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LM256 : Analyse vectorielle, integrales multiplesTien-Cuong DinhDisponible sur http://www.math.jussieu.fr/dinhCours de 21h donne aux etudiants de physique en deuxieme annee2007-20082Table des matieres1 Fonctions d’une variable 51.1 De nitions, representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Limites, continuite, derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Developpements limites, di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Primitives, integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Fonctions de plusieurs variables 192.1 De nitions, graphe, lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Limites, continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Developpement limite d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Formes di erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Integrales curvilignes 353.1 Vecteurs, produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Champ de vecteurs, champ de gradients . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Courbes, tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Integrale curviligne le long d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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LM256:Analysevectorielle,int´egralesmultiples
Tien-Cuong Dinh
Disponible sur http://www.math.jussieu.fr/dinh Coursde21hdonn´eauxe´tudiantsdephysiqueendeuxie`meann´ee 2007-2008
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Table des matieres `
1 Fonctions d’une variable 1.1De´nitions,repr´esentations...................... 1.2Limites,continuite´,d´eriv´ees..................... 1.3D´eveloppementslimit´es,die´rentielles................ 1.4Primitives,int´egrales......................... 1.5 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions de plusieurs variables 2.1De´nitions,graphe,lignesdeniveau................. 2.2Limites,continuite´.......................... 2.3D´erive´espartielles........................... 2.4 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5Developpementlimit´edordre1................... ´ 2.6Formesdi´erentielles......................... 3 Integrales curvilignes ´ 3.1 Vecteurs, produits de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Champ de vecteurs, champ de gradients . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Courbes, tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4Inte´gralecurvilignelelongdunecourbe.............. 3.5 Circulation d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6Propri´ete´delint´egralecurviligne.................. 3.7 Aire d’un domaine du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Integrales multiples ´ 4.1Inte´graledouble............................ 4.2Th´eor`emedeFubini.......................... 4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.42-formesdi´erentiellessurR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Volume d’un domaine dansR3. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4.7 Aire d’un domaine dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8Int´egraletriple............................
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5 5 6 9 11 14 19 19 20 23 26 28 29 35 35 37 40 42 43 44 46 53 53 54 56 57 58 60 61 62
4
5
4.9The´ore`medeFubini............. 4.10 Changement de variables . . . . . . . . . . 4.112-formeset3-formesdi´erentiellesdansR3
Formules de Stokes 5.1 Surfaces dansR3, tangent, vecteur normal 5.2Inte´graledesurface............. 5.3 Aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . 5.4Flux`atraversunesurface......... 5.5FormuledeStokes-Amp`ere......... 5.6 Formule d’Ostrogradsky . . . . . . . . . . 5.7 Volume d’un domaine dansR3. . . . . . .
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` TABLE DES MATIERES
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73 73 74 75 76 77 79 79
Chapitre 1
Fonctions d’une variable
Ce chapitre contient quelques rappels sur les fonctions d’une variable.
1.1D´enitions,repre´sentations De´nition1.1.1.SoitIune partie deR.Une fonction surIest une application deIdansR. Une fonctionfdnopserraiuqecna`aieocssuttoestdoncuneco nombrere´elxIonbmnueelrer´f(xOn´ecri)t. f:x7→f(x) ou simplementf(x). Exemples 1.1.2.L’application x7→ax´d.eil´naerifonctionenitune x7→ax+banoi.enefuncton´editn x7→ax2+bx+c,a6.2e´rlynˆunpoedegomed0=ntid,e´ x7→sinxonaftlniinnsioctsu.e´d De´nition1.1.3.L’ensemble des pointsxontioalu`cnoffsteleeedl´pepsnia ledomainedede´nitiondef. Exemples 1.1.4. f(x) =x1urponeidte´sex6ston.Smado=0tinenoidenie´deR=R\{0}. f(x) =x2ruo´deinpee1tsx1 et pourx≤ −1. f(x) =1x2seruein[d´ste1,1]. D´enition1.1.5.On appellegraphede la fonctionf(x) l’ensemble des points decoordonn´ees(x, f(x)p)raarpprot`adeuxaxesOxetOy, lorsquexparcourt ledomaineded´enitiondef. Remarque 1.1.6.Soitanadtniopiamodelsed´denedeontiniunf. La droite {x=a}coupe le graphe defen un et un seul point. C’est le point (a, f(a)).
