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Chapitre 5Produit d’un vecteurs par un réel.I Introduction.1 Encore une histoire de vol.L’hélicoptère veut s’élever en hauteur. Pour cela, il doit appliquer une force ascentionnelle supérieure de 20% àson poids qui est figuré sur le dessin ci dessus.• Dessiner la force ascentionnelle de l’hélicoprère.• Dessiner la force ascentionnelle générée par chacune des trois pales de l’hélicoptère.2 Avec des quadrillages.Sur le quadrillage ci-dessous est représenté un vecteur ~u.• Représenter le vecteur ~v =~u+~u puis le vecteur w~ =~u+~u+~u~• Représenter le vecteur−~u puis les vecteurs t =−~u−~u et ~z =−~u−~u−~u.4748 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.~u3 Avec un repère.~Reproduire dans le repère ci dessous les vecteurs ~u, ~v, w~, t et ~z dessinés dans le paragraphe précédent. Quellessont les coordonnées des de ces différents vecteurs?65432 ~u1−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11−1~~u(··· ;··· ) ; ~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ; t(··· ;··· ) ; ~z(··· ;··· )II Produit d’un vecteur par un réel.1 La définition. Définition 1 Dans le repère (O, I, J) , le vecteur ~u est donné par ses coordonnées ~u(a;b). k est un nombreréel. Le vecteur de coordonnées (k.a;k.b) est le produit du vecteur ~u par le nombre k. On le note k~u.Exercice 1.Dans un repère (O, I, J) le vecteur ~u a pour coordonnées ~u(−4;2).1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :1~~v =−2~u ; w~ = ~u ; t = 3~u2II. PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL. 49~~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre 5
Produit d’un vecteurs par un réel.
I Introduction.
1 Encore une histoire de vol.
L’hélicoptère veut s’élever en hauteur. Pour cela, il doit appliquer une force ascentionnelle supérieure de 20% à
son poids qui est figuré sur le dessin ci dessus.
• Dessiner la force ascentionnelle de l’hélicoprère.
• Dessiner la force ascentionnelle générée par chacune des trois pales de l’hélicoptère.
2 Avec des quadrillages.
Sur le quadrillage ci-dessous est représenté un vecteur ~u.
• Représenter le vecteur ~v =~u+~u puis le vecteur w~ =~u+~u+~u
~• Représenter le vecteur−~u puis les vecteurs t =−~u−~u et ~z =−~u−~u−~u.
4748 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
~u
3 Avec un repère.
~Reproduire dans le repère ci dessous les vecteurs ~u, ~v, w~, t et ~z dessinés dans le paragraphe précédent. Quelles
sont les coordonnées des de ces différents vecteurs?
6
5
4
3
2 ~u
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
~~u(··· ;··· ) ; ~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ; t(··· ;··· ) ; ~z(··· ;··· )
II Produit d’un vecteur par un réel.
1 La définition.
Définition 1 Dans le repère (O, I, J) , le vecteur ~u est donné par ses coordonnées ~u(a;b). k est un nombre
réel. Le vecteur de coordonnées (k.a;k.b) est le produit du vecteur ~u par le nombre k. On le note k~u.
Exercice 1.
Dans un repère (O, I, J) le vecteur ~u a pour coordonnées ~u(−4;2).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants :
1
~~v =−2~u ; w~ = ~u ; t = 3~u
2II. PRODUIT D’UN VECTEUR PAR UN RÉEL. 49
~~v(··· ;··· ) ; w~(··· ;··· ) ; t(··· ;··· )
2. Représenter ces vecteurs dans le repère ci-dessous.
6
5
4
3
2
1
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
◦ ◦ ◦ ◦Sur le livre : lire l’exercice résoluF page 235, faire ensuite les exercices n 18, n 19, n 20 et n 24 page 235.
2 Vecteurs colinèaires.
Définition 2 Si ~v =k.~u, on dit que les vecteurs~v et ~u sont colinéaires.
Remarque 1
• Dans le cas où ces vecteurs ne sont pas nuls, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la
même direction.
~z
w~
~u
~v
• Onpeutremarquerquedeuxvecteursopposéssontdesvecteurscolinéaires.En effet,si~uet~v sontopposés,
~v =−~u, ici le nombre x vaut -1.
