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èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 13PropriétésToujours avec la restriction a > 0, on a:1a = aet pout tout x, y:yx xy x + y x ya = a ; a = a ⋅ a( )Les démonstrations sont laissées en exercice.xEn profitant des propriétés de la fonction y = e , on démontre aussi:xa > 0 , quel que soit xx ′ xa = ln(a)⋅ a( )xx a a est croissante et convexe pour a > 1 xx a a est décroissante et pour 0 < a < 1 Les démonstrations sont laissées en exercice.Fonction réciproquexLa notation habituelle pour la fonction réciproque de a est log (x) .ayL’équivalence réciproque: y = log (x) ⇔ a = x donne également l’expression de log (x) en termes de a aln( x)y y ln(a) yln(a)ln: x = a = e et donc on a: x = e ⇔ ln(x) = y ln(a) ⇔ = y .ln a( )C’est la formule de changement de base vue en deuxième année:  ln(x) 1log (x) = = ⋅ ln(x)a   ln a ln a( ) ( )  Base 10Les notations précédentes s’appliquent notamment à la base 10:x xln(10 )Pour tout nombre réel x, on définit: f(x) = 10 = e .ln x 1  r   Sa réciproque est la fonction: f (x) = log x = = ⋅ ln x .  ln10 ln10 èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 144. Fonctions puissancesetcroissances comparéesLes fonctions puissancesαx a x , x > 0, α réel La même fonction exponentielle permet de définir, pour tout exposant réel α, la fonction puissance α:αPour tout nombre réel α , on définit la fonction f(x) = x par:α α lnxx = eLa dérivée d’une fonction composée permet d’établir que:αPour tout réel α , la ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Propriétés
Toujours avec la restriction
a
> 0, on a:
a
1
=
a
et pout tout
x
,
y:
a
x
(
)
y
=
a
xy
;
a
x
+
y
=
a
x
a
y
Les démonstrations sont laissées en exercice.
En profitant des propriétés de la fonction
y
=
e
x
, on démontre aussi:
a
x
>
0 , quel que soit
x
a
x
(
)
=
ln
a
( )
a
x
x
a
a
x
est croissante et convexe pour
a
> 1
x
a
a
x
est décroissante et convexe pour 0 <
a
< 1
Les démonstrations sont laissées en exercice.
Fonction réciproque
La notation habituelle pour la fonction réciproque de
a
x
est log
a
x
( )
.
L’équivalence réciproque:
y
=
log
a
x
( )
a
y
=
x
donne également l’expression de log
a
x
( )
en termes de
ln:
x
=
a
y
=
e
y
ln
a
( )
et donc on a:
x
=
e
y
ln
a
( )
ln
x
( )
=
y
ln
a
( )
ln
x
( )
ln
a
( )
=
y
.
C’est la formule de changement de base vue en deuxième année:
log
a
x
( )
=
ln
x
( )
ln
a
( )
=
1
ln
a
( )
ln
x
( )
Base 10
Les notations précédentes s’appliquent notamment à la base 10:
Pour tout nombre réel
x
, on définit:
f x
( )
=
10
x
=
e
x
ln 10
( )
.
Sa réciproque est la fonction:
r
f x
( )
=
log
x
=
ln
x
ln10
=
1
ln10
ln
x
.
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 13
4. Fonctions puissances
et
croissances comparées
Les fonctions puissances
x
a
x
α
,
x
>0,
α
réel
La même fonction exponentielle permet de définir, pour tout exposant réel
α
, la fonction puissance
α
:
Pour tout nombre réel
α
, on définit la fonction
f x
( )
=
x
α
par:
x
α
=
e
α
ln
x
La dérivée d’une fonction composée permet d’établir que:
Pour tout réel
α
, la fonction définie sur 0;
+ ∞
]
[
par
f x
( )
=
x
α
est
dérivable sur 0;
+ ∞
]
[
et
f x
( )
=
α
x
α
1
L’étude du signe de cette dérivée montre que:
◊ lorsque
α
>
0 , la fonction
f
:
x
a
x
α
est
strictement croissante
sur 0;
+ ∞
]
[
;
◊ lorsque
α
<
0 , la fonction
f
:
x
a
x
α
est
strictement décroissante
sur 0;
+ ∞
]
[
.
