonctionfadmet unminimumenx = asur un intervalle I sif(x)f(a)pour tout nombrexde I. Le nombref(a)est appelé «minimum de la fonctionf sur I». Exemples :  - Dans la'ctivité 1, daprès son graphique, la fonction représentant les valeurs de la température admet : .un maximum sur [0 ; 24] : il vaut 9 et est atteint pour la valeur 14 de la variable  .un minimum sur [0 ; 24] : il vaut –3 et est atteint pour la valeur 6 de la variable. - Dans lactivité 2, on a constaté sur le graphique de la fonctionAque celle-ci admet un maximum qui vaut 3200 enx40. =  Exercices : p.71 n° 28-29-33. Utilisation de la calculatrice graphique : p.71 n° 30.  Remarque : Comme pour le sens de variations : lire les extrema dune fonction numérique sur sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans les exercices suivants comment démontrer rigoureusement quune fonction admet un extremum sur un intervalle…et que ce nest pas chose facile…  Exercices : p.71 n° 31-32.  7. Signe dune fonction :  DEFINITION : .Une fonctionfestpositivesur I sif(x)0pour tout nombrexde I . .Une fonctionfestnégativesur I sif(x)0pour tout nombrexde I .  Remarque :  On résume habituellement le signe dune fonction dans un tableau appelétableau de signe. Compléter celui de la fonction de lactivité 1 :  x Signe de  f(x)   Exercices : En utilisant leurs représentations graphiques, dresser les tableaux de signe des fonctions des exercices p.70 n° 19-20-21-22.  emarque : R Comme précédemment : constater le signe dune fonction numérique à laide de sa représentation graphique NE CONSTITUE PAS UNE PREUVE MATHEMATIQUE. Nous allons voir dans un chapitre à venir comment étudier rigoureusement le signe dune fonction.                    
   
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