Cette publication est accessible gratuitement
Télécharger

Vous aimerez aussi

Cours
dAlg`ebre
Jean-Claude
Mado
2002-2003
2
Chapitre 1
Anneaux et Corps
Tous les anneauxA,snutiiammtutafireset1spustnoreocse´sopA6= 0A.
1.1 Anneaux (rappels) Un anneauA(tpielnurtodcnesd´neigA,+,×elbmesnenireut`adces)A, non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et la multiplication ‘×’ telles que : i) (A,eurtsenuegederutc+eds`os)p´lmede´uertnentecomrouptif,muta note´0A. ii) La multiplication×(n,lamenettoe´´ege) est associative, commutative etposse´deune´l´ementneutrenot´e1Aurtapipvterpiabratdisolrete`s;le l’addition.
Produits d’anneaux : ´ Etantdonne´unefamille(Ai)iId’anneaux, il existe sur le produit d’en-semblesQiIAiune structure canonique d’anneau produit. Parlasuitenousnousinte´resseronsprincipalementauxanneaux: -Z, l’anneau des entiers relatifs,nZZl’anneau des entiers modulo l’entiern, et aux extensionsZn,IQ ;, etc. -k[Xnaen,]´eesuruncorpsnua`dnieete´nimrxdaupoesnˆlyesomk, vu comme applicationsa`supportniedeINdansk; -k[X1, . . . , Xnaomeslynˆespoaeduann]l,nincrupsore´niussee´dnmretk, ` d´enicommelensembledesapplications`asupportnideINndansk. 3
4
CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
-k[[X´sprocn]]neandeaus`auneind´etermisse´irseofmrleelk nee sur u , l’ensemble des applications deINdanskteirliire,(sueantcooism´beisnse ´ ge´ne´ratrice),oupourlar´esolutionde´quationsdi´erentielles.
1.1.1Divisibilit´edansunanneau Dans un anneauAoe´dnnurentioibnletareinaidiviseerdroe´ra`tsec(,dep direre´exiveettransitive)not´ee|,d´eniepar: a, bA b|acA a=bc. Deux´el´ementaetbseront ditsocssase´idansA´vslisent:eria|betb|a. Tout´ele´mentxdeA´ementuuqle´nnosiariderz´mao,disevixest undivi-seur de zeros’il est non nul (x6= 0Aexilset´eunteisnet´lme)y6= 0Atel que ´ xy= 0A. L’anneauAo.edidivesrued´zrelniosepeds´aseptseitide`tnserg Siun´elementdeirudeuensnmelbestuneborneinf´ereSpour la relation dordrenote´e|c,`adiest:resi -i)ddivisetoute´le´mentadeS, -ii)une´le´mentmdeAndtiuq´tlee´emvisiteuoade ´ S, verifie :mdivised. On dit alors quedest leplus grand commun diviseur(pgcd) de la partieStirce´no,d=pgcd(Sai`aslcisoioatrpn.se`n´etdesil), Si 1 =pgcd(S)les´el´ementsedSsont ditspremiers entre eux. Ond´enitdemeˆmelanotiondeplus petit commun multiple(ppcm) comme bornesup´erieuredunepartiedeA. ¸ qu Ilde´couledefacon´evidentedesde´nitionse: - Dans un anneauAmenee´´ledxuistsxetysont tels quexdivisey, alors pgcd(x, y) =xetppcm(x, y) =y. -Soientx, y, zsedtneme´lesdeA, tel quepgcd(x, y, z)osti´deinorals ´ pgcd(x, y, z) =pgcd(pgcd(x, y), z).
Unite´sdelanneau Un´el´ementade l’anneauAest ditinversibleldisunit´e1lee´emtnvisile´A de l’anneau, on dit alors queaest unet´nieude l’anneauA. Lensembledese´le´mentsinversiblesdans(A,×) :Amuni de la loi interne×
´ 1.2. IDEAL D’UN ANNEAU5 constitue un groupe multiplicatif, on le noteU(A), c’est le´tsepedesunigrou deA. Dans un anneauAstnle´xeme´gr`eeuedntiaetbsemenseultssconoatiste´ise silexisteuneunite´u∈ U(A), telle quea=ub.a= 0 alorsb et si ;= 0 a6= 0, il existez, tAtel quea=bzetb=at, on a donca= (at)zet donc a(1tz) = 0,zt= 1 etzinversible
Sous-anneau Un sous-anneauBdeAest une partie deAstable pour les lois ‘+’ et×tel que (B,+,×) soit un anneau, et tel que 1B= 1A. On dit alors queAest une extensiondeB. Une intersection de sous anneaux est encore un sous anneau.