De même, les limites suivantes sont une conséquence directe des limites obtenues pour les fonctions
x
a
ln
x
et
x
a
e
x
:
Pour
α
>
0 , lim
x
0
x
α
=
0 , lim
x
→+∞
x
α
= +∞
Pour
α
<
0 , lim
x
0
x
α
= +∞
, lim
x
→+∞
x
α
=
0
α
<
0
α
=
1
α
>
1
0
<
α
<
1
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 14
Croissances comparées
Les fonctions logarithme naturel
x
a
ln
x
, exponentielle
x
a
e
x
et puissance
x
a
x
α
(pour
α
>
0 ), sont
toutes croissantes sur 0;
+ ∞
]
[
. Autrement dit, pour des grandes valeurs de
x
, les nombres ln
x
,
e
x
et
x
α
(
α
>
0 ) sont de plus en plus grands.
Les limites qui suivent ont pour but de comparer les ordres de grandeur de ces croissances. La leçon à retenir
est double : d’une part, «
la fonction exponentielle croît infiniment plus vite que toute puissance de x
» («
x
α
est négligeable devant e
x
») et d’autre part, «ln
x est négligeable devant x
α
».
Pour
α
>
0 ,
lim
x
→+∞
e
x
x
α
= +∞
et lim
x
→+∞
ln
x
x
α
=
0
Démonstrations
: lim
x
→+∞
ln
x
x
α
=
lim
x
→+∞
1
α
α
ln
x
x
α
=
lim
x
→ +∞
1
α
ln
x
α
x
α
=
y
=
x
α
123
lim
y
→+∞
1
α
ln
y
y
0
{
=
0 .
lim
x
→+∞
e
x
x
α
=
lim
x
→+∞
e
x
e
α
ln
x
=
lim
x
→ +∞
e
x
α
ln
x
; reste à déterminer la limite de l’exposant pour
x
tendant vers
l’infini:
lim
x
→+∞
x
α
ln
x
=
lim
x
→+∞
x
1
α
ln
x
x
0
{
= +∞
; ainsi, puisque
lim
x
→+∞
e
x
= +∞
,
on a bien:
lim
x
→+∞
e
x
x
α
=
lim
x
→+∞
e
x
α
ln
x
→+∞
6 7
4
8
4
= +∞
.
En corollaire, on obtient aussi:
Pour
α
>
0 ,
lim
x
0
x
α
ln
x
=
0
Démonstration
: Par le changement de variable
y
=
1
x
, on se ramène à une des limites ci-dessus:
lim
x
0
x
α
ln
x
=
lim
1
y
0
1
y
α
ln
1
y
=
lim
y
→+∞
1
y
α
ln
1
y
=
lim
y
→+∞
1
y
α
ln
y
(
)
=
lim
y
→+∞
ln
y
y
α
=
0 .
Le calcul de ces limites est indispensable pour se persuader de ces ordres de grandeur; ainsi,
x
10
est
négligeable devant
e
x
, et ln
x
l’est devant
x
1/10
=
x
10
(
)
, alors que le tracé des graphiques peut sembler aller
à l’encontre de ces faits (en pointillés, les fonctions puissances):
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
page 15
Mais il s’agit bien sûr d’un comportement pour
x
→ +∞
, autrement dit, pour des nombres arbitrairement
grands; un changement d’échelle nous montre l’exactitude des ordres de grandeurs annoncés par les limites,
même s’il faut “aller chercher loin” pour la fonction
x
10
(
x
> 3
10
15
):
Calculs de limites
Les calculs de limites comportant des puissances de
x
et des logarithmes ou des exponentielles se ramènent
aux limites calculées précédemment; le plus souvent, soit par une mise en évidence du terme de plus haut
degré, soit à l’aide d’un changement de variable.
