Cours L1 Option Reels (mestrano)

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Universite de Nice-Sophia AntipolisAnnee universitaire 2009-2010Cours de Licence, Option Nombres ReelsExtrait des notes du cours donne en 2008-2009 par Antoine DucrosNicole Mestrano1Table des matieres1 Introduction 41.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres . . . . . . . . . 41.2 Necessite d’introduire les nombres reels . . . . . . . . . . . . . 42 L’ensemble N des entiers naturels 62.1 Proprietes de base de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Le principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence . . . . . . . . 62.4 Autres formulations du principe de r . . . . . . . . . 72.5 Une application importante : la division euclidienne . . . . . . 72.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration . . . . . . . 72.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.10 Calcul pratique du developpement d’un entier en base b . . . . 92.11 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.12 Les operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Nombres premiers et decomposition en facteurs premiers 113.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Decomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Universite de Nice-Sophia Antipolis
Annee universitaire 2009-2010
Cours de Licence, Option Nombres Reels
Extrait des notes du cours donne en 2008-2009 par Antoine Ducros
Nicole Mestrano
1Table des matieres
1 Introduction 4
1.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres . . . . . . . . . 4
1.2 Necessite d’introduire les nombres reels . . . . . . . . . . . . . 4
2 L’ensemble N des entiers naturels 6
2.1 Proprietes de base de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Le principe de recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence . . . . . . . . 6
2.4 Autres formulations du principe de r . . . . . . . . . 7
2.5 Une application importante : la division euclidienne . . . . . . 7
2.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration . . . . . . . 7
2.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.8 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.9 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.10 Calcul pratique du developpement d’un entier en base b . . . . 9
2.11 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.12 Les operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Nombres premiers et decomposition en facteurs premiers 11
3.1 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Decomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 L’ensembleZ des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5bleQ des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . 15
4 L’ensemble R des nombres reels 17
4.1 Majorants et Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Borne superieure et borne inferieure . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Les suites 21
5.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Autres criteres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Fonctions continues 25
6.1 Premieres de nitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Le theoreme des valeurs intermediaires . . . . . . . . . . . . . 26
6.3 Fonctions continues strictement monotones . . . . . . . . . . . 27
iemes6.4 Application : les fonctions \racines n " . . . . . . . . . . . 28
27 Limites in nies de suites reelles 29
7.1 De nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Sommes et Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.3 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.4 Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Developpement d’un nombre reel en base b 33
31 Introduction
1.1 Rappel sur les di erents ensembles de nombres
L’ensemble le plus simple et le plus intuitif est l’ensemble N =f0; 1; 2;:::g
des entiers naturels.
Pour traiter certains types de problemes (ceux mettant en jeu des gains et
des pertes, par exemple), il est commode d’introduire l’ensemble
Z =f:::; 2; 1; 0; 1; 2;:::g des entiers relatifs.
La necessite de pouvoir diviser un entier relatifp par un entier relatif non nul
q m^eme lorsque q n’est pas multiple de p a conduit a introduire l’ensemble
Q des nombres rationnels, qui est constitue de l’ensemble des quotients p=q
avec p2Z et q2Zf 0g.
1.2 Necessite d’introduire les nombres reels
Les mathematiciens ont de ni un ensemble de nombres contenant l’ensemble
Q (et beaucoup plus gros que celui-ci dans un sens que nous ne preciserons
pas ici), celui des nombres reels qui est note R car l’ensemble des nombres
rationnels se revele insu sant pour plusieurs raisons. Nous allons en montrer
quelques unes.
1.2.1 En geometrie
D’apres le theoreme de Pythagore, la longueur l de la diagonale d’un carre
2de c^ote egal a 1 est de carre l egal a 2.
Or il n’existe aucun nombre rationnel de carre egal a 2. La longueur l de
cette diagonale n’est donc pas un nombre rationnel.
En fait,l est l’unique nombre reel positif de carre egal a 2. On note ce nombrep p
reel 2. La valeur approchee la plus utitlisee de 2 est 1; 14.
On peut ^etre beaucoup plus precis, par exemple, on sait que :p
2 = 1:414213562373095::::::. p
On demontrera (cf n du chapitre 3), que 2 n’est pas rationnel.