−→ −→
• Un vecteur ~u est toujours colinéaire avec le vecteur nul 0. En effet, dans un repère (O, I, J) , 0 (0;0)
−→
et, si ~u(0;0), alors 0~u(0;0). On constate bien que 0 et ~u sont colinéaires.
◦ ◦Sur le livre : faire les exercices n 9 à n 12 page 233.
◦ ◦ ◦Sur le livre : faire les exercices n 54 page 241, puis n 56 à n 59 page 24 2 .50 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
3 Faire des calculs avec des vecteurs et des réels.
règle : Les calculs avec des vecteurs et les réels se font comme les calculs avec les lettres et les nombres.
Exemple 1
~ ~ ~ ~• Si ~u = 2i−4j et ~v =−3i+j alors :
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~2~u+5~v = 2(2i−4j)+5(−3i+j) = 4i−8j−15i+5j =−11i−3j
−→ −→ −→ −→
• A, B et C sont des points du plan<; <on peut écrire 3AB−2AC +4BC en fonction des vecteurs AB et
−→
AC seulement.
−−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −→
3AB−2AC+4BC = 3AB−2AC+4(BA+AC) = 3AB−2AC+4BA+4AC = 3AB−2AC−4AB+4AC =−AB+2AC
◦ ◦Sur le livre, apprendre à chercher : exercice n 39 page 239, puis l’exercice n 106 page 247.
III Repérage dans le plan et vecteurs colinéaires.
1 Une nouvelle manière de définir un repère du plan.
~ ~(O, I, J) est un repère du plan. Les vecteurs i et j sont définis par :
−→ −→
~ ~i =OI ; j =OJ
4
3
2
J1
~j
I
O ~i−2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
~ ~On va écrire les vecteurs du plan à l’aide des vecteurs i et j.
−→
a. Le cas d’un vecteur OA.b
b
b
b
b
b
III. REPÉRAGE DANS LE PLAN ET VECTEURS COLINÉAIRES. 51
4
A
yA
3
~y jA
−→
~u =OA2
J1
~j
I
O x~ A−2 −1 1 2 3 4 5 6 7~i x iA
−1
−2
−→ −→~ ~On constate que, qui A(x ;y ), alors OA =x i+y j. On écrit dans ce cas là que OA(x ;y ) dans le repèreA A A A A A
~ ~(O,i,j).
~ ~Dans le repère (O,i,j), les écritures suivantes sont équivalentes :
−→ −→~ ~A(x ;y ) ; OA =x i+y j ; OA(x ;y )A A A A A A
b. Le cas d’un vecteur ~u.

x ~ ~Si ~u(x;y) dans le repère (O, I, J) , on écrit aussi ~u (ou bien ~u(x;y)) dans le repère (O,i,j).
y
~ ~Dans le repère (O,i,j), les écritures suivantes sont équivalentes :
−→~ ~~u =xi+yj ; u(x;y)
B
3
u ~2j2
AJ
1 C~3i
j
O i I
−1 1 2 3 4 5
−1
~ ~ ~ ~Ici ~u = 3i+2j, soit ~u(3;2) dans le repère (O,i,j).52 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
2 Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires?
a. Les tableaux de proportionalité.
Exercice 2. Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité?
4 3−6 12 1 5
3 2Tableau
15 −30 2 8 8 9
Réponse
Pourquoi?
Énoncer ci-dessous la règle qui indique quand un tableau est un tableau de proportionnalité.
x y
Le tableau est un tableau de proportionnalité est équivalent à························
′ ′x y
Reprenonsle premiertableau de l’exerciceprécedent. Parquelle opérationpasse-t-onde la premièreà laseconde
colonne du tableau?
−6 12
15 −30
x y
♠ Propriété 1 Le tableau est un tableau de proportionnalité est équivalent à : il existe un nombre k
′ ′x y
qui permet, par multiplication, de passer de la première à la seconde ligne du tableau.
b. Le cas des vecteurs colinéaires.
Remarque 2 Prenons deux vecteurs colinéaires, ~u(−3;2) et ~v =−4~u, soit~v(12;−8).