Exemple 1
: Voici un cas de forme indéterminée du type «
∞ −∞
»:
lim
x
→+∞
x
2
3ln
x
(
)
. La mise en
évidence du terme
x
2
permet de lever cette indétermination:
lim
x
→+∞
x
2
3ln
x
(
)
=
lim
x
→+∞
x
2
1
3
ln
x
x
2
puisque les deux limites
lim
x
→+∞
x
2
et
lim
x
→+∞
ln
x
x
2
sont connues, on obtient le résultat suivant:
lim
x
→+∞
x
2
3ln
x
(
)
=
lim
x
→+∞
x
2
→+∞
{
1
3
ln
x
x
2
0
{
1
6
7
44
8
4 4
= +∞
.
Exemple 2
: Voici un cas de forme indéterminée du type «
∞ ⋅
0
»:
lim
x
→+∞
xe
x
2
. En posant
x
2
=
y
, avec
l’idée
de
se
ramener
à
la
limite
de
base
lim
x
→+∞
e
x
x
α
= +∞
,
on
obtient:
lim
x
→+∞
xe
x
2
=
lim
x
→+∞
x
e
x
2
=
lim
y
→+∞
y
e
y
=
lim
y
→ +∞
y
1
2
e
y
=
lim
y
→ +∞
1
e
y
y
1
2
→ ∞
=
0
.
Etude de fonction
Quant à l’étude d’une fonction exponentielle de base
a
ou d’une fonction puissance, le plus sûr consiste à
l’exprimer à l’aide de
e
x
:
a
x
=
e
x
ln
a
, et
x
α
=
e
α
ln
x
.
Attention à ne pas confondre ces deux fonctions; dans l’une,
a
x
, la variable est l’exposant et la base est
constante, alors que dans l’autre,
x
α
, c’est la base qui varie tandis que l’exposant est constant. En particulier,
cette distinction est capitale lors de la dérivation: la dérivée de
x
α
est
α
x
α
1
, alors que celle de
a
x
n’est pas
xa
x
1
. (C’est naturellement: ln
a
a
x
.)
Mathématiques 4
ème
, niveau avancé
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Exemple
: Etudier la fonction définie par:
f x
( )
=
e
x
x
.
(Les grandes lignes de l’étude sont données ci-dessous, les détails des calculs et les tableaux de croissance ou
de convexité étant laissés aux bons soins du lecteur.)
• Condition de définition:
x
≠ 0, soit,
D
f
=
*
. (Le numérateur est défini sur
.)
• Limites aux bornes du domaine: lim
x
→+∞
e
x
x
= +∞
(voir plus haut) et lim
x
→−∞
e
x
0
+
}
x
→−∞
{
=
0
, directement évaluable.
La première limite, jointe à lim
x
→+∞
f x
( )
x
= +∞
, implique qu’il n’y a
aucune asymptote affine
pour
x
→ +∞
, et la seconde, qu’il y a une
asymptote horizontale
d’équation
y
= 0 (l’axe des
x
), pour
x
→ −∞
.
• Quant aux “alentours” de 0, on obtient à droite: lim
x
0
+
e
x
1
}
x
0
+
{
= +∞
et à gauche: lim
x
0
e
x
1
}
x
0
{
= −∞
, autrement
dit, on conclut à l’existence d’une
asymptote verticale
d’équation
x
= 0 (l’axe des
y
).
• Première dérivée.
f x
( )
=
x
1
(
)
e
x
x
2
, dont le signe est le même que celui de la droite
y
a
x
1;
f
est donc
strictement
décroissante
sur
−∞
;1
]
[
et strictement
croissante
sur 1;
+∞
]
[
.
En raison du tableau de variation le point 1;
e
(
)
, seul extremum, est un
minimum relatif
.
• Deuxième dérivée.
′′
f
x
( )
=
x
1
(
)
e
x
x
2
=
x
2
2
x
+
2
(
)
e
x
x
3
, dont le signe dépend du seul facteur
x
(en
effet:
′′
f
x
( )
=
1
x
x
2
2
x
+
2
(
)
e
x
x
2
, et le terme
x
2
2
x
+
2
(
)
e
x
x
2
est toujours strictement positif sur le
domaine considéré, le polynôme de degré 2 ayant un discriminant négatif et le coefficient du terme de
degré 2 positif.);
f
est donc
concave
sur
et
convexe
sur
+
.
• Représentation graphique. Le graphique suivant rassemble les résultats trouvés ci-dessus:
x
y
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