COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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515 Chapitre 6champ magnétique permanent :magnétostatique6.1 calcul direct du champpour déterminer le champ magnétostatique on utilise la loi de Biot etSavart¡¡!!¡„ d c ^PM!¡ 0dB(M)˘¡¡!4… 3PM!¡!¡ou d c est l’élément de courant qui crée le champ B(M)1. Dans le cas d’un courant filiforme!¡!¡d c ˘Id l2. Dans le cas d’un courant surfacique!¡!¡d c ˘ j dSs3. Dans le cas d’un courant volumique!¡!¡d c ˘ j d¿520 6.2 théorème d’ampère!¡la circulation du champ magnétique B le long d’un contour fermé estégale au produit de la constante„ par le courant enlacé par le contour0I!¡!¡B.d l ˘„ I0 enlace27COURS MP-PC 18:18/3 octobre 2010dans le cas d’une distribution continue de courantˇ!¡ !¡I ˘ j .dSenlaceou S est une surface ouverte qui s’appuie sur le contour fermé.parexemple si le contour fermé est un cercle de rayon R la surface ouverte quis’appuie sur ce est un disque de rayon R.dans la pratique on suit la démarche suivante pour déterminer le champ!¡525 magnétique B(M) :1. On détermine les plans de symétrie et d’antisymétire de la distribu-!¡tion des courants : B appartient à un plan d’antisymétrie des cou-!¡rants ceci permet de déterminer la direction de B qui doit avoir une530 seule composante.2. On étudie les invariances de la distribution des courants c’est à dire!¡les invariances par translation et par rotation des : B doitdépendre d’une seule variable.3. On choisit un contour fermé d’ampère tel que :H!¡ !¡ !¡ !¡535 (a) B//d l c’est ...
Publié le : samedi 24 septembre 2011
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Chapitre 6 515
champ magntique permanent : magntostatique
6.1 calculdirect du champ
pour dÉterminer le champ magnÉtostatique on utilise la loi de Biot et Savart −−→ −→ −→µ0d cP M d B(M)= −−→ 4π3 P M −→ −→ oud cest l’ÉlÉment de courant qui crÉe le champB(M)
1. Dansle cas d’un courant filiforme −→ −→ d c=lI d
2. Dansle cas d’un courant surfacique −→ −→ d c=jsdS
3. Dansle cas d’un courant volumique −→ −→ d c=j dτ
6.2 thormed’ampre 520 −→ la circulation du champ magnÉtiqueBle long d’uncontour fermest Égale au produit de la constanteµ0par le courant enlacÉ par le contour I B.d l=µ0Ienl a c e
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dans le cas d’une distribution continue de courant Ï Ienl a c e=j.d S ou S estune surface ouvertequi s’appuie sur le contour fermÉ.par exemple si le contour fermÉ est un cercle de rayon R la surface ouverte qui s’appuie sur ce contour est un disque de rayon R. dans la pratique on suit la dÉmarche suivante pour dÉterminer le champ −→ magnÉtiqueB(M) : 525
1. OndÉtermine les plans de symÉtrie et d’antisymÉtire de la distribu-−→ tion des courants :Bappartient À un plan d’antisymÉtrie des cou-−→ rants ceci permet de dÉterminer la direction deBqui doit avoir une seule composante. 530 2. OnÉtudie les invariances de la distribution des courants c’est À dire −→ les invariances par translation et par rotation des courants :Bdoit dÉpendre d’une seule variable. 3. Onchoisit un contour fermÉ d’ampÈre tel que : H(a)B//d lc’est À direB.d l=B.l. 535 H(b)Bd lc’est À direB.d l=0. 4. Onapplique la formule pour obtenir l’expression de B
6.3 quationde maxwell ampre A partir du thÉorÈme d’ampÈre I Ï B.d l=µ0j.d S en utilisant le thÉorÈme de stockes I ÏÏ B.d l=r ot B.d S=µ0j.d S doncÏ Ï r ot B.d S=µ0j.d S cette relation est vraiela surface S donc r ot B(M)=µ0j(M) appelÉ Équation de maxwell ampÈre. c’est une relation locale qui relie le −→ champBau point M au vecteur densitÉ volumique de courant au mme 540 point M. C’est une relation linÉaire donc qui relie le champ À ses sources. tel : 95 55 64 10page 28AMAMI MOHAMED
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6.4 quationde maxwell flux −→ le champ magnÉtiqueBest un champ À flux conservatif Ó B(M).d S=0
en utilisant le thÉorÈme de green Ñ −→ d iv(B(M))dτ=0 V cette relation est vraiele volume V donc −→ d iv(B(M))=0
6.5 potentielvecteur comme d iv(r ot)=0 le champ magnÉtique s’Écrit sous la forme d’un champ de rotationnel −→B(M)=Ar ot(M)
