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Cours d’AlgµebreJean-Claude Mado2002-200326Chapitre 1Anneaux et CorpsTous les anneaux A seront suppos¶es commutatifs, unitaires et 1 =0 .A A1.1 Anneaux (rappels)Un anneau A d¶esigne donc un triplet (A;+;£) c’est µa dire un ensemble A,non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et lamultiplication ‘£’ telles que :i) (A;+) possµede une structure de groupe commutatif, d’¶el¶ement neutrenot¶e 0 .Aii) La multiplication £, (not¶ee ¶egalement ¢ ) est associative, commutativeet poss¶ede un ¶el¶ement neutre not¶e 1 ; elle est distributive par rapport µaAl’addition.Produits d’anneaux :¶Etant donn¶e une famille (A ) d’anneaux, il existe sur le produit d’en-i i2IQsembles A une structure canonique d’anneau produit.ii2IPar la suite nous nous int¶eresserons principalement aux anneaux :ZZ- ZZ, l’anneau des entiers relatifs, l’anneau des entiers modulo l’entier n,nZZnet aux extensions Z , IQ, etc.;-k[X], anneaux des polyn^omes aµ une ind¶etermin¶ee sur un corps k, vu commeapplications aµ support flnie de IN dans k;-k[X ;:::;X ], l’anneau des polyn^omes µa n ind¶etermin¶ees sur un corps k,1 nnd¶eflni comme l’ensemble des applications µa support flni de IN dans k.3664 CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS- k[[X]] anneau des s¶eries formelles µa une ind¶etermin¶ee sur un corps k,l’ensemble des applications de IN dans k, utilis¶es en combinatoire (s¶eriesg¶en¶eratrice), ou pour la r¶esolution d’¶equations difi¶erentielles.1.1.1 Divisibilit¶e dans ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Cours
dAlg`ebre
Jean-Claude
Mado
2002-2003
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Chapitre 1
Anneaux et Corps
Tous les anneauxA,snutiiammtutafireset1spustnoreocse´sopA6= 0A.
1.1 Anneaux (rappels) Un anneauA(tpielnurtodcnesd´neigA,+,×elbmesnenireut`adces)A, non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et la multiplication ‘×’ telles que : i) (A,eurtsenuegederutc+eds`os)p´lmede´uertnentecomrouptif,muta note´0A. ii) La multiplication×(n,lamenettoe´´ege) est associative, commutative etposse´deune´l´ementneutrenot´e1Aurtapipvterpiabratdisolrete`s;le l’addition.
Produits d’anneaux : ´ Etantdonne´unefamille(Ai)iId’anneaux, il existe sur le produit d’en-semblesQiIAiune structure canonique d’anneau produit. Parlasuitenousnousinte´resseronsprincipalementauxanneaux: -Z, l’anneau des entiers relatifs,nZZl’anneau des entiers modulo l’entiern, et aux extensionsZn,IQ ;, etc. -k[Xnaen,]´eesuruncorpsnua`dnieete´nimrxdaupoesnˆlyesomk, vu comme applicationsa`supportniedeINdansk; -k[X1, . . . , Xnaomeslynˆespoaeduann]l,nincrupsore´niussee´dnmretk, ` d´enicommelensembledesapplications`asupportnideINndansk. 3
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CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS
-k[[X´sprocn]]neandeaus`auneind´etermisse´irseofmrleelk nee sur u , l’ensemble des applications deINdanskteirliire,(sueantcooism´beisnse ´ ge´ne´ratrice),oupourlar´esolutionde´quationsdi´erentielles.
1.1.1Divisibilit´edansunanneau Dans un anneauAoe´dnnurentioibnletareinaidiviseerdroe´ra`tsec(,dep direre´exiveettransitive)not´ee|,d´eniepar: a, bA b|acA a=bc. Deux´el´ementaetbseront ditsocssase´idansA´vslisent:eria|betb|a. Tout´ele´mentxdeA´ementuuqle´nnosiariderz´mao,disevixest undivi-seur de zeros’il est non nul (x6= 0Aexilset´eunteisnet´lme)y6= 0Atel que ´ xy= 0A. L’anneauAo.edidivesrued´zrelniosepeds´aseptseitide`tnserg Siun´elementdeirudeuensnmelbestuneborneinf´ereSpour la relation dordrenote´e|c,`adiest:resi -i)ddivisetoute´le´mentadeS, -ii)une´le´mentmdeAndtiuq´tlee´emvisiteuoade ´ S, verifie :mdivised. On dit alors quedest leplus grand commun diviseur(pgcd) de la partieStirce´no,d=pgcd(Sai`aslcisoioatrpn.se`n´etdesil), Si 1 =pgcd(S)les´el´ementsedSsont ditspremiers entre eux. Ond´enitdemeˆmelanotiondeplus petit commun multiple(ppcm) comme bornesup´erieuredunepartiedeA. ¸ qu Ilde´couledefacon´evidentedesde´nitionse: - Dans un anneauAmenee´´ledxuistsxetysont tels quexdivisey, alors pgcd(x, y) =xetppcm(x, y) =y. -Soientx, y, zsedtneme´lesdeA, tel quepgcd(x, y, z)osti´deinorals ´ pgcd(x, y, z) =pgcd(pgcd(x, y), z).