1.2Ide´aldunanneau Unid´ealIdeAest une partie deAtelle que : i)Iest un sous-groupe additif deA ii) Pour toutxI, et toutaAon aaxrtieappant`aI. Les parties{0}etAosd´sidentdeuxeaA,sid´eauxcesontleaixuedidstrtviA. Unid´ealIest ditpropretdeerentsel´idisA. Lid´ealIest ditpremierete,prrotpesils:eire´vlis, x, yA, xyI=xIouyI. Siunid´ealItunit´edelanneatneitnnue´´lmenecodeuA, alorsI=A. En effet, soitasvnreneitdenaislbeml´´eunI, toutydeAeutapircrerslo´esx=a(a1xcnodappate)rtient`aI. L’intersectionI=jJ(Ijxdeuae´dideuqnoclequleilamefund)Aest en-coreunide´aldeA. SoitSune partie non vide deAint,lctioerselsuotednuae´diseexdAqui contiennentSetsnudie´laedA,not´e(S),ilesteppaie´lae´dgneldrenpa´erS, cestlensembledessommesniesdemultiplesde´l´ementsdeS: l (S) ={Pi=1xiai|lIN,xiS, aiA,1il}, onecrit´egalement: ´ (S) ={Pil=1xiA|lIx,NiS,1il}, siSest une partie finieS={x1, x2. . . , xn}simpcritnt:lemenoe´
6CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS (S) = (x1, x2, . . . , xn) =Pin=1xiA, et on dit que c’est l’´edrenngleea´dirlpanest´lmesee´x1, x2, . . . , xndeA. Demeˆmeunide´alIde l’anneauAest dit detype finis’il est de la forme I= (x1, . . . , xn`u)ox1, . . . , xne´sedtnostneme´ldesIices,irest`adIest engendre´parunnombrenid´el´entdeA. em Unid´ealIde l’anneauAest ditprincipal, s’il est de la formeI= (x)o`ux estun´ele´mentdeIiradiesc,`tseIteesenngntapurrde´e´em´nlexdeA. Les ideaux triviaux deAsont principaux :{0}= (0), etA= (1). La relation binaire ‘|’ de l’anneauAse traduit en termes de relation d’inclu-sionentreide´auxprincipaux: a, bA a|b⇐⇒(a)(b). Ilenre´sultequeles´ele´mentsaetbsont associes si et seulement si (a) = (b). ´ Sur l’ensembleIdiseduxdau´eueannnaAuedto,pnriede´nisinuxloetern d’addition et de multiplication : SoientIetJid´eauxddeuxeA, on appelleau´eiduxdeesecedosmmxqu’on noteI+J´dalenid´el,raIJ. gen re p Ond´enitdemeˆme,litroduaepli´dIJelicommemnserleblgnelae´dape´rdne S={xy|xIy,J}. Danslecasdid´eauxprincipauxI= (a)etJ= (b), on aIJ= (ab). On a toujours l’inclusionIJIJ´gel,´eeire´vnonlare´neg´enntta´e´eital (denaseicnnounri´et´ebpropZ:ppcm(a, b)6=ab). Cependant dans le cas I+J=Ao,(ertnomnnetuesce)icrcxeagille´´t:eIJ=IJ. Muni de ces deux lois d’addition et de multiplication,Iopsse`ednusertuc-ture,quibienqu´etantinte´ressantenestpascelledunanneau.Pourautant, lid´al(0)est´ele´mentneutredelop´eration+,etlid´eal(1)celuidelamul-e tiplication dansI. Soientaetbdeux´eauledenname´lstneA, tels quem=ppcm(a, beinti´d)os dansA, alors (m) = (a)(b.ntmeueoqrpice´rte,) SiItuesnid´ealdeA, alors on peut munir le groupe quotientAId’une structuresuppl´ementairedanneauquotient. Proposition 1.2.1SoitAun anneau, etIaien´udedlA. Alors I est premier si et seulement siAIetsnit`egre. D´emonstration: