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I. Lois et variables al´eatoires 1.1. Exemples de lois discr`etes1. Lois discr`etes a) Loi de Bernoulli b(p) =B(1,p)La v.a. X suit une loi de Bernoulli de param`etre p,D´efinition. avec 0 < p < 1, si X prend ses valeurs (p.s.) dansUne variable al´eatoire (v.a.) est discr`ete si elle {0,1}, P(X =1)=p et P(X =0)=1−p.prend presque sˆurement ses valeurs dans un en-b(p)=(1−p)δ +pδ .semble fini ou d´enombrable E. 0 1(g´en´eralement, X prend des valeurs enti`eres).Exemple : jeu de pile ou face. 1 repr´esente unSi E ={x ,i∈I} et P(X =x )=p , la loi de X esti i i succ`es, 0 un ´echec. La pi`ece est ´equilibr´ee siXp=1/2.P = p δ .xX i ii∈IPOn a p ≥0 et p =1i ii∈I Plus g´en´eralement, quand une v.a. ne prend p.s.(sinon P n’est pas une probabilit´e).X que2valeurs,onditqu’ellesuituneloideBernoulli.Une probabilit´e Q est dite discr`ete si elle s’´ecritcomme combinaison lin´eaire finie ou d´enombrablede masses de Dirac : XQ= pii∈IUne v.a. est discr`ete ssi sa loi est discr`ete.1 2b) Loi binomiale B(n,p) 2. Lois continuesLa v.a. X suit une loi binomiale de taille n≥1 et deD´efinition. Une probabilit´e Q est continue s’ilparam`etre p, avec 0
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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I.Loisetvariablesale´atoires 1.Loisdiscr`etes D´finition. e Unevariableal´eatoire(v.a.)estidteecs`rsi elle prendpresquesuˆrementsesvaleursdansunen-semblenioud´enombrableE. (generalement,Xer)site`srnelaue.ndresvdep ´ ´ SiE={xi iI}etP(X=xi) =pi, la loi deXest PX=XpiδxiiI On api0 etPiIpi= 1 (sinonPXntsee´.)pasuneprobabilit Uneprobabilite´Qest diteete`crisdleisrce´selit commecombinaisonlineairenieoude´nombrable ´ de masses de Dirac : Q=Xpi iI Unev.a.estdiscr`etessisaloiestdiscre`te.
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b) Loi binomialeB(n p) La v.a.Xsuit une loi binomiale de taillen1 et de parametrep, avec 0< p <1, siXprend ses valeurs ` dans{01     n}etP(X=k) =Cnkpk(1p)nk pour 0kn. n B(n p) =XCknpk(1p)nkδkk=0 Exemple : loi du nombre de faces obtenus si on fait nlanceissfdnusrusccsentyaprlai`epeaece´babotili pde tomber sur face. c) Loi de PoissonP(λ) La v.a.Xrtedeoielunitsue`marapednossioPλ >0 siXprend ses valeurs dansNetP(X=k) =eλλkk! pour tout entierkN. P(λ) =Xeλλkδ kNk!kLaloidePoissonestlaloidese´v´enementsrares (nombredepannespendantunedure´edonn´ee, nombre d’accidents,. . .). 3
1.1.Exemplesdeloisdiscr`etes a) Loi de Bernoullib(p) =B(1 p) La v.a.Xamarepidetr`esuitioednuleuolleBnrp, avec 0< p <1, siXprend ses valeurs (p.s.) dans {01},P(X= 1) =petP(X= 0) = 1p b(p) = (1p)δ0+1Exemple:jeudepileouface.1repr´esenteun succe`s,0un´echec.Lapie`ceeste´quilibr´eesi p= 12. Plusg´ene´ralement,quandunev.a.neprendp.s. que 2 valeurs, on dit qu’elle suit une loi de Bernoulli.
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2. Lois continues De´nition.baborpenU´eilitQestcontinues’il existe une fonction mesurablef:RRav`eualrs positivestelleque,pourtoutensemblebore´lien B∈ B(R),Q(B)ZB(x)dx. =f fest laedsntie´deQ. On notedQ=f(x)dx. Il faut queZRf(x)dx= 1 (sinonQt´libibaroepunas.)eseptn On peut aussi parler de loi continue surRdavec unedensit´ef:RdR+. Remarque.La terminologie est trompeuse : la fonctionf essairement continue.n’est ´ pas nec On dit aussi queQest absolument continue par rapporta`lamesuredeLebesgue. Une v.a. est continue si sa loi est continue. Remarque.SiXest une v.a. continue, alors P(X=a) = 0 pour toutarZa Rcaf(x)dx= 0. a 4
2.1. Exemples lois continues a) Loi exponentielleE(λ) = exp(λ) Xnentielledeparamsedtleioxeoprte`eλ >0 si sa ´λx densite est 1lR+(x)λe. Exemple:dure´edeviedunatomeradioactif. Cestuneloisansme´moire:cequisepasseapre`s le tempsttsedantdeceind´epenapsse´uqsiets avant (voir l’exercice 7).
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3. Formule de transfert (ou de transport) SoitX: ΩEune v.a. etϕ:ERune fonction mesurableborne´e. E(ϕ(X))d=efZΩϕ(X(ω))dP(ω) formule de transfert:E(ϕ(X)) =ZRϕ(x)dPX(x). En particulier, siXest une v.a. reelle : ´ E(X) =ZRx dPX(x) et Var(X) =ZRX(x)ZRx dPX(x)2x2dP
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b) Loi de Gauss, loi normaleN(m σ2) Ladensite´delaloinormalere´duiteN(01) est 1(x22)2πexpLadensit´edelaloinormaleN(m σ2u`o,)mRet σ2>0, est 1 2πσ2exp(x2σ2m)2!Cetteloiestdesp´erancemet de varianceσ2. La loi normale est la “loi des erreurs” . dessins des gaussiennes tendtre`svitevers0i.l`anin m=,eimyserte´edaxσ: hauteur/largeur de la bosse
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Loidiscre`te. Zϕ(t)δx(t) =ϕ(x). Donc, siXetsa.d.nuve`eteiscr de loiPX=Xpiδxi, alorsE(ϕ(X)) =Xpiϕ(xi). iI iI Exemples de calcul Loi de Bernoulli. SiPX=b(p)alors E(X) = (1p)×0 +p×1 =p. Var(X) =E(X2)E(X)2=pp2=p(1p). Loi de Poisson. SiPX=P(λ)alors k E(X) =Xeλkλ!k=λekλX(λkk11)! =λeλeλ k0 1 do`uE(X) =λ. (voir l’exercice 2 pour le calcul de la variance)
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Loi continue. SiXit´euededens.aoctnniseuten.vf(x), alors E(ϕ(X)) =ZRϕ(x)f(x)dx. Exemples de calcul Loi normale.SoitXde loiN(01)(on admet ici que c’est uneloideprobabilit´e,cest-a`-direque21πZRex22dx= 1). Esperance. ´ E(X) =ZR21πx22dx= xe0car la fonction est impaire. Variance.Montrons queVar(X) = 1. Var(X) 1Zx2ex22dx. = 2πR Int´egratities[avecu=x v0=xex22] : on par par 2 Var(X) =xe2x2π+21πZRex22dx Var(X) = 0 +PX(R) = 1. [Pourmontrerquelespe´ranceestmet la varianceσ2pour la loiN(m σ2): prendreYde loiN(m σ2)etX=Yσm. P(XB) =P(YσB+m) =RσB+m12πσ2exp(yσm2)2dy 2 Par changement de variablex=yσm, on trouvePX=N(01). CommeY=σX+m, on a E(Y) =E(X) +m=metVar(Y) =σ2Var(X) =σ2.] 9
(ne pas faire en cours) Lethe´ore`mesemontre`alaidedulemmesuivant: Lemme. Une familleCde parties deΩest unπebltats-eme`tsysseelleis parintersectionnie(c.`a.d.siC1     Ck∈ CalorsC1∩∙ ∙ ∙∩CkC). SoitP1etP2usrtie´abilprobesdeesurdxmeuF)telles que C∈ C P1(C) =P2(C)u`o,Cest unπdnerequienge-syst`em F. AlorsP1=P2. Preuve de la proposition a)FXest croissante car sitt0alors]− ∞ t]]− ∞ t0]. b)=\]− ∞n]ce´dsiortnasod)encinte(tionrsec0 = n0 limFX(n). De plus,FX(n1)FX(t)FX(n)sin1t≤ −ndonc lim0 =FX(t). t→−∞ R=[]− ∞ n](union croissante) donc1 =tlimFX n0 +(t). c){Xt}=\{Xt+ 1n}, c’est une intersection n1 d´ecroissantedoncFX(t) = limFX(t+ 1n). CommeFXest croissante, on aFX(t) = limxtFX(x),qeeud-ri-ta`cseFest continue`adroitedet. {X < t}=[{Xt1n}, c’est une union croissante donc n1 P(X < t) =FX(t).
4. Fonction de repartition ´ D´enition.SoitXa.r.nuveelL.e´leafonction de r´epartitiondeXen,e´toFXr,estd´eniepa tR FX(t)d=efP(Xt)The´ore`me.iseretrapoitiracn´tcaLafonctionder´e laloi,cest-`a-direFX=FY⇐⇒PX=PY. Proposition.SoitX.leelnue´r.a.ve ` a)FXest une fonction croissante a valeurs dans [01]. b)tlimFX(t) = 0 lim etFX(t) = 1→−t+c)aR,FXorti`edaitunctnoeseedaet d=eflimFX(t) existe et vautP(X < a). FX(a)ta Remarque.Une fonctionFve´iratnelpsropri´et´esa),b))c, estlafonctiondere´partitiondunecertainev.a. Propri´et´es. P(X=a) =FX(a)FX(a). P(a < Xb) =FX(b)FX(a) sia < b. P(X > a) = 1FX(a). 10
SiXd.a.rcsiete`fal,steevunntioiiondonctparter´e est en escaliers, les marches sont aux valeurs prises parX, la hauteur de la marche enxiestP(xi). Remarque.ionsder´Lesfoncttnosennoititrapeesr`stpa utiles pour les v.a. dis `tes. cre Exemples. DessinerFXpourB(212)(elavsru141214).
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