Notons ici, au passage, que dire qu’un nombre reel n’est pas rationnel est
equivalent a dire que son developpement decimal est in ni et non periodique.
La circonference d’un cercle de rayon 1 n’est pas non plus un nombre ration-
nel, elle vaut , ou est un nombre reel qui n’est pas rationnel. La valeur
4approchee la plus utitlisee de est 3; 14 mais on peut ^etre beaucoup plus
precis, par exemple, on sait que :
= 3; 141592653589793238462643383279502884197169399375:::.
Comme signale ci-dessus, n’est pas rationnel donc son developpement
decimal est in ni et non periodique.
On voit donc que certains nombres qui apparaissent naturellement en geometrie
n’appartiennent pas a l’ensembleQ.
1.2.2 En analyse (Convergence de suites)
La suite u = 3 ; u = 3; 1 ; u = 3; 14 ; u = 3; 141 ; u = 3; 1415 ....0 1 2 3 4
est constituee de nombres rationnels (u = 3,u = 31=10, u = 314=100 ....)0 1 2
mais sa limite est egale au nombre reel qui n’est pas rationnel.
Cet exemple met en evidence le caractere particulierement inadapte de Q
lorsqu’on s’interesse a l’etude des suites et de leurs limites.
Nous verrons plus loin que R jouit par contre d’excellentes proprietes en la
matiere.
52 L’ensemble N des entiers naturels
2.1 Proprietes de base de l’ensemble N
On ne donnera pas de de nition rigoureuse d’un entier naturel, ni de l’addi-
tion, de la multiplication et de l’ordre sur N ; on supposera que ces notions
sont intuitivement acquises. On admettra sans demonstration les resultats
elementaires les concernant (par exemple, le fait que a + b=b + a si a et b
sont deux entiers...).
2.2 Le principe de recurrence
On rappelle (sans demonstration) le principe fondamental suivant.
SoitP une propriete portant sur les entiers naturels et veri ant les proprietes
i) et ii) suivantes :
i) P (0) est vraie
et
ii) Pour tout entier n, si P (n) est vraie alors P (n + 1) est vraie.
Alors : Pour tout entier n, la propriete P (n) est vraie.
Pour demontrer une propriete par recurrence", on doit d’une part l’initialiser
(c’est le i)) et d’autre part montrer \l’heredite" (c’est le ii)). Pour montrer
\l’heredite" on prend pour hypothese que P (n) est vraie et on doit arriver a
la conclusion que P (n + 1) est vraie.
2.3 Deuxieme formulation du principe de recurrence
Dans certains cas, il sera plus facile d’utiliser la version suivante du principe
de recurrence.
SoitQ une propriete portant sur les entiers naturels et veri ant les proprietes
i) et ii) suivantes :
i) Q(0) est vraie
et
ii) Pour tout entier n, siQ(m) est vraie pour tout entiermn, alorsQ(n+1)
est vraie.
Alors : Pour tout entier n, la propriete Q(n) est vraie.
62.4 Autres formulations du principe de recurrence
Dans le principe de recurrence, la propriete i) peut ^etre remplacee par la
0propriete i ) suivante :
i’) Il existe un entier a pour lequel P (a) est vraie
Dans ce cas, ii) devient
ii’) Pour tout entier na , si P (n) est vraie alors P (n + 1) est vraie.
et la conclusion est :
Pour tout entier na, la propriete P (n) est vraie.
On laisse au lecteur le soin de reformuler la deuxieme formulation du principe
de recurrence.
2.5 Une application importante : la division euclidienne
Commen cons par un peu de vocabulaire : en mathematiques, un couple est
une liste de deux objets dont l’ordre compte et qui peuvent ^etre egaux. Par
exemple, (2; 3) et (3; 2) sont deux couples di erents, et (2 ; 2) est un couple.
Le principe de recurrence ci-dessus permet de demontrer ce qui suit.
Theoreme 2.5.1 (Division euclidienne). Soit a un entier naturel et soit b
un entier naturel non nul. Alors, il existe un unique couple d’entiers (q;r)
tel que a =bq +r veri ant 0r<b.
On dit que q le quotient de la division euclidienne de a par b, et que r est
son reste.