Unite´sdelanneau Un´el´ementade l’anneauAest ditinversibleldisunit´e1lee´emtnvisile´A de l’anneau, on dit alors queaest unet´nieude l’anneauA. Lensembledese´le´mentsinversiblesdans(A,×) :Amuni de la loi interne×
´ 1.2. IDEAL D’UN ANNEAU5 constitue un groupe multiplicatif, on le noteU(A), c’est le´tsepedesunigrou deA. Dans un anneauAstnle´xeme´gr`eeuedntiaetbsemenseultssconoatiste´ise silexisteuneunite´u∈ U(A), telle quea=ub.a= 0 alorsb et si ;= 0 a6= 0, il existez, tAtel quea=bzetb=at, on a donca= (at)zet donc a(1tz) = 0,zt= 1 etzinversible
Sous-anneau Un sous-anneauBdeAest une partie deAstable pour les lois ‘+’ et×tel que (B,+,×) soit un anneau, et tel que 1B= 1A. On dit alors queAest une extensiondeB. Une intersection de sous anneaux est encore un sous anneau.
1.2Ide´aldunanneau Unid´ealIdeAest une partie deAtelle que : i)Iest un sous-groupe additif deA ii) Pour toutxI, et toutaAon aaxrtieappant`aI. Les parties{0}etAosd´sidentdeuxeaA,sid´eauxcesontleaixuedidstrtviA. Unid´ealIest ditpropretdeerentsel´idisA. Lid´ealIest ditpremierete,prrotpesils:eire´vlis, x, yA, xyI=xIouyI. Siunid´ealItunit´edelanneatneitnnue´´lmenecodeuA, alorsI=A. En effet, soitasvnreneitdenaislbeml´´eunI, toutydeAeutapircrerslo´esx=a(a1xcnodappate)rtient`aI. L’intersectionI=jJ(Ijxdeuae´dideuqnoclequleilamefund)Aest en-coreunide´aldeA. SoitSune partie non vide deAint,lctioerselsuotednuae´diseexdAqui contiennentSetsnudie´laedA,not´e(S),ilesteppaie´lae´dgneldrenpa´erS, cestlensembledessommesniesdemultiplesde´l´ementsdeS: l (S) ={Pi=1xiai|lIN,xiS, aiA,1il}, onecrit´egalement: ´ (S) ={Pil=1xiA|lIx,NiS,1il}, siSest une partie finieS={x1, x2. . . , xn}simpcritnt:lemenoe´
6CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS (S) = (x1, x2, . . . , xn) =Pin=1xiA, et on dit que c’est l’´edrenngleea´dirlpanest´lmesee´x1, x2, . . . , xndeA. Demeˆmeunide´alIde l’anneauAest dit detype finis’il est de la forme I= (x1, . . . , xn`u)ox1, . . . , xne´sedtnostneme´ldesIices,irest`adIest engendre´parunnombrenid´el´entdeA. em Unid´ealIde l’anneauAest ditprincipal, s’il est de la formeI= (x)o`ux estun´ele´mentdeIiradiesc,`tseIteesenngntapurrde´e´em´nlexdeA. Les ideaux triviaux deAsont principaux :{0}= (0), etA= (1). La relation binaire ‘|’ de l’anneauAse traduit en termes de relation d’inclu-sionentreide´auxprincipaux: a, bA a|b⇐⇒(a)(b). Ilenre´sultequeles´ele´mentsaetbsont associes si et seulement si (a) = (b). ´ Sur l’ensembleIdiseduxdau´eueannnaAuedto,pnriede´nisinuxloetern d’addition et de multiplication : SoientIetJid´eauxddeuxeA, on appelleau´eiduxdeesecedosmmxqu’on noteI+J´dalenid´el,raIJ. gen re p Ond´enitdemeˆme,litroduaepli´dIJelicommemnserleblgnelae´dape´rdne S={xy|xIy,J}. Danslecasdid´eauxprincipauxI= (a)etJ= (b), on aIJ= (ab). On a toujours l’inclusionIJIJ´gel,´eeire´vnonlare´neg´enntta´e´eital (denaseicnnounri´et´ebpropZ:ppcm(a, b)6=ab). Cependant dans le cas I+J=Ao,(ertnomnnetuesce)icrcxeagille´´t:eIJ=IJ. Muni de ces deux lois d’addition et de multiplication,Iopsse`ednusertuc-ture,quibienqu´etantinte´ressantenestpascelledunanneau.Pourautant, lid´al(0)est´ele´mentneutredelop´eration+,etlid´eal(1)celuidelamul-e tiplication dansI. Soientaetbdeux´eauledenname´lstneA, tels quem=ppcm(a, beinti´d)os dansA, alors (m) = (a)(b.ntmeueoqrpice´rte,) SiItuesnid´ealdeA, alors on peut munir le groupe quotientAId’une structuresuppl´ementairedanneauquotient. Proposition 1.2.1SoitAun anneau, etIaien´udedlA. Alors I est premier si et seulement siAIetsnit`egre. D´emonstration:
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