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6 FONCTIONSCHAPITRE 1. D’UNE VARIABLE De´nition1.1.7.Soientfetgdeux fonctions. L’applicationx7→f(g(xd))ne´ti une fonction qu’on appelledelcamoop´seef(x)etg(x). On notef(g(x)) ou (fg)(xoitcnofettec)siotnuapxnietd´eleesn.Elxnoi´eeditnmadoedinsnelad degtels queg(xinitnoedened´desledomai)soitdanf. Exemple 1.1.8.Sif(x) =1xetg(x) =1x2, on af(g(x)) =11x2. Le domainedede´nitiondef(g(x)) est ]1,1[. En effet,±1 sont dans le domaine ded´enitiondegmaisg(± ;1) = 0 et doncg(±1)n’est pasdans le domaine de d´enitiondef.
1.2Limites,continuite´,de´ri´ vees On suppose que la fonctionfdtseleal]inunrvteniomrussne´uaeia, b[ contenant un pointx0,peut-ˆetsaufneerx0. De´nition1.2.1.On dit que la fonctionf(x)tend versL(Lfini) lorsquex tend versx0si quelquesoitlenombrer´eel >0, il existe un nombreα >0tel que la relation0<|xx0|< αneıˆartne|f(x)L|< . Ceci signifie que pour unocqnuqlenne´odverutroudoitueonnαen fonction de ttredca´elnduaeqquelx`ax0(avecx6=x0a`rnf´erieu)estiαtracede´lf(x`a) Lur`af´inieerste. D´enition1.2.2.La constanteLpptaese´eellimite def(x)quandxtend vers x0oulimite def(x)enx0et on note L= limf(x). xx0 Th´eor`eme1.2.3.Soientf(x)etg(x)deux fonctions telles quef(x)tende vers Letg(x)tende versMquandxtend versx0. Alors limf(x)±g(x) =L±M,limf(x)g(x) =LM. xx0xx0 SiL6= 0, on a lim1)=L1,xlx0gf((xx)=)ML. xx0f(xim D´emonstration.tioS(empreri`arepe)ti >0. Commef(x) tend versLquand xx0, il existeα1>0 tel que si 0<|xx0|< α1on ait|f(x)L|< /2. De ` lameˆmemaniere,onmontrequilexisteα2>0 tel que si 0<|xx0|< α2on ait|g(x)M|< /2. Posonsα= min(α1, α2). On aα >0 et si 0<|xx0|< α on a 0<|xx0|< α1et 0<|xx0|< α2, donc |f(x) +g(x)LM| ≤ |f(x)L|+|g(x)M|)erilaguanriett´liganie´( < /2 +/2 =.
´ ´ ´ 1.2. LIMITES, CONTINUITE, DERIVEES7 Onamontr´equepourtout >0 il existeα >0 de sorte que 0<|xx0|< α tˆıne|f(x) +g(x)LM|< . Donc en ra limf(x) +g(x) =L+M. xx0
Rappel.:lugneriatriait´eegalIn´|a+b| ≤ |a|+|b|eellrant.E´ngelatiıˆenelis´es |a±b| ≥ |a| − |b|. D´enition1.2.4.On suppose quefsid´tauseenenisex0. Lorsque la limite de f(x) enx0e´estelagala`elavruf(x0) def(x) enx0, on dit quefest continue en x0. On dira quefestcontinue sur l’intervalle]a, bsi elle est continue en tout[ pointx0de ]a, b[. Sif(x) est continue sur ]a, b[ son graphe au-dessus de ]a, b[ est une courbe continue. Exemples 1.2.5.Les fonctionsex, logx, sinx, cosx, tanxel,surles,meˆoynolsp compositions, sommes, produits, quotients, valeurs absolues sont continuslo``au ellessontd´enies. Proposition 1.2.6.Sifest continue enx0ledeganisieortbeslevoaueen´x0. Pluspre´cise´ment,ilexisteα >0etA >0tels que |f(x)|< Apourx]x0α, x0+α[. De´monstration.Commefest continue enx0, on a limxx0=f(x0qu´etn,secnoar.P) pour tout >0 il existeα >0 tel que 0<|xx0|< α=⇒ |f(x)f(x0)|< . Ceci est aussi vrai pourx=x0car|f(x0)f(x0)|= 0< . Donc pour tout >0, il existeα >0 tel que |xx0|< α=⇒ |f(x)f(x0)|< . En particulier, pour= 1, il existeα >0 tel que |xx0|< α=⇒ |f(x)f(x0)|<1. PosonsA=|f(x0)|ilisantl+1.Enuturpontiaergnlutbeio,onegalin´triait´e |xx0|< αque |f(x)|=|f(x0) +f(x)f(x0)| ≤ |f(x0)|+|f(x)f(x0)|<|f(x0|+ 1 =A. Cestquilfautde´montrer.
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