Demonstration| En cours, on donnera seulement la demonstration de
l’existence du couple (q, r), l’unicite sera traitee en TD. Lors de la preuve,
on notera la pertinence de la deuxieme formulation du principe de recurrence.

2.6 Ecriture d’un entier dans une base de numeration
Nous comptons \en base 10". Pourquoi ?
Reponse d’Antoine Ducros : Il semble que ce soit parce que nous avons dix
doigts. L’atteste le fait que toutes les civilisations ont en e et developpe,
independamment les unes des autres, des systemes de numeration fondes sur
la base 10 a( une exception pres : je crois me souvenir qu’il y a un peuple qui
compte en base 5, donc sur les doigts d’une seule main). Des traces d’autres
bases existent toutefois : base 12 pour certaines unitees de mesure (un pied
vaut douze pouces, jusque dans les annees 70 la livre sterling etait divisee en
vingt shilling de douze pence chacun...), base 60 pour les mesures de temps
ou d’angles...
7Theoreme 2.6.1 (Ecriture d’un entier \en base b"). Soit b un entier au
moins egal a 2. Soita un entier. Alors, il existe une unique suitea ;a ;:::;a ;:::0 1 n
d’entiers telle que :
i) a <b pour tout i, et,i
ii) il existe un entier N tel que a = 0 pour tout m>N et tel quem
a =a +a b +a b +::: +a b .0 1 2 2 N N
Les ai sont appeles les chi res du developpement de a en base b.
Demonstration| voir en cours pour l’existence et en TD pour l’unicite.
On notera que, une foisb eta choisis, la suitea ;a ;:::;a ;::: est unique mais0 1 n
que l’entier N ne l’est pas.
2.7 Exemple
Prenons b = 10 (cas le plus repandu en pratique) et a = 1457. Alors :
2 31457 = 7 + 5:10 + 4:100 + 1:1000 = 7 + 5:10: + 4:10 + 1:10
La suite a ;a ;:::;a ;::: dont le theoreme a rme l’existence et l’unicite est0 1 n
alors la suivante : a = 7, a = 5, a = 4, a = 1 et a = 0 pour n 4. La0 1 2 3 n
liste des chi res du developpement de 1457 en base 10 est donc egale a 7, 5,
4, 1, 0, 0, 0, . . .. Dans l’egalite ci-dessus, on a prisN = 3 mais, on aurait pu
prendreN egal a n’importe quel autre entier au moins egal a 3. Par exemple,
l’ egalite correspondant au cas N = 5 est :
2 3 4 51457 = 7+5:10+4:100+1:1000+0:10000+0:10000 = 7+5:10:+4:10 +1:10 +0:10 +0:10
2.8 Remarque
On peut se demander pourquoi ne pas simplement dire que la liste des chi res
de 1457 est 7, 5, 4 et 1 ou, en termes plus generaux, pourquoi avoir introduit
dans le theoreme une suite in nie a avec les a nuls a partir d’un certaini i
rang. Deux raisons ont motive ce choix :
- Il conduit a un enonce plus simple : se limiter a une suite nie aurait conduit
a imposer au dernier terme de la suite d’^etre non nul, et a traiter a part le
cas ou a = 0 (quelle que soit la convention adoptee, l’ecriture de 0 dans une
base donnee ne comprend en e et aucun chi re non nul).
- Il arrive parfois, en mathematiques comme dans la vie, que l’on rajoute un
certain nombre de 0 a gauche de l’ecriture d’un nombre. Dans la vie, cela se
produit pour les dates (on ecrira 05/09 et non 5/9 si l’on veut parler du 5 sep-
tembre), pour les codes de carte bancaire (qui comportent quatre chi res dont
le premier peut tres bien ^etre un zero...). En mathematiques, ce peut ^etre le
8cas par exemple lorsqu’on e ectue une operation (par exemple une soustrac-
tion), et qu’on ne sait pas a l’avance combien de chi res non nuls comportera
le resultat. Notez egalement que la plupart du temps, un algorithme de calcul
travaillant sur des entiers ayant au plus N chi res (N xe) rendra un resultat
sous forme d’une liste de N chi res dont les derniers peuvent ^etre nuls ; c’est
ensuite le programme d’a chage qui, eventuellement,\ decidera" de ne pas
les faire gurer a l’ecran.
