Cours - Limite d'une fonction

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cbbc Christophe Bertault - MPSILimite d’une fonctionGénéralement, les fonctions deR dansR qu’on manipule en analyse sont définies sur des intervalles, mais il arrive qu’elles le∗soient sur des réunions finies d’intervalles — par exemple R = ]−∞,0[ ∪ ]0,∞[. Pour cette raison, dans tout ce chapitre, leslettres I,J... désignent des réunions finies d’intervalles deR — éventuellement des intervalles deR, mais pas forcément.Définition (Adhérence d’une réunion finie d’intervalles) On note I ,I ,...,I les intervalles disjoints dont I est la1 2 rréunion, a et b les bornes de I avec a 6b , a et b les bornes de I avec a 6b ... et a et b les bornes de I avec a 6b .1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r r¯ ¯On appelle adhérence de I et on note I l’ensemble I = [a ,b ]∪ [a ,b ]∪...∪[a ,b ].1 1 2 2 r r∗ ¯Exemple [0,1[ = [0,1], ]0,∞[ = [0,∞] (fermé à droite en∞) et R =R.¯Soient f : I −→ R une application et a ∈ I. On dit que f vérife une certaine propriété P au voisinage de a s’il existe unvoisinage V de a tel que f vérifie la propriété P sur I∩V. Par exemple, la fonction sinus est croissante au voisinage de 0; la1fonction cosinus est minorée par et majorée par 1 au voisinage de 0.21 Définitions de la limite d’une fonction1.1 Limite d’une fonction en un point¯ ¯Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : I −→R une application, a∈I et ℓ∈R. On dit que f admetℓ pour limite en a si :pour tout voisinageV de ℓ, il existe un voisinageVa de a tel que : ∀x∈I∩Va, f(x)∈V .ℓ ℓ ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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c Christophe Bertault - MPSI
Limite d’une fonction
Généralement, les fonctions deR dansR qu’on manipule en analyse sont définies sur des intervalles, mais il arrive qu’elles le
∗soient sur des réunions finies d’intervalles — par exemple R = ]−∞,0[ ∪ ]0,∞[. Pour cette raison, dans tout ce chapitre, les
lettres I,J... désignent des réunions finies d’intervalles deR — éventuellement des intervalles deR, mais pas forcément.
Définition (Adhérence d’une réunion finie d’intervalles) On note I ,I ,...,I les intervalles disjoints dont I est la1 2 r
réunion, a et b les bornes de I avec a 6b , a et b les bornes de I avec a 6b ... et a et b les bornes de I avec a 6b .1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 r r r r r
¯ ¯On appelle adhérence de I et on note I l’ensemble I = [a ,b ]∪ [a ,b ]∪...∪[a ,b ].1 1 2 2 r r
∗ ¯Exemple [0,1[ = [0,1], ]0,∞[ = [0,∞] (fermé à droite en∞) et R =R.
¯Soient f : I −→ R une application et a ∈ I. On dit que f vérife une certaine propriété P au voisinage de a s’il existe un
voisinage V de a tel que f vérifie la propriété P sur I∩V. Par exemple, la fonction sinus est croissante au voisinage de 0; la
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fonction cosinus est minorée par et majorée par 1 au voisinage de 0.
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1 Définitions de la limite d’une fonction
1.1 Limite d’une fonction en un point
¯ ¯Définition (Limite d’une fonction en un point) Soient f : I −→R une application, a∈I et ℓ∈R. On dit que f admet
ℓ pour limite en a si :
pour tout voisinageV de ℓ, il existe un voisinageVa de a tel que : ∀x∈I∩Va, f(x)∈V .ℓ ℓ
Explication Si vous avez bien compris la définition de la limite d’une suite, vous comprendrez facilement la définition
de la limite d’une fonction. Avec les suites, on demandait que pour tout voisinageV de la limite ℓ, tous les termes à partir d’unℓ
certain rang soient piégés dansV . A présent, avec les fonctions, on demande que toutes les valeurs que la fonction f considéréeℓ
prend au voisinage de a soient piégées dansV .ℓ
∀Vℓ ∀V∞
ℓ ∀V ∀Vℓ ∞

a a∃V ∃V ∃V ∃Va ∞ ∞ a
limf =ℓ limf =∞ limf =ℓ limf =∞
a ∞ ∞ a
avec ℓ∈R et a∈R avec ℓ∈R avec a∈R
Et dans le cas où I ∀Vℓ ∀V∞est une réunion d’intervalles
et où a est à la jonction ℓ
de deux intervalles sans appartenir
au domaine de définition :
a a∃V ∃Va a
limf =ℓ limf =∞
a a
avec ℓ∈R et a∈R
1c
b
b
6
b
6
6
6
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¯Théorème (Unicité de la limite) Soient f :I−→R une application et a∈I.
(i) Si f possède une limite en a, celle-ci est unique, notée limf ou lim f(x).
a x→a
¯Pour tout ℓ∈R, la relation limf =ℓ se note souvent f −→ℓ ou f(x)−→ ℓ.
a a x→a
(ii) Si a∈I et si f possède une limite en a, alors limf =f(a).
a
Explication Pour l’assertion (ii) :
f est définie en af(a)
mais limf n’existe pas.f(a) af est définie en a
et limf =f(a).
a Pourtant nous verrons
que limf = limf.
− +a a
Démonstration a a
′(i) Raisonnons par l’absurde et faisons l’hypothèse que f possède deux limites ℓ et ℓ distinctes. Parce que
′ ′ℓ =ℓ , il existe un voisinageV de ℓ et un voisinageV ′ de ℓ tels queV ∩V ′ =∅. Or par hypothèse sur f,ℓ ℓ ℓ ℓ
′il existe deux voisinagesV etV de a tels que :a a
′∀x∈I∩V , f(x)∈V et ∀x∈I∩V , f(x)∈V ′.a ℓ a ℓ
′Finalement, donnons-nousx∈I∩V ∩V — cetensemble estnonvide.Alorsf(x)∈V ∩V ′, cequicontredita a ℓ ℓ
comme voulu notre choix deV etV ′.ℓ ℓ
(ii) Faisons l’hypothèse que f est définie en a — i.e. a∈I — et possède une limite ℓ en a.
Peut-on avoir alors ℓ =∞? Si c’était le cas, il existerait donc un voisinageV de a tel que f(x)∈ f(a),∞a
pour tout x∈ I∩V ; en particulier, pour x = a, on aurait donc f(a)∈ f(a),∞ — contradiction. Ainsia
ℓ =∞, et on pourrait montrer de même que ℓ =−∞.
′Bref, ℓ∈R. Pour tout ε > 0, il existe donc par hypothèse un voisinage V de a tel que f(x)∈ ]ℓ−ε,ℓ +ε[a
′ pour tout x∈I∩V . En particulier : ∀ε> 0, f(a)−ℓ <ε. Sous l’hypothèse que ℓ =f(a), ce résultata f(a)−ℓ
est contradictoire pour ε = , donc forcément ℓ =f(a) comme voulu.
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En pratique Vous n’êtes pas obligés d’apprendre la définition générale de la limite en termes de voisinages car
elle n’est pas au programme. Nous allons maintenant la reformuler dans neuf contextes différents, et il est par contre impératif
que vous connaissiez ces neuf reformulations. Les dessins de la page précédente sont ici très utiles.
¯ ¯Définition (Les 9 limites) Soient f :I −→R une application, a∈I et ℓ∈R.
• Cas où ℓ∈R et a∈R :

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