−→ A(M) est appelÉ potentiel vecteur. ce potentiel vecteur n’est pas unique en fait si on prend deux potentiels vecteurs −→ A et −→ −→−−−→ 0 A=A+grad f tous les deux donnent le mme champ magnÉtique car r ot grad=0 pour lever cette ambguitÉ on doit imposer une condition supplÉmentaire appelÉchoix de jauge. En magnÉtostatique on choisit −→ d iv(A)=0 appelÉ jauge de coulomb Pour dÉterminer le potentiel vecteur a partir de celle du champ magnÉ-tique correspondant on applique le thÉorÈme de stockes au potentiel vec-teurI Ï A.d l=Ar ot.d S
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6.6 quationde poisson −→en remplacantBparr otAdans l’Équation de maxwell ampÈre r ot B(M)=µ0j(M)
r otr otA(M)=grad(d iv A)ΔA=µ0j(M) comme −→ d iv(A)=0 nous obtenons ΔA=µ0j ou −→ −→−→ ΔA+µ0j=0 cette Équation est appelÉ Équation de Poisson pour le potentiel vecteur Si la distribution de courant se trouve dans un domaine fini la solution de l’Équation de Poisson est −→ −→Ð µ0j(P)dτ A(M)= 4πV PM A()=0
6.7 relationde passage entre deux milieux 545 A la traversÉe d’une nappe de courant le champ magnÉtique subit une discontinuitÉ.Les Équations de maxwell ampÈre et de maxwell flux se transforment de la facon suivante : 1. Apartir maxwell ampÈre r ot B(M)=µ0j(M) en remplacant ler oten fonction de l’opÉrateur nablal’Équation s’Écrit −→ −→−→ ∇ ∧B(M)=µ0j(M) Attention : ceci n’est pas une dmonstration mais une faÇon de se rappeler des relations de passage. tel : 95 55 64 10page 30AMAMI MOHAMED
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pour obtenir l’Équation de passage on remplace nabla par la normale −→ allant du milieu 1 au milieu 2 ,le champBpar la discontinuitÉ du champΔB=B2B1et le vecteur densitÉ volumiquejde courant −→ par le vecteur densitÉ de courant surfaciquejs −→ −→−→ ∇ ∧B(M)=µ0j(M) |{z} |{z} |{z} −→ n 12ΔB js d’ou l’Équation de passage −→ n12ΔB=µ0js(M) −→ B2B1=µ0jsn12 −→ −→−→ sijs6=composante tangentielle de0 laBest discontinue 550 2. Sion applique la mme dÉmarche pour l’Équation de maxwell flux −→ −→−→ d iv(B)= ∇.B=0 −→ −→ n12.ΔB=0 cette relation montre que la composante normale À la surface de sÉ-paration est continue B2n=B1n
6.8 Continuit 1. Pourune distribution volumique de courants,AetBsont dÉfinis et continus en tout point. −→ 2. Pourune distribution surfacique de courants,Bpeut prÉsenter une −→ discontinuitÉ À la traversÉe de la nappe surfacique de courants.Aest 555 continu. 3. Pourune distribution linÉique de courants,AetBne sont pas dÉfinis sur les courants seulement.
6.9 calculsdu champ et du potentiel vecteur 6.9.1 potentielvecteur 560 −→ On calcul le potentiel vecteurApar une mÉthode qui ressemble À celle du calcul du potentiel scalaire en Électrostatique. NÉanmoins, il faut cal-culer ses trois composantes dans une rÉgion donnÉe. tel : 95 55 64 10page 31AMAMI MOHAMED
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il faut prendre en compte les propriÉtÉs de symÉtrie de la densitÉ de cou-rant. 565
6.9.2 Lesquatre faÇons de calculer le champ magntique Voici des conseils sur les mÉthodes À employer pour calculer le champ magnÉtique. 1. La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait −→ faire l’addition vectorielle des champsd BcrÉes par un petit ÉlÉment 570 du circuit (souvent des circuits filiformes). 2. LethÉorÈme d’AmpÈre : il faut tre capable de calculer la circulation du champ sur un contour choisi. Cela nÉcessite donc une symÉtrie relativement simple des courants. 3. Laconservation du flux : À n’utiliser que si l’on connait dÉjÀ son ex-575 pression dans une autre rÉgion de l’espace. −→ 4. Lepotentiel vecteur : On calcul le potentiel vecteurAensuite on cal-culeAr otafin d’obtenir le champB. Dans tous les cas, il faut prendre en compte les proprits de sy-mtrie de la densit de courant. 580
6.10 Exercicestypes À savoir 1. spire: champ sur l’axe et au voisinage de l’axe. 2. solÉnoide 3. nappede courant 4. cáblecoaxial 585 5. Effethall 6. MagnÉtorÉsistance 7. EffetMeissner
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Chapitre 7
Rsum :quations de maxwell en rgime permanent 590
1. Les Équations de maxwell en rÉgime permanent se divisent en deux catÉgoires :les Équations de strucure (intrinsÈques) et les Équations qui relient le champ À ses sources
r el ati onsintr inse qu esr el ati onsr el aintl echam pa ses sourc es ρ 595r ot E=0d iv(E)= ε0 −→d iv(B)=0r ot B=µ0j ces Équations sont linÉaires donc on peut appliquer le principe de superposition.
2. Les relations de passage sont σ −→ E2E1=n12 ε0 −→ B2B1=µ0jsn12
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