2.9 Notation
La base b etant xee, on choisit un symbole pour chaque entier compris
entre 0 et b 1. On prend le plus souvent lesdits symboles dans la liste
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et 9 puis, le cas echeant, on prendA pour representer 10,
B pour representer 11, etc. Si a ;:::;a ;::: constitue la liste des chi res d’un0 n
nombre a en base b, on ecrira a sous la forme suivante :
a = (a ::::a a a )N 2 1 0 b
on fait gurer successivement de droite a gauche les symboles correspondant
a a ;a ;a ;:::: en s’arr^etant en general au dernier chi re non nul, m^eme s’il0 1 2
peut arriver que l’on rajoute quelques zeros (voir la remarque ci-dessus).
Pour bien marquer qu’il s’agit d’une ecriture en base b, on surligne le tout
et on met unb en indice. Par contre, lorsqueb = 10, on se contentera le plus
souvent de la liste de chi res.
2.10 Calcul pratique du developpement d’un entier en
base b
La demonstration de l’existence du developpement donnee en cours est construc-
tive : elle ne se contente pas d’etablir theoriquement que l’on peut trouver un
tel developpement, elle indique comment l’obtenir en pratique. L’algorithme
est tres simple : on part d’un entier a, on fait sa division euclidienne par b ;
le reste est le chi re a . Puis on recommence avec l’entier q = (a a )=b :0 0
on fait sa division euclidienne parb, le reste est le chi re a . On recommence1
avec (q a )=b, etc. L’algorithme s’arr^ete lorsqu’on obtient un quotient stric-1
tement inferieur a b : il correspond alors au dernier chi re (celui le plus a
gauche).
92.11 Quelques exemples
i) Ecrivons 1457 en base 5. On a 1457 = 5:291 + 2. Le premier chi re (en
partant de la droite) sera donc 2. On recommence avec le quotient 291 : on
a 291 = 5:58 + 1. Le second chi re sera donc 1.
On recommence avec le quotient 58 : on a 58 = 5:11 + 3. Le troisieme chi re
sera donc 3. On recommence avec le quotient 11 ; on a 11 = 5:2 + 1. Le
quatrieme chi re sera donc 1. Comme let 2 est strictement inferieur
a 5, il correspond au dernier chi re et l’algorithme est termine. On peut donc
ecrire
1457 = 1457 = 21312 :10 5
Cela signi e que 1457 = 2 + 1 :5 + 3:25 + 1:125 + 2:625, ce que l’on peut
veri er.
ii) Ecrivons maintenant 1457 en base 12. On a 1457 = 12:121 + 5 ; le premier
chi re en partant de la droite sera donc 5. On a 121 = 12 :10+1 ; le deuxieme
chi re sera donc 1. En n, 10 < 12 : le dernier chi re sera donc le symbole
correspondant a 10, a savoir A. Ainsi 1457 = 1457 =A15 .10 12
iii) Partons de l’entier B153 et ecrivons-le en base 10.16
2 3 2 3Il est egal a 3+5:16+1:16 +11:16 . Sachant que 16 = 256 et que 16 = 4096,
on obtient nalement B153 = 45395.16
2.12 Les operations
Les algorithmes relatifs aux operations usuelles sur des entiers ecrits en base
10 s’etendent mutatis mutandis a ceux ecrits dans une base b quelconque.
Montrons par exemple comment e ectuer l’addition de 354 et 625 . On7 7
calcule 4 + 5 : on trouve 9, c’est- a-dire 12 . On pose donc 2, et on retient 1.7
On calcule ensuite 2 + 5 + 1 (ne pas oublier la retenue) ; on trouve 8, soit
11 . On pose donc 1, et on retient encore 1. On calcule 3 + 6 + 1 ; on trouve7
10, soit 13 . On pose donc 3 et l’on retient 1 ; il n’y a plus qu’ a poser le 1 en7
question. Ainsi 354 + 625 = 1312 .7 7 7
Bien sur,^ nous avons ajoute deux entiers exprimes dans une m^eme base b
xee.
10

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