Cours de mathématiques discrètes

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p?{p?@@pq??pqqqp?q@p?qCours de Mathematiques discretes7 novembre 20101 Rappels sur les recurrences1.1 recurrences lineairesDe nition 1. 1. recurrences lineaires homogenes a coe cients constants : n;n k 0,u a u ::: a u ;n 1 n 1 k n k2. recurrences lineaires non homogenes a coe cients constants : n;n k 0,u a un 1 n 1::: a u b n ;k n k3. recurrences lineaires a coe cients variables : n;n k 0, u a n u :::n 1 n 1a n u b n ;k n kExemple 1. 1. Nombre de comparaison dans une recherche dichotomique pour un tableau triemde longueur n 2 : t t 1 et t 1.n n 2 1resolution inuitive et demonstration par recurrence : t d m 1 m 1 log n .n 1 22. La suite de Fibonacci f f f et f f 1 et g g g 1 (cf. AVL etn n 1 n 2 2 1 n n 1 n 2hauteur).Resolution par polyn^ ome caracteristique : marche pour les recurrences du typeu aun n 12bu qui a pour polyn^ ome caracteristique x ax b, de racines x et x . Ce qui donnen 2 1 2n n nu lx mx si les deux racines sont distinctes et u l mn x sinon.n n1 2 13. Complexite en temps de l’agorithme recursif des tours de Hano : h 2h 1 eth 1.n n 1 1Le probleme : deplacer des disques de diametres di erents d’une tour de depart a une tourd’arrivee en passant par une tour intermediaire et ceci en un minimum de coups, tout enrespectant les regles suivantes :{ on ne peut deplacer plus d’un disque a la fois,{ on ne peut ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Cours de Mathematiques discretes
7 novembre 2010
1 Rappels sur les recurrences
1.1 recurrences lineaires
De nition 1. 1. recurrences lineaires homogenes a coe cients constants : n;n k 0,
u a u ::: a u ;n 1 n 1 k n k
2. recurrences lineaires non homogenes a coe cients constants : n;n k 0,u a un 1 n 1
::: a u b n ;k n k
3. recurrences lineaires a coe cients variables : n;n k 0, u a n u :::n 1 n 1
a n u b n ;k n k
Exemple 1. 1. Nombre de comparaison dans une recherche dichotomique pour un tableau trie
mde longueur n 2 : t t 1 et t 1.n n 2 1
resolution inuitive et demonstration par recurrence : t d m 1 m 1 log n .n 1 2
2. La suite de Fibonacci f f f et f f 1 et g g g 1 (cf. AVL etn n 1 n 2 2 1 n n 1 n 2
hauteur).
Resolution par polyn^ ome caracteristique : marche pour les recurrences du typeu aun n 1
2bu qui a pour polyn^ ome caracteristique x ax b, de racines x et x . Ce qui donnen 2 1 2
n n nu lx mx si les deux racines sont distinctes et u l mn x sinon.n n1 2 1
3. Complexite en temps de l’agorithme recursif des tours de Hano : h 2h 1 eth 1.n n 1 1
Le probleme : deplacer des disques de diametres di erents d’une tour de depart a une tour
d’arrivee en passant par une tour intermediaire et ceci en un minimum de coups, tout en
respectant les regles suivantes :
{ on ne peut deplacer plus d’un disque a la fois,
{ on ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un empla-
cement vide.
On suppose que cette derniere regle est egalement respectee dans la con guration de depart.
L’algorithme :
Hanoi(nombre, A, B, I)
si nombre > 0 alors
Hanoi(nombre - 1, A, I, B);
Deplacer un disque de A vers B; - 1, I, B, A);
finSi
(a) resolution intuitive et par recurrence
(b) R par series generatrices.
4. Complexite la pire du quicksort en nombre de comparaisons : p p n 1 et p 1.n n 1 2
L’algorithme : La methode consiste a placer un element du tableau (appele pivot) a sa place
de nitive, en permutant tous les elements de telle sorte que tous ceux qui lui sont inferieurs
soient a sa gauche et que tous ceux qui lui sont superieurs soient a sa droite. Cette operation
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s’appelle le partitionnement. Pour chacun des sous-tableaux, on de nit un nouveau pivot et
on repete l’operation de partitionnement. Ce processus est repete recursivement, jusqu’ a ce
que l’ensemble des elements soit trie.
n 1
n n 1
{ resolution par sommation : p i .n
2
i 1
{ resolution par la methode du polyn^ ome caracteristique : si u a u ::: a un 1 n 1 k n k
l
b n P n avec P n polyn^ ome en n.i i i
i 1
Ici l 1, b 1 et et P n n 1.1 1
5. Complexite en moyenne du quicksort en nombre de comparaisons : supposons que le choix du
pivot se porte de fa con aleatoire sur chacun des elements du tableau de taille n ; alors le cout^
n 1
1moyen en nombre de comparaisons c est : c c c n 1 et c c 0.n n i n 1 i 1 0n
i 0
(a) Le terme generique c peut s’ecrire :n
n 1
2
c c n 1n i
n
i 0
n 2
2 2
c c n 1n 1 i
n n
i 0
n 2
2 n 1 2 n 1
c c n 2 n 2 n 1n 1 i 1
n n n 1 n
i 0
n 1 n 1Le terme entre parentheses est exactement c , doncc c 2 , soitdn 1 n n 1 nn n
n
1 1cc n 1 2 2 2 2n d . Alorsd 2n 1 nn 1 n n 1 n n 1 n 1 n n 1 i 1 i i 1
i 1
n
1
2 H 1 . H est le nombre harmonique au rang n et H log n .n 1 n n
i i 1
i 2
n
1
Comme est negligeable devant H , on a que c 2 n 1 log n 1 .n 1 n
i i 1
i 2
(b) Resolution egalement avec les series generatrices.
1.2 recurrences non lineaires
n 1
Exemple 2. Nombre d’arbres binaires a n noeuds : b b b et b 1, b 1.n k n 1 k 0 1
k 0
Resolution par series generatrices.
2 Enumeration et classes combinatoires
2.1 Enum
Enumerer, c’est determiner le nombre de con gurations combinatoires decrites par un ensemble
ni de regles. On souhaite les compter en fonction de leur(s) taille(s).
De nition 2. On appelle atome d’une con guration combinatoire, un element de cette con gu-
ration de taille 1.
Exemple 3. Nombre d’ecritures binaires :
{ si la taille est la longueur du mot binaire : 1; 2; 4; .
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{ si les tailles sont la longueur et le nombre de 1 : 1; 1; 1; 1; 2; 1;
{ si les sont la et le nombre de passage de 0 a 1 : 1; 2; 3; 1;
Un atome est ici un chi re du mot binaire.
Exemple 4.
2.2 Classes combinatoires
Une classe combinatoire est un ensemble ni ou denombrable d’objets de nis par une taille tel
que :
{ la taille soit un entier positif ou nul ;
{ l’ensemble des elements d’une taille donnee n est ni.
A une classe combinatoire A correspond une suite d’enumeration c ;c ;::: , avec c le nombre0 1 i
d’objets deA de taille i.
Exemple 5. Les nombres binaires comptes suivant leur longueur forment une classe combinatoire.
lA une longueur l donnee correspond un ensemble ni de nombres binaires (de taille 2 ).
Notations 1. SoitA un ensemble denombrable.
{ soit a A, on note a la taille de l’element a deA.
{ A A , ouA est l’ensemble des elements deA de taille n.n n
n N
{ On note A; : une classe combinatoire avec : :A N, tel qu’ a tout entier n N correspond
par la fonction inverse de : un ensemble ni d’elements de A. S’il n’y a pas d’ambiguit e, on
noteA pour A; : .
Exemple 6. { La classe A; : des arbres binaires comptes suivant leur nombre n de noeuds
1 2nest une classe combinatoire : A C (preuve par recurrence ou SG).n n 1 n 1 n
{ La classe A; : des permutations comptees suivant leur longueur n est une classe combina-
toire : A n! (preuve par recurrence).n
De nition 3. Deux classes combinatoires A; : et B; : sont dites isomorphes, et on le noteA B
A B, si et seulement si leur suite d’enumeration des objets par taille est la m^eme.
Remarque 1. A B A etB sont en bijection, ie. il existe une fonction f :A B bijective.
nExemple 7. Soit A; : la classe des nombres binaires comptes suivant leur longueur : A 2A n
et soit B; : la classe des parties des ensembles 1;:::;n , comptes suivant n. AlorsA B etB
f : A B
a b :::b b En 1 0
ou i 0;i E si et seulement si b 1.i
3 Series generatrices
3.1 Series formelles a une variable a valeurs dans C
De nition 4. Une serie formelle f a une indeterminee z sur C, est une expression formelle du
itype : f z a z , ou les a , appeles coe cients de f, sont a valeurs dans C. On note C zi i
i 0
l’ensemble des series formelles a valeur dansC. Le coe cient a def est appele le terme constant.0
Remarque 2. Si tous les a sont nuls sauf un nombre ni de a , alors f est un polyn^ ome.i i
i iSoientf etg deux series formelles deC z ,f z a z etg z b z . On munitC zi i
i 0 i 0
de :
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i{ l’addition : f z g z c z avec c a b . L’element neutre pour l’addition est lai i i i
i 0
serie formelle dont tous les coe cients sont nuls ; il est note 0.
i
i{ la multiplication : f z g z d z avec d a b . L’element neutre pour la mul-i i k i k
i 0 k 0
tiplication est la serie formelle dont tous les coe cients sont nuls, sauf son terme constant
egal a 1 ; il est note 1.
L’addition est commutative et associative. La multiplication est commutative, associative et dis-
tributive par rapport a l’addition. Par ailleurs toute serie formelle f admet un oppose egal a
i ia z a z f z . On dit alors que C z ; ; forme une algebre.i i
i 0 i 0
n
De nition 5. Soit la serie formelle f z a z C z . On appelle ordre (valuation) de f,n
n N
note ord f , l’entier de ni comme suit :
ord f min n N a 0 et ord 0n
Lemme 1. Soient f et g deux series formelles. Alors :
ord f g min ord f ;ord g et ord fg ord f ord g
n nDemonstration. Posons ord f p et ord g q. Alors f z a z a z et g zn n
n N n p
n nb z b z . D’oun n
n N n q
nf z g z a b zn n
n min p;q
n
nf z g z a b zk n k
n 0k 0
Or on sait que a 0 si k p et b 0 si n k q.k n k
n
Donc a b 0 si k p et n k q, soit si n q k q p.k n k
k 0
Ce qui signi e que ord f g ord g ord f .
p q
p qPar ailleurs le coe cient de z dans la serie f z g z est a b a b 0. Donck p q k p q
k 0
ord f g ord g ord f .
Lemme 2. L’algebre C z ; ; est integre (ie. f;g C z , f z g z 0 f z
0 ou g z 0).
n nDemonstration. Supposons ord f p, ord g q et posons f z a z et g z b z .n n
n N n N
i
iAlors f z g z d z avec d a b .i i k i k
i p q k 0
d a b (tous les autres termes de la somme sont nuls car a 0 si k p et b 0 sip q p q k p q k
k p).
Comme par hypothese d 0, cela entra^ ne que a 0 ou a 0 et donc que ord f p oup q p q
ord g q, ce qui contredit la supposition de depart. Donc ord f ou ord g , soit
encore f 0 ou g 0.
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3.2 Series generatrices
De nition 6. La serie generatrice d’une suite d’enumeration a d’une classe combinatoirei i N
n eA est la serie formelle A z a z z .n
n N e A
Remarque 3. La puissance n de z donne la taille et son coe cient a , le nombre d’objets deAn
de taille n.
n n nPour les coe cients de A z , on utilise la notation z A z z a z a .n n
n N
On ne s’occupe pas de convergence car z est un parametre formel, il ne prend pas de valeur. Seul
sa puissance nous interesse, indiquant la taille des objets enumeres.
n n
Exemple 8. { A z 2 z est la serie generatrice des nombres binaires comptes suivant
n N
leur longueur.
n{ n!z est la serie generatrice des permutations comptees suivant leur nombre d’elements.
n N
3.3 Substitution
nDe nition 7. Soit A ,I N, une famille de series formelles. On pose i I;A a z .i i I i i;n
n 0
La famille A est dite sommable si pour tout n, la famille a , n’a qu’un nombre ni dei i I i;n i I
ntermes non nuls. Posons n N;c a , alors la serie formelle A z c z estn i;n i n
i I i I n 0
appelee somme de la famille A .i i I
Exemple 9. { Soit la famille de series formelles A telle que pour tout i, ord A i.i i N i
n nAlors cette famille est sommable car posonsA z a z . On a queA z a zi i;n i i;n
n 0 n i
et la suite a n’a que des termes nuls sauf les termes tels que i n, soit les termesi;n i N
a avec 0 i n en nombre ni ( n 1) pour n xe.i;n
La somme A z a un sens.i
i 0
ii{ La famille a z est sommable et donc a z a bien un sens.i i N i
i 0
{ Soit la famille de series formelles A , avec I un ensemble ni d’indices. Alors la famillei i I
A est sommable et A z a un sens.i i I i
i 0
n nDe nition 8. Soient A z a z et B b z deux series formelles avec ord B 1.n n
n N n N
Alors on peut substituer B a z dans A et obtenir ainsi la serie formelle A B, composee de A par
B :
nA B z a B zn
n N
nPour que la substitution soit possible, il est essentiel que ord B 1. Ainsi ord a B n etn
in nla famille a B est sommable car si on pose a B c z , alors la suite c n’an n N n n;i n;i n N
i n
qu’un nombre ni de termes non nuls : c ;c ;:::;c .0;i 1;i i;i
n
Exemple 10. Soient A z 2z et B z z . Comme ord A 1, on peut composer B par
n 0
n n nA et B A z A z 2 z .
n 0 n 0
Propriete 1. SoientA;B;C trois series formelles telles queord A 1. Alors on a les proprietes
suivantes :
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{ B C A B A C A,
{ BC A B A C A ,
{ C, A ,
{ si de plus ord B 1, C B A C B A .
3.4 Inverse d’une serie formelle
n n n 1
L’identite 1 z z 1 z z 1 entra^ ne que la serie formelle 1 z est
n N n 1 n 0
n1inversible et on a z .
1 z
n 0
nTheoreme 1. Soit A z a z C z . A est inversible si et seulement si a 0.n 0
n N
1 1 nDemonstration. A z a 1 B z avecB z 1 A z a z . Donc ord B 1 et0 na a0 0
n 1
n1 1on peut composer la serie formelle 1 z parB et l’inverser : B z . La1 z B z 1 B z
n 0
1 nn 1famille B est sommable. Ce qui entra^ ne que A est inversible : A z B z .n N a0
n 0
Exemple 11. La serie formelle 1 z est inversible car son coe cient constant est non nul.
1 z 1 z 1 z z car ord z 1 et la substitution est possible. Comme 1 z est
n n n1 1inversible, 1 z z l’est egalement et z 1 z .1 z 1 z z
n 0 n 0
3.5 Derivees et primitives de series formelles
nDe nition 9. Soit f z a z C z .n
n 0
La derivee de f en la variable z, notee f z , est une serie formelle de C z et
n 1 nf z na z n 1 a zn n 1
n 1 n 0
.
La primitive de f en la variable z est une serie formelle de C z et
z n 1 nz z
f t dt a an n 1
n 1 n0 n 0 n 0
.
1 zn n 1 n n
Exemple 12. { nz z nz z z z z z 1 .21 z 1 z
n 0 n 1 n 1 n 1
z z znz 1n 1 n 1 n 1 n 1
{ 1 1 t dt t dt dt ln 1 z . Alors
n 1 t0 0 0n 1 n 1 n 1
n nz zncomme ord z 1 0, 1 z ln 1 z z ln 1 z
n n
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1 z
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3.6 Series formelles usuelles
n 1z
1 z
n 0
n n 11 z
1 z
n 0
n 1n 1 z 21 z
n 0
1 n 1z ln
1 zn
n 1
n 11 nz ln 1 z
n
n 1
1 n zz e
n!
n 0
k n kz 1 z
n
n 0
n1 2n 1z sin z
2n 1 !
n 0
n1 2n
z cos z
2n !
n 0
n 1
1 1 n ki z 1 z
n! k
n 0 i 0
3.7 Exemples de resolution d’une recurrence par serie generatrice
3.7.1 Resolution de la recurrence g g g 1 avec g 1 et g 1n n 1 n 2 1 2
nPosons G z g z . Alorsn
n 0
n 2 nG z g z g z g z g g 1 zn 1 2 n 1 n 2
n 1 n 3
12 n 2 n 2z z z g z z g z 1 z zn n
1 z
n 2 n 1
12 2zG z z G z 1 z
1 z
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Alors en rassemblant les termes en G z , on obtient :
2 21 1 1 1 z 1 z z 1 z z2G z 1 z
2 2 21 z z 1 z 1 z z 1 z 1 z z 1 z
2z 1 z z 5 1 1 5 1 1 12z 1 z z
1 5 1 5 1 5 1 52 2 1 zz z 1 z z z2 2 2 2
n n
5 1 2 2 5 1 2 22 n n nz 1 z z z z z
2 21 5 1 5 1 5 1 5n 0 n 0 n 0
n n
5 1 2 5 1 22 n1 z z 1 z
2 21 5 1 5n 1
n n
5 1 1 5 5 1 1 52 n
1 z z 1 z
2 2 2 2
n 1
n 1 n 1
1 5 1 52 n1 z z 1 z
2 2
n 1
n 1 n 1
1 5 1 5Si on pose h 1, alorsn 2 2
2 n n n 1 n 2 n n nG z 1 z z h z h z z z h z h z h z .n n n n 1 n 2
n 1 n 1 n 1 n 2 n 3
D’ou n 3; g h h hn n n 1 n 2
g h h .2 2 1
g h1 1
3.7.2 Resolution de la recurrence a 3a a avec a 1, a a a 0,n n 4 n 5 0 1 2 3
a 34
nPosons A z a z . Alorsn
n 0
4 n 4 nA z a a z a z 1 3z 3a a z0 4 n n 4 n 5
n 5 n 5
4 n n 4 4 n 5 n
1 3z 3a z a z 1 3z 3z a z z a zn 4 n 5 n n
n 5 n 5 n 1 n 0
4 n 5 n1 3z a z z a zn n
n 0 n 0
4 51 3z z A z 1
1
A z 4 51 3z z
4 5 4 5 1Comme ord 3z z 4, on peut substituer 3z z a z dans . On obtient alors :1 z
n
1 n4 5 4 5 n 4 k 5 n kA z 3z z 3z z 3z z
1 z k
n 0 n 0k 0
n
n k 5n k
3 z
k
n 0k 0
n
nm kOn a alors z A z 3 .
k
n 0 k 0
5n k m
8
p


p

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q

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qp


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p
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q
p

q


q
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p
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P

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q
q
3.7.3 Resolution de la recurrence sur les arbres binaires
nSoit B z b z la serie generatrice des arbres binaires comptes suivants leur nombrenn 0
n 1
de noeuds. On rappelle que la recurrence veri ee par les b est : n 1;b b b etn n k n 1 kk 0
b 1.0
n 1
n n nB z b z 1 b z 1 b b zn n k n 1 k
n 0 n 1 n 1k 0
n 1
k n 1 k k n 1 k1 b b z z z 1 z b b z zk n 1 k k n 1 k
n 1k 0 k 0n k 1
n 1 k k m k1 z b z b z 1 z b z b zn 1 k k m k
k 0 n k 1 k 0 m 0
k k 21 z B z b z 1 zB z b z 1 zB zk k
k 0 k 0
1 1 4z 1 1 4zCette equation admet deux racines : B z etB z . Une des deux racines0 12z 2z
est la solution recherchee. C’est celle dont le premier terme est tel que b 1.0
1 4z 1 z 4z et ord 4z 1. On peut donc substituer 4z a z dans la serie
n 1
1 1 nformelle 1 i z 1 z. Alors
n! 2
n 1 i 0
n 1
1 1 1 1 1 3 2n 3n n1 4z 1 i 4z 1 ::: 4z
n! 2 n! 2 2 2 2
n 1 n 1i 0
n 1 2n 1 n1 1 2n 3 ! 1 1 4 2n 3 !n n n n1 1 4 z 1 z
n n 2 2n 2n! 2 2 n 2 ! n! 2 n 2 !
n 1 n 1
1 2n 3 ! 1 2n ! n 1 nn n1 4 z 1 4 z
n! n 2 ! n! n! 2n 2 2n 1 2n
n 1 n 1
2n 1 n
1 z
n 2n 1
n 1
B est donc la solution car :0
2n 1 n1 1 z
n 2n 1 2n 1n 1 n 1B z z0
2z n 2 2n 1
n 1
2 m 1 1 2m 1m mz z
m 1 2 2m 1 m m 1
m 0 m 0
2m
m iemeLe nombre est appele le m nombre de Catalan.
m 1
4 Serie generatrice exponentielle
4.1 De nition
Etant donnee une suite d’enumeration a , il arrive que la serie generatrice de cette suiten n N
ansoit complexe, alors que celle de la suite soit plus simple. Dans ce cas on prefere travaillern Nn!
avec la serie generatrice la plus simple et il su t une fois les calculs faits de multiplier par n!.
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