−3 2
• Pourquoi le tableau est-il un tableau de nombres proportionnels?
12 −8
································································································
• Quelle égalité permet de traduire cette proportionnalité?························IV. FAIRE UNE DÉMONSTRATION AVEC LES VECTEURS COLINÉAIRES. 53
′ ′Dans le cas général, avec les vecteurs ~u(x;y) et~v(x ;y ),
~u et ~v colinéaires équivalent à ~v =k~u où k∈R
′ ′équivalent à (x ;y ) =k(x;y)
′ ′équivalent à (x ;y ) = (k.x;k.y)
yx
x’ y’équivalent à est un tableau de proportionnalité
équivalent à ······················
′ ′~u(x;y) et ~v(x ;y ) colinéaires est équivalent à························
Exercice 3. Les vecteurs suivants sont-ils des vecteurs colinéaires?
1. ~u(−4;2) et~v(6;−3).
2. ~u(−3;2) et~v(5;−1).
3 1
3. ~u(−6;2) et~v − ; .
2 2
IV Faire une démonstration avec les vecteurs colinéaires.
1 Traduire à l’aide de vecteurs que I est le milieu du segment [AB].
Ici donc, le point I est le milieu du segment [AB]. On peut traduire ceci par :
−→ −→
• des vecteurs égaux, AI =IB.
−→ −→
• des vecteurs opposés, IA =−IB.
−→ 1−→
• AI = AB en utilisant la colinéarité de deux vecteurs.
2
Exercice 4.
1. Traduire le fait que le pointI est le milieu du segment [AB] par une autre égalité de vecteurs, deux autres
vecteurs opposés, une autre égalité avec des vecteurs colinéaires.
································································································
································································································
−→ 1 −−→ −−→
2. Montrer queI est le milieu du segment [AB] aussi équivalent à, pour tout pointM,MI = (MA+MB).
2
Faire un dessin.
254 CHAPITRE 5. PRODUIT D’UN VECTEURS PAR UN RÉEL.
································································································
································································································
································································································
································································································
································································································
2 Les propriétés à utiliser :
Compléter le tableau suivant en utilisant les mots "vecteurs" et "colinéaires". Faire dans chaque cas un
figure pour l’illustrer
Propriété propriété équivalente dessin
LespointsA,B etC sontalignés
Les droites (AB) et (CD) sont
parallèlesIV. FAIRE UNE DÉMONSTRATION AVEC LES VECTEURS COLINÉAIRES. 55
3 Un exemple d’utilisation.
ABC est un triangle du plan. On donne les points M et N définis par les relations :
−−→ −→ −→ −→
AM = 3AB ; AN = 3AC
M
B
A
C
N
Montrons que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
1. On commence par choisir un repère pour traiter la question. Il faut trois points non alignés, ici, on va
−→ −→
prendre (A;AB;AC) comme repère. La droite (AB) va ainsi servir d’axe des abscisses et la droite (AC)
d’axe des ordonnées.
−−→ −−→
2. On commence par écrire donner les coordonnées des points de la figure puis des vecteur MN et BC.
B(1;0) ; C(0;1) ; M(3;0) ; N(0;3)
−→ −−→
Ainsi BC(1;1) MN(3;3)
3. On utilise maintenant la propriété (ou la définition s on veut) :
3×1 = 3 ; 3×1 = 3
−−→ −→
Comme les vecteurs MN et BC sont colinéaires, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
◦Exercice 5. Faire l’exercice n 33 page 150.
Exercice 6. A, B et C sont trois points du plan. On définit le point M par la relation :
−−→ −→ −→
AM =AC +2BC
1. Faire un dessin représentant les points A, B, C et M. Que remarque-t-on?
2. Démontrer la propriété mise en évidence à la question 1.
Exercice 7. ABCD est un parallèlogramme. On définit les points L et K par les relations :
−→ 2−→ −→ 1−→
DK = DA ; CL = CD
3 3
1. Faire un dessin représentant le parallèlogramme ABCD ainsi que les points K, L. Que remarque-t-on?
2. Démontrer la propriété mise en évidence à la